山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学（理）试题PDF版含答案.pdf

1 绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2016 级高三第四次模拟考试 数 学 试 卷（理科） 命题人 焉晓辉 审核人 孙宁 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的 1．已知集合  | lg( 2)A x y x   ，  |3B x x，则 BA A. ( 2,3) B. (0,3) C. ( 3,0) D. ( 3, 2) 2．设复数 1zi   （i 是虚数单位），则1 1 z z   . 12 55i . 12 55i . 12 55i . 12 55i 3．命题 2,1x R x x    的否定是： . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    4．在等差数列 }{ na 中， 8 10 1 12aa，则数列 }{ na 的前11项和 11S . 8 . 16 . 22 . 44 5．在 ABC 中， 2AB ， 3BC ，  60ABC ， AD 为 BC 边上的高，O 为 的中点，若 AO AB BC，则   . 1 . 2 1 . 3 4 . 3 2 6．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则该四棱锥的体积为 . 1 . 2 . 3 . 4 2 7．设函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， 3( ) log ( 1)f x x，则 [ ( 8)]ff A . 2 B . 1 C . 1 D. 2 8．定义运算： 12 1 4 2 3 34 aa a a a aaa，将函数 3 sin( ) ( 0) 1 cos xfx x    的图象向左平移 2 3  个单位，所得 图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是 . 1 4 . 5 4 . 7 4 . 3 4 9. 已知三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且 2AB SA SB SC    ，则该三棱锥 的外接球的表面积为 .  . 4 . 4 3  . 16 3  10．函数 xxxf lnsin)(  的图象大致是 . . . . 11. 已知抛物线 xy 42  上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5∶4，且|AF|>2，则点 A 到原 点的距离为 A． 22 B．4 C． 24 D．8 12． 已知直线 0x y k( 0)k  与圆 224xy交于不同的两点 A，B，O 是坐标原点，且有 2OA OB   ， 那么 k 的取值范围是 A．( 3, ) B．[ 2,2 2) C． [ 2, ) D．[ 3,2 2) 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.设 nS 是等比数列 na 的前 n 项和，若 4 2 =4S S ，则 6 4 = ______________S S ． 14．若变量 ,xy满足约束条件 1 1 yx xy y      ，则 3z x y的最大值为___________． 15. 若正数 ,xy满足 53x y xy ，则5xy 的最小值是___________． 3 G A D B C F E 16．已知双曲线C ： )0(12 2 2 2  bab y a x 右支上非顶点的一点 A 关于原点O 的对称点为 B ， F 为其右焦 点，若 FBAF  ，设 ABF ，且 )4,12(   ，则双曲线C 离心率的取值范围是 ． 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知 ( 3sin ,cos )m x x ， (cos ,cos )n x x ， Rx ，设 ()f x m n. （Ⅰ）求 )(xf 的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，且 1a ， 2cb ， 1)( Af ，求 ABC 的面积． 18．（本小题满分 12 分） 数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 2n n nS S a    ， 1 2 5,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 满足 1( 2) nan n b a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 四边形 ABCD是菱形， ACEF 是矩形， 平面 ACEF  平面 ABCD， 22AB AF, 060BAD,G 是 BE 的中点 (I)证明: //CG 平面 BDF (II)求二面角 E BF D的余弦值 4 20. （本小题满分 12 分） 如图，设椭圆 ： ，长轴的右端点与 抛物线 ： 的焦点 重合，且椭圆 的离心率是 ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过 F 作直线l 交抛物线 于 A ，B 两点，过 且与直线 垂直的直线交椭圆 于另一点C ，求 ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线 的方程． