山东师范大学附中2019届高三数学四模试题(理科附答案)
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资料简介
1 绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2016 级高三第四次模拟考试 数 学 试 卷(理科) 命题人 焉晓辉 审核人 孙宁 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的 1.已知集合  | lg( 2)A x y x   ,  |3B x x,则 BA A. ( 2,3) B. (0,3) C. ( 3,0) D. ( 3, 2) 2.设复数 1zi   (i 是虚数单位),则1 1 z z   . 12 55i . 12 55i . 12 55i . 12 55i 3.命题 2,1x R x x    的否定是: . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    . 2,1x R x x    4.在等差数列 }{ na 中, 8 10 1 12aa,则数列 }{ na 的前11项和 11S . 8 . 16 . 22 . 44 5.在 ABC 中, 2AB , 3BC ,  60ABC , AD 为 BC 边上的高,O 为 的中点,若 AO AB BC,则   . 1 . 2 1 . 3 4 . 3 2 6.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该四棱锥的体积为 . 1 . 2 . 3 . 4 2 7.设函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数,当 0x  时, 3( ) log ( 1)f x x,则 [ ( 8)]ff A . 2 B . 1 C . 1 D. 2 8.定义运算: 12 1 4 2 3 34 aa a a a aaa,将函数 3 sin( ) ( 0) 1 cos xfx x    的图象向左平移 2 3  个单位,所得 图象对应的函数为偶函数,则 的最小值是 . 1 4 . 5 4 . 7 4 . 3 4 9. 已知三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 2AB SA SB SC    ,则该三棱锥 的外接球的表面积为 .  . 4 . 4 3  . 16 3  10.函数 xxxf lnsin)(  的图象大致是 . . . . 11. 已知抛物线 xy 42  上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5∶4,且|AF|>2,则点 A 到原 点的距离为 A. 22 B.4 C. 24 D.8 12. 已知直线 0x y k( 0)k  与圆 224xy交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有 2OA OB   , 那么 k 的取值范围是 A.( 3, ) B.[ 2,2 2) C. [ 2, ) D.[ 3,2 2) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 nS 是等比数列 na 的前 n 项和,若 4 2 =4S S ,则 6 4 = ______________S S . 14.若变量 ,xy满足约束条件 1 1 yx xy y      ,则 3z x y的最大值为___________. 15. 若正数 ,xy满足 53x y xy ,则5xy 的最小值是___________. 3 G A D B C F E 16.已知双曲线C : )0(12 2 2 2  bab y a x 右支上非顶点的一点 A 关于原点O 的对称点为 B , F 为其右焦 点,若 FBAF  ,设 ABF ,且 )4,12(   ,则双曲线C 离心率的取值范围是 . 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。) (一)必考题:共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知 ( 3sin ,cos )m x x , (cos ,cos )n x x , Rx ,设 ()f x m n. (Ⅰ)求 )(xf 的解析式及单调递增区间; (Ⅱ)在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ,且 1a , 2cb , 1)( Af ,求 ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分) 数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ,已知 1 2n n nS S a    , 1 2 5,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列 na 的通项公式; (Ⅱ)若数列 nb 满足 1( 2) nan n b a  ,求数列 nb 的前 n 项和 nT . 19.(本小题满分 12 分) 四边形 ABCD是菱形, ACEF 是矩形, 平面 ACEF  平面 ABCD, 22AB AF, 060BAD,G 是 BE 的中点 (I)证明: //CG 平面 BDF (II)求二面角 E BF D的余弦值 4 20. (本小题满分 12 分) 如图,设椭圆 : ,长轴的右端点与 抛物线 : 的焦点 重合,且椭圆 的离心率是 . (Ⅰ)求椭圆 的标准方程; (Ⅱ)过 F 作直线l 交抛物线 于 A ,B 两点,过 且与直线 垂直的直线交椭圆 于另一点C ,求 ABC 面积的最小值,以及取到最小值时直线 的方程. