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阶段测试(一)(1.1－1.2)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列是矩形与菱形都具有的性质的是( D )
A．各角都相等 B．各边都相等 C．对角线相等 D．有两条对称轴
2．如图所示，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD 周长为16，则OE的长为( A )
A．2 B．4 C．6 D．8
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)
3．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( D )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为( A )
A．2 B．4 C．4 D．8
6．(玉林中考)如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有( C )
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
7．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( B )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
,第6题图) ,第7题图) ,
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第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
8．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，DE⊥AB，DF⊥BC，则△DEF的周长为( D )
A．3 B. C．6 D．3
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是( B )
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4
10．(达州通川期中)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )
A．12 B．24 C．12 D．16
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(辽阳中考)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__.
12．(菏泽中考)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为__18_cm2__．
,第11题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图)
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝__10°__.
14．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM＋PN的最小值是____．
15．如图，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长＝__4.8__．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__．
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，求证：OE＝BC.
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证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵菱形ABCD，∴BC＝CD，AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD，
∵BC＝CD，∴OE＝BC
18．(6分)已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE＝15°，求∠BEO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∵CE平分∠DCB，∴∠BCE＝∠DCE＝45°，∴∠BCE＝∠CEB，∴BE＝BC，∵∠DCE＝45°，∠OCE＝15°，∴∠DCO＝30°，∴∠BCO＝90°－30°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴AO＝OC＝OD＝BO，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝BE，
∵DC∥AB，∴∠CAB＝∠DBA＝30°，∴∠BEO＝∠BOE＝(180°－∠DBA)＝×(180°－30°)＝75°
19．(7分)(日照中考)如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC(答案不唯一)__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
(1)证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC(SSS)
(2)解：添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)知：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形
20．(7分)(巴中中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF.
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(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．
(1)证明：易证△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF；
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形
(2)解：设AF＝x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF＝x，BF＝8－x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5.∴AF＝5，∴菱形AECF的周长为20
21．(8分)(滨州中考)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．
解：(1)易证△AEB≌△AEF(SSS)，∴∠EAB＝∠EAF，
∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF.
∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形
(2)连接BF，交AE于G.
∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，AG＝AE＝2，∠BAF＝2∠BAE，AE⊥BF.
在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，∴BG＝2，BF＝4，
∴△ABF是等边三角形，∴∠BAG＝30°，∴∠BAF＝2∠BAE＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAF＝60°
22．(8分)(雅安中考)如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.
(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
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(1)证明：∵△BAD是由△BEC绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°.又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.
∴∠DBE＝∠CBE＝30°.
在△BDE和△BCE中，，
∴△BDE≌△BCE
(2)四边形ABED是菱形．理由：由(1)得△BDE≌△BCE.
又∵△BAD是由△BEC旋转得到，∴△BAD≌△BEC.∴BA＝BE，AD＝ED＝EC.
又∵BE＝CE，∴AB＝BE＝ED＝DA.∴四边形ABED是菱形
23．(8分)(广东中考)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．
(1)证明：如图，连接DB、DF.
易证△BAD≌△FAD(SAS)，∴DB＝DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB＝AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF
(2)如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BH＝BF.
∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝CD.
在Rt△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝CD，
∴∠C＝30°，∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠C＝150°
24．(10分)如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，
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作PQ∥AC，交
AB于点Q，连接QE.
(1)求证：四边形AEPQ为菱形；
(2)当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
(1)证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，
∴∠BAD＝∠EPA，
∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP，
∴四边形AEPQ为菱形
(2)解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ.
∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP·EN＝EF·EN＝S四边形EFBQ
25．(12分)(成都期中)如图，在菱形ABCD中，AB＝BD.点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.
(1)求证：DE＝BF；
(2)如果∠BDE＝40°，求∠DBF；
(3)求证：S四边形BCDG＝CG2.
(1)证明：易证△ADE≌△DBF(SAS)，∴DE＝BF
(2)解：∵∠BDE＝40°，∴∠ADE＝60°－40°＝20°，
∵△ADE≌△DBF，∴∠DBF＝∠ADE＝20°
(3)证明：延长GB到M使BM＝DG，连接CM，如图，
∵∠CBD＝60°，∴∠DBF＋∠CBM＝120°，
∵∠CDG＋∠ADE＝120°，而∠DBF＝∠ADE，
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∴∠CDG＝∠CBM，在△CDG和△CBM中，，
∴△CDG≌△CBM(SAS)，
∴S△CDG＝S△CBM，∠DCG＝∠BCM，CG＝CM，
∴∠GCM＝∠DCB＝60°，∴△CGM为等边三角形，
∴S四边形BCDG＝S△CGM＝CG2
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