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 1)( 2  axxxf ， xexg )( (其中 为自然对数的底数)． （Ⅰ）若 1a ，求函数 )()( xgxfy  在区间 上的最大值； （Ⅱ）若 1a ，关于 的方程 )()( xgkxf  有且仅有一个实数解，求实数 的取值范围； （III）若对任意 ]2,0[, 21 xx ， 21 xx  ，不等式 均成立，求实数 的取 值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的 参数方程为 （ 为参数）. （Ⅰ）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点 的坐标. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知实数 ， ，函数 ()f x x a x b    的最大值为 3. （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设函数 ，若对于 均有 ，求 的取值范围． 1C 22 221( 0)xy abab    2C 2 8yx F 1C 3 2 1C 2C 1C e  2,0 x k        1 2 1 2f x f x g x g x   a C 2  x l 1 23 xt yt   t l C C ' 1' 2 xx yy   'C ( , )M x y 'C 2232x xy y M 0a  0b  ab 2()g x x ax b    xa ( ) ( )g x f x a5 绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2016 级高三第四次模拟考试 数 学 试 卷 答 案 命题人 焉晓辉 审核人 孙宁 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C D B C B D A C B 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题 13. 13 4 14． 5 15. 12 16． ),2(  三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．【解析】（Ⅰ） xxxxf 2coscossin3)(  …………1 分 2 2cos12sin2 3 xx  2 1)62sin(  x …………3 分 令 )Z(63226222  kkxkkxk ， )(xf 的单调递增区间为 )Z(]6,3[  kkk  …………6 分 （Ⅱ）由 2 1)62sin(12 1)62sin()(   AAAf ， 又 )6 13,6(62),,0(   AA 36 5 62   AA …………8 分 )cos1(2)(cos2 2222 AbccbAbccba  …………10 分 1bc ， 4 3sin2 1   AbcS ABC …………12 分 18．【解析】（Ⅰ） 21  nnn aSS 211   nnnn aSSa 数列 }{ na 是公差为 2 的等差数列； …………2 分 又 521 ,, aaa 成等比数列， 2 111 2 111 )2()8()()4(  aaadadaa 6 G H OA D B C F E 11 a ， )(12 *Nnnan  …………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得： nn n nnb 2)12(2)12( 2  …………6 分 nn nnn nn bbbbbT 2)12(2)32(252321 1321 1321       …………7 分 1432 2)12(2)32(2523212  nn n nnT  …………8 分 错位相减得： 132 2)12()222(22  nn n nT  …………9 分 1 1 2)12(21 )21(422     n n n …10 分 112 2)32(62)12(822   nnn nn 62)32( 1  n n nT …12 分 19．【解析】 (I) 证法一: 设 AC BD O , BF 的中点为 H ，因为G 是 BE 的中点， 1/ / / / , 2GH EF AC GH AC OCOCGH 是平行四边形 //CG OH ,CG BDF OH BDF平面 平面 ， //CG BDF平面 证法二：因为 是 的中点， 2CG CB CE DA AF DF     //CG DF ,CG BDF DF BDF平面 平面 //CG BDF 平面 …………5 分 （II）设 EF 的中点为 N ，ACEF 是矩形，ON AC ， ACEF ABCD平面 平面 ， ,ON ABCD ON AC ON BD    面 ，四边形 ABCD是菱形， AC BD 以O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 Y 轴，ON 所在直线为 Z 轴 建 立空间直角坐标系 …………6 分 02, 1, 60AB AF BAD             1,0,0 , 0, 3,0 , 0, 3,1 , 0, 3,1 , 1,0,0B C F E D     2,0,0 , 1, 3,1 , 0, 2 3,0DB BF EF      平面 BEF 的法向量为  1 1 1 1,,n x y z ，平面 BDF 的法向量为  2 2 2 2,,n x y z 7 11 1 1 1 1 0 2 3 0 0 30 n EF y n BF x y z            令 1 1z  ，  1 1,0,1n  …………8 分  22 2 2 2 22 200 0,1, 3 300 xn DB n x y zn BF          …………10 分 12 36| cos , | 422 nn      …………11 分 设二面角 E BF D的大小为 ，则 12 6cos | cos , | 4nn     所以二面角 E BF D的余弦值为 6 4 …………12 分 20. 【解析】（Ⅰ）∵椭圆 ： ，长轴的右端点与抛物线 ： 的焦点 重合， ∴ ， .