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 1)( 2  axxxf , xexg )( (其中 为自然对数的底数). (Ⅰ)若 1a ,求函数 )()( xgxfy  在区间 上的最大值; (Ⅱ)若 1a ,关于 的方程 )()( xgkxf  有且仅有一个实数解,求实数 的取值范围; (III)若对任意 ]2,0[, 21 xx , 21 xx  ,不等式 均成立,求实数 的取 值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ,以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的 参数方程为 ( 为参数). (Ⅰ)写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ,设 为曲线 上任一点,求 的最小值,并求相应点 的坐标. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 , ,函数 ()f x x a x b    的最大值为 3. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)设函数 ,若对于 均有 ,求 的取值范围. 1C 22 221( 0)xy abab    2C 2 8yx F 1C 3 2 1C 2C 1C e  2,0 x k        1 2 1 2f x f x g x g x   a C 2  x l 1 23 xt yt   t l C C ' 1' 2 xx yy   'C ( , )M x y 'C 2232x xy y M 0a  0b  ab 2()g x x ax b    xa ( ) ( )g x f x a5 绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2016 级高三第四次模拟考试 数 学 试 卷 答 案 命题人 焉晓辉 审核人 孙宁 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C D B C B D A C B 第 II 卷(共 90 分) 二、填空题 13. 13 4 14. 5 15. 12 16. ),2(  三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.【解析】(Ⅰ) xxxxf 2coscossin3)(  …………1 分 2 2cos12sin2 3 xx  2 1)62sin(  x …………3 分 令 )Z(63226222  kkxkkxk , )(xf 的单调递增区间为 )Z(]6,3[  kkk  …………6 分 (Ⅱ)由 2 1)62sin(12 1)62sin()(   AAAf , 又 )6 13,6(62),,0(   AA 36 5 62   AA …………8 分 )cos1(2)(cos2 2222 AbccbAbccba  …………10 分 1bc , 4 3sin2 1   AbcS ABC …………12 分 18.【解析】(Ⅰ) 21  nnn aSS 211   nnnn aSSa 数列 }{ na 是公差为 2 的等差数列; …………2 分 又 521 ,, aaa 成等比数列, 2 111 2 111 )2()8()()4(  aaadadaa 6 G H OA D B C F E 11 a , )(12 *Nnnan  …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: nn n nnb 2)12(2)12( 2  …………6 分 nn nnn nn bbbbbT 2)12(2)32(252321 1321 1321       …………7 分 1432 2)12(2)32(2523212  nn n nnT  …………8 分 错位相减得: 132 2)12()222(22  nn n nT  …………9 分 1 1 2)12(21 )21(422     n n n …10 分 112 2)32(62)12(822   nnn nn 62)32( 1  n n nT …12 分 19.【解析】 (I) 证法一: 设 AC BD O , BF 的中点为 H ,因为G 是 BE 的中点, 1/ / / / , 2GH EF AC GH AC OCOCGH 是平行四边形 //CG OH ,CG BDF OH BDF平面 平面 , //CG BDF平面 证法二:因为 是 的中点, 2CG CB CE DA AF DF     //CG DF ,CG BDF DF BDF平面 平面 //CG BDF 平面 …………5 分 (II)设 EF 的中点为 N ,ACEF 是矩形,ON AC , ACEF ABCD平面 平面 , ,ON ABCD ON AC ON BD    面 ,四边形 ABCD是菱形, AC BD 以O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,OC 所在直线为 Y 轴,ON 所在直线为 Z 轴 建 立空间直角坐标系 …………6 分 02, 1, 60AB AF BAD             1,0,0 , 0, 3,0 , 0, 3,1 , 0, 3,1 , 1,0,0B C F E D     2,0,0 , 1, 3,1 , 0, 2 3,0DB BF EF      平面 BEF 的法向量为  1 1 1 1,,n x y z ,平面 BDF 的法向量为  2 2 2 2,,n x y z 7 11 1 1 1 1 0 2 3 0 0 30 n EF y n BF x y z            令 1 1z  ,  1 1,0,1n  …………8 分  22 2 2 2 22 200 0,1, 3 300 xn DB n x y zn BF          …………10 分 12 36| cos , | 422 nn      …………11 分 设二面角 E BF D的大小为 ,则 12 6cos | cos , | 4nn     所以二面角 E BF D的余弦值为 6 4 …………12 分 20. 【解析】(Ⅰ)∵椭圆 : ,长轴的右端点与抛物线 : 的焦点 重合, ∴ , .