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第一章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(内江中考)下列命题中，真命题是( C )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．(西宁中考)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )
A．5 B．4 C. D.
3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
,第2题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D )
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°
5．(衡阳中考)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( A )
A．M(5，0)，N(8，4) B．M(4，0)，N(8，4) C．M(5，0)，N(7，4) D．M(4，0)，N(7，4)
6．(陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于点M′、N′，则图中的全等三角形共有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．(广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为( B )
A. B．2 C.＋1 D．2＋1
8．(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
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A. B．4 C．4.5 D．5
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( A )
A. B．2 C. D．2
10．(宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__3__.
12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．
,第11题图) ,第12题图) ,第14题图) ,第16题图)
13．(兰州中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.
14．(江西中考)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__.
15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__.
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16．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__.
三、解答题(共72分)
17．(6分)已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.
证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF
18．(7分)如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．
(1)求证：△ABE≌△ADE；
(2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数．
(1)证明：易证△ABE≌△ADE(SAS)；
(2)解：∵AB＝AE，∠BAE＝36°，
∴∠AEB＝∠ABE＝＝72°，
∵△ABE≌△ADE，∴∠AED＝∠AEB＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAE＝36°，
∴∠CDE＝∠AED－∠DCA＝72°－36°＝36°
19．(7分)(贺州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．
(1)证明：易证△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝OC，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形
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(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝4
20．(7分)(上海中考)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形
21．(7分)(遵义中考)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ
(2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，
∵∠AEF＝45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝BP＝，∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×4＝8
22．(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC＝40°，求当∠EBA为多少度时，四边形BFDE是正方形．
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(1)证明：易证△BAE≌△BCF(SAS)
(2)解：若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝∠ABC＝20°，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∵∠EBA＝25°，∴∠OBE＝25°＋20°＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB＝OE，∴BD＝EF，∴菱形BFDE是正方形
23．(8分)(云南中考)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
解：(1)∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形
(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49①，∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(y)2＋(x)2＝32，即x2＋y2＝36②，把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝
24．(10分)(开江县期末)如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG.
(1)求证：△ADG≌△ABE；
(2)求证：∠FCN＝45°；
(3)请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．
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证明：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DA＝BA，EA＝GA，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，∴△ADG≌△ABE
(2)过F作BN的垂线，设垂足为H，∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠FEH＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠HEF，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB＝EH，BE＝FH，∴AB＝BC＝EH，∴BE＋EC＝EC＋CH，∴CH＝BE＝FH，∴∠FCN＝45°
(3)在AB上取AQ＝BE，连接QD，∵AB＝AD，∴△DAQ≌△ABE，
∵△ABE≌△EHF，∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD＝∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，
∴四边形DQEF是平行四边形．∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形
25．(12分)(1)如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，交线段CD于N，证明：AP＝MN；
(2)如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N.求证：EF＝ME＋FN；
(3)若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
(1)证明：过B点作BH∥MN交CD于H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP与△BCH中，∴△ABP≌△BCH.∴AP＝BH.∴AP＝MN
(2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN
(3)由(2)有EF＝MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD＝2.当点P和点B重合时，
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EF最小＝MN＝AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大＝MN＝BD＝
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