……………………2 分 又∵椭圆 的离心率是 ，∴ ， ， .……………………3 分 ∴椭圆 的标准方程为 ． .……………………4 分 （Ⅱ）过点 的直线 的方程设为 ，设 ， ， 联立 得 ， ∴ ， ， ∴ ． .……………………6 分 过 且与直线 垂直的直线设为 ， 联立 得 ， ∴ ，故 ， .……………………8 分 ∴ ， 面积 ． .……………………10 分 1C 22 221( 0)xy abab    2C 2 8yx F 2a  1C 3 2 3c  1b  1C 2 2 14 x y (2,0)F l 2x my 11( , )A x y 22( , )B x y 2 2, 8, x my yx    2 8 16 0y my   128y y m 12 16yy  2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 8(1 )AB m y y y y m      F l ( 2)y m x   2 2 ( 2), 1,4 y m x x y     2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0m x m x m     2 2 162 14C mx m 2 2 2(4 1) 41C mx m   22 2 4| | 1 | | 141CFCF m x x mm      ABC 2 2 2 1 16(1 )| | | | 12 4 1 mS AB CF mm     8 令 ，则 ， ， 令 ，则 ，即 时， 面积最小， 即当 时， 面积的最小值为 9，. 此时直线 的方程为 0452  yx ． ………………12 分 21．【解析】（1）当 1a 时, xexxy )1( 2  ， xx exxexxy )1)(2()23( 2  ， …………1 分 故 )()( xgxfy  在 ]1,2[  上单调递减, ]0,1[ 上单调递增, …………2 分 当 2x 时, 2 3 ey  , 当 0x 时, 1y , 故在区间 ]0,2[ 上， 1max y . …………3 分 （2）当 1a  时，关于 x 的方程为 2 1 xx x ke   有且仅有一个实根， 则 2 1 x xx ke  有且仅有一个实根。 设 2 1() x xxhx e  ， 则 2 3 2 ( 1)( 2)'( ) xx x x x xhx ee        ， …………5 分 因此 ()hx 在 ( ,1] 和[2, ) 上单调递减，在[1,2] 上单调递增。 2 13(1) , (2)hhee，如图所示，实数 k 的取值范围是 2 13(0, ) ( , )ee  …………7 分 （3）不妨设 12xx ，则 1 2 2 1 12( ) ( ) x x x xf x f x e e e e     恒成立， 因此 1 2 2 1 12( ) ( )x x x xe e f x f x e e     恒成立， 即 12 12( ) ( )xxe f x e f x   恒成立且 12 12( ) ( )xxe f x e f x   恒成立， 因此 ()xe f x 和 ()xe f x 均在[0,2] 上单调递增。 …………8 分 设 1)()( 2  axxexfexu xx ， 1)()( 2  axxexfexv xx 02)(  axexu x 在 ]2,0[x 上恒成立，即 xea x 2 在 恒成立, 因此 max)2( xea x  ,而 xex 2 在 上单调递减, 21 mt 3 2 16() 43 tS f t t 42 22 16(4 9 )'( ) (4 3) ttft t   '( ) 0ft 2 9 4t  2 91 4m ABC 5 2m  ABC l9 故 0x 时， 1)2( max  xex ， 1a . …………10 分 同理 由 02)(  axexv x 在 ]2,0[x 上恒成立, 因此 xea x 2 在 上恒成立, 因此 min)2( xea x ,设 )20(2)(  xxex x ,则 2)(  xex . 因此 )(x 在 )2ln,0( 内单调递减, 在 )2,2(ln 内单调递增, 2ln22)2(ln)( min  x ， 2ln22a . 综上所述, ]2ln22,1[ a . …………12 分 22. 【解析】(1)由 1xt，得 1tx，代入 23yt ， 得直线的普通方程 3 3 2 0xy    ……2 分 由 2  ，得 2 4  ，所以 224xy ……4 分 （2）∵ ，∴ 的直角坐标方程为 . ……6 分 ∴设 ，则 . ∴ . ……8 分 ∴当 ，即 或 ，上式取最小值 . 即当 或 ， 的最小值为 . ……10 分 23. 【解析】(1)由三角不等式 ( ) ( )x a x b x a x b a b         ， ……3 分 可得 max( ) 3f x a b   ……4 分 （2）当 时， ， ……6 分 对于 ，使得 等价于 成立， ∵ 的对称轴为 ，∴ 在 为减函数， ∴ 的最大值为 ， ……8 分 ∴ ，即 ，解得 或 ， 又因为 ，所以 . ……10 分 ' 1' 2 xx yy   'C 2 2 14 x y  2cos ,sinM  2cos , sinxy 2 2 2 23 2 4cos 2 3 sin cos 2sin 2cos 2 33x xy y             cos 2 13    1 3 2 x y   1 3 2 x y   1 31, 2M   31, 2  2232x xy y 1 xa     3f x x a x b x a x b a b             xa    g x f x  max,3x a g x     gx 2 axa    ,xa    2 2 223g a a a b a a        22 3 3aa     220aa 0a  1 2a  , 0, 3a o b a b    1 32 a