……………………2 分 又∵椭圆 的离心率是 ,∴ , , .……………………3 分 ∴椭圆 的标准方程为 . .……………………4 分 (Ⅱ)过点 的直线 的方程设为 ,设 , , 联立 得 , ∴ , , ∴ . .……………………6 分 过 且与直线 垂直的直线设为 , 联立 得 , ∴ ,故 , .……………………8 分 ∴ , 面积 . .……………………10 分 1C 22 221( 0)xy abab    2C 2 8yx F 2a  1C 3 2 3c  1b  1C 2 2 14 x y (2,0)F l 2x my 11( , )A x y 22( , )B x y 2 2, 8, x my yx    2 8 16 0y my   128y y m 12 16yy  2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 8(1 )AB m y y y y m      F l ( 2)y m x   2 2 ( 2), 1,4 y m x x y     2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0m x m x m     2 2 162 14C mx m 2 2 2(4 1) 41C mx m   22 2 4| | 1 | | 141CFCF m x x mm      ABC 2 2 2 1 16(1 )| | | | 12 4 1 mS AB CF mm     8 令 ,则 , , 令 ,则 ,即 时, 面积最小, 即当 时, 面积的最小值为 9,. 此时直线 的方程为 0452  yx . ………………12 分 21.【解析】(1)当 1a 时, xexxy )1( 2  , xx exxexxy )1)(2()23( 2  , …………1 分 故 )()( xgxfy  在 ]1,2[  上单调递减, ]0,1[ 上单调递增, …………2 分 当 2x 时, 2 3 ey  , 当 0x 时, 1y , 故在区间 ]0,2[ 上, 1max y . …………3 分 (2)当 1a  时,关于 x 的方程为 2 1 xx x ke   有且仅有一个实根, 则 2 1 x xx ke  有且仅有一个实根。 设 2 1() x xxhx e  , 则 2 3 2 ( 1)( 2)'( ) xx x x x xhx ee        , …………5 分 因此 ()hx 在 ( ,1] 和[2, ) 上单调递减,在[1,2] 上单调递增。 2 13(1) , (2)hhee,如图所示,实数 k 的取值范围是 2 13(0, ) ( , )ee  …………7 分 (3)不妨设 12xx ,则 1 2 2 1 12( ) ( ) x x x xf x f x e e e e     恒成立, 因此 1 2 2 1 12( ) ( )x x x xe e f x f x e e     恒成立, 即 12 12( ) ( )xxe f x e f x   恒成立且 12 12( ) ( )xxe f x e f x   恒成立, 因此 ()xe f x 和 ()xe f x 均在[0,2] 上单调递增。 …………8 分 设 1)()( 2  axxexfexu xx , 1)()( 2  axxexfexv xx 02)(  axexu x 在 ]2,0[x 上恒成立,即 xea x 2 在 恒成立, 因此 max)2( xea x  ,而 xex 2 在 上单调递减, 21 mt 3 2 16() 43 tS f t t 42 22 16(4 9 )'( ) (4 3) ttft t   '( ) 0ft 2 9 4t  2 91 4m ABC 5 2m  ABC l9 故 0x 时, 1)2( max  xex , 1a . …………10 分 同理 由 02)(  axexv x 在 ]2,0[x 上恒成立, 因此 xea x 2 在 上恒成立, 因此 min)2( xea x ,设 )20(2)(  xxex x ,则 2)(  xex . 因此 )(x 在 )2ln,0( 内单调递减, 在 )2,2(ln 内单调递增, 2ln22)2(ln)( min  x , 2ln22a . 综上所述, ]2ln22,1[ a . …………12 分 22. 【解析】(1)由 1xt,得 1tx,代入 23yt , 得直线的普通方程 3 3 2 0xy    ……2 分 由 2  ,得 2 4  ,所以 224xy ……4 分 (2)∵ ,∴ 的直角坐标方程为 . ……6 分 ∴设 ,则 . ∴ . ……8 分 ∴当 ,即 或 ,上式取最小值 . 即当 或 , 的最小值为 . ……10 分 23. 【解析】(1)由三角不等式 ( ) ( )x a x b x a x b a b         , ……3 分 可得 max( ) 3f x a b   ……4 分 (2)当 时, , ……6 分 对于 ,使得 等价于 成立, ∵ 的对称轴为 ,∴ 在 为减函数, ∴ 的最大值为 , ……8 分 ∴ ,即 ,解得 或 , 又因为 ,所以 . ……10 分 ' 1' 2 xx yy   'C 2 2 14 x y  2cos ,sinM  2cos , sinxy 2 2 2 23 2 4cos 2 3 sin cos 2sin 2cos 2 33x xy y             cos 2 13    1 3 2 x y   1 3 2 x y   1 31, 2M   31, 2  2232x xy y 1 xa     3f x x a x b x a x b a b             xa    g x f x  max,3x a g x     gx 2 axa    ,xa    2 2 223g a a a b a a        22 3 3aa     220aa 0a  1 2a  , 0, 3a o b a b    1 32 a

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