浏阳一中、醴陵一中2018年下学期高二年级联考
理科数学试题
满分:150分 时量:120分钟 考试时间2018年12月16日
命题人： 审题人：
姓名 考号
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.设数列的前项和，则的值为（ ）
A.15 B. 37 C. 27 D. 64
2.设命题，则为( )
A． B．
C． D．
3.若非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )
A.2 B. C. D.
5.等比数列{an}中，,则的值为( )
A．10 B．20 C．36 D．128
6.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若，则等于（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（ ）
A. B. C.或 D.
9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则=（ ）
A． B． C. D．
10.已知的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，若，则的长为( )
A． B．7 C． D．9
11.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．
A．4 B. C. D.1
12.函数的图象关于直线x＝1对称，当时，成立，若，，c＝()·f()，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。
14.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为 。
15.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 。
16.已知M是内的一点（不含边界），且，，
若和的面积分别为则的最小值是 。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.(12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?
19.(12分)已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．
20.(12分)如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
21.(12分)已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
22.(12分)已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1-5 BCCBB 6-10 DBADC 11-12 CB
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 24 14. 2 15. 16. 9
三、解答题（共70分）
17.解：由得
∴，即 …………………………………3分
由得
∴，即 ………………………………………5分
∵是的必要不充分条件
∴是的必要不充分条件
∴ ………………………………………8分
∴，解得. ………………………………………10分
18.解：(1)设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，
则,
即
由解得，而,
故从第3年开始运输累计收入超过总支出．………………………6分
(2)小王的年平均利润为:
,
而当且仅当时取得等号．
即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．………12分
19.(1) 由题意得，
整理得∵
∵，∴. ……………………4分
(2) ， …………………6分
∴
. …………………8分
假设存在整数满足总成立，
又
∴数列是单调递增的．
∴为的最小值，故，即.
又∵，∴适合条件的的最大值为8. …………………12分
20.（Ⅰ）因为，且，，所以，所以.
因为为正三角形，所以，
又四边形为平面四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面. …………………4分
（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，所以，.
建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.
平面的法向量，
设为平面的一个法向量，则
由可得令，则，
所以平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为.……………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，
因为，所以与不垂直，
所以在线段上不存在点使得⊥平面. …………………12分
21．解：（1）因为，所以，从而，
椭圆的方程为. ………………………4分
（2），当直线的斜率不存在时，可得，，
此时； ………………………5分
当直线的斜率存在时，设：,,,
联立与，可得，
所以，， ………………………7分
，
，（10分）
因为，，所以，从而，
综上可得的取值范围是. ………………………12分
22. (1),
当时，，此时在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增………………5分
（2）当时，，
由得或
当时，；当时，.
所以在上，
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有
所以实数的取值范围是………………………12分
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