2018-2019学年山东省蒙阴县实验中学高三第二次月考
数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知复数z满足（1﹣i）z=i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．﹣ B． C．﹣i D．i
2．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则λ等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．集合A={x|log2x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B等于（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，4） B．（﹣∞，﹣3）∪（1，4）
C．（1，4） D．（3，4）
4．对于一组数据1，2，3，4，5，如果将它们改变为11，12，13，14，15，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数不变，方差变
B．平均数与方差均发生变化
C．平均数与方差均不变
D．平均数变，方差保持不变
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为96、36，则输出的i为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
7．设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣3，1] B．[﹣4，2]
C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）
9．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ）
A． B． C．6π D．
10．若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0）使ax0+y0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．a≥﹣1
11．函数在上的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设A，B为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C． D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设函数 f（x）=，则函数 f（log26）的值为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，若sinα=，则cos（α+β）= ．
15．已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，则a=
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，且b1=6，b2=9，则的最小值为 ．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，∠ABC=90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．
（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2）若AC=5，BC=3，∠A1AB=60°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
19．（12分）在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行偏差分析，决定从全班40位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x
20
15
13
3
2
﹣5
﹣10
﹣18
物理偏差y
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
﹣0.5
﹣2.5
﹣3.5
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为92分，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：，，
参考数据：，．
20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣lnx，m，n∈R．
（1）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，求实数n的值；
（2）试讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上最大值；
（3）若n=1时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2．
选考题：
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
数学试卷（文科）答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．解：由（1﹣i）z=i，得z=，
∴z的虚部为．故选：B．
2．解：平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），
∴λ﹣=（λ﹣4，﹣3λ+2），
又λ﹣与垂直，
∴（λ﹣）•=0，
∴（λ﹣4）﹣3（﹣3λ+2）=0，解得λ=1．故选：D．
3．解：∵集合A={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，
B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x|3＜x＜4}=（3，4）．故选：D．
4．解：对于一组数据1，2，3，4，5，
平均数=（1+2+3+4+5）=3，
方差S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，
将它们改变为11，12，13，14，15，
平均数变为：10+=13，
方差没变，还是2．故选：D．
5．解：由程序框图可知：
当a=96，b=36时，满足a＞b，则a=96﹣36=60，i=1
由a＞b，则a=60﹣36=24，i=2
由a＜b，则b=36﹣24=12，i=3
由a＞b，则a=24﹣12=12，i=4
由a=b=12，输出i=4．故选：A．
6．解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．
对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．
对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．
因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．
由排除法得到D正确．故选：D．
7．解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，
∴1＜a＜2，
又∵b=0.32＜0.30=1，
∵x＞1，∴c=logx（x2+0.3）＞logxx2=2，
∴c＞a＞b．故选：B．
8．解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，
又由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
由f（m+2）≥f（x﹣1）可得|（m+2）﹣1|≤|（x﹣1）﹣1|，
即|m+1|≤|x﹣2|恒成立，
又由x∈[﹣1，0]，则2≤|x﹣2|≤3，
则有：|m+1|≤2，
解可得﹣3≤m≤1；即m的取值范围为[﹣3，1]；故选：A．
9．解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，
其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，
故圆锥的母线长为，
所以几何体的表面积S=π×12+2π×2+π×1×=（5+）π．故选：D．
10．解：由题意作平面区域如下，
，
易知直线ax+y+2=0恒过点C（0，﹣2），
化简可得y=﹣ax﹣2，
结合图象可求得B（5，3），
故直线BC的斜率k==1，
故﹣a≥1，
故a≤﹣1，
故选：B．
11．解：函数的解析式满足f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数，排除C、D选项，
由可知：|f（x）|≤1，排除A选项．
故选：B．
12．解：∵，则在y轴上的射影长为﹣1
而|AB|=3，因此A、B点所在的渐近线与y轴的夹角的余弦值为，正切值为2．
∴渐近线的斜率k=，
故当λ＞0时．，e=．
当λ＜0时，，e=．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．解：∵函数 f（x）=，
∴函数 f（log26）=f（log26+1）=
=6×2=12．故答案为：12．
14．解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，且sinα=，
∴sinβ=，
若α为第一象限角，则cosα=，cosβ=，
此时cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=；
若α为第二象限角，则cosα=﹣，cosβ=，
此时cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=．
∴cos（α+β）=．
故答案为：．
15．解：根据题意，f（x）=alnx+x，则f（a）=alna+a，
又由f（x）=alnx+x，则f′（x）=+1，则有f′（a）=+1=2，
则曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线为y﹣（alna+a）=2（x﹣a），
又由曲线f（x）=alnx+x在x=a处的切线过原点，
则有﹣alna﹣a=﹣2a，解得a=e．故答案为：e．
16．解：设等差数列{an}的公差为d，
∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，
∴b1=a1+a2+a3=6，b2=a4+a5+a6=9，
∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6，解得d=，
∴a1+a1++a1+=6，解得a1=，
∴Sn=na1+d=n+n（n﹣1）=，
∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+（3n﹣2﹣1）×++（3n﹣1﹣1）×++（3n﹣1）×
=3n+3=3（n+1），
∴====（n++10）
≥（10+2）=8，当且仅当n=3时取等号，
故答案为：8
三、17．解：（Ⅰ）由已知得，
即有，
因为sinA≠0，
∴．
又cosB≠0，
∴．
又0＜B＜π，
∴，
∴．
（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2﹣2acosB．
因为，
有．
又0＜a＜1，
于是有，即有．
18．（1）证明：∵在平行四边形AA1B1B中，AA1=AB，
∴四边形A1ABB1是菱形，
∴AB1⊥A1B，
∵平面A1ABB1⊥平面 ABC，
平面A1ABB1∩平面 ABC=AB，AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABB1A1，又AB1⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，
∴AB1⊥平面 A1BC．
（2）解：在Rt△ABC中，∵BC=3，AC=5，∴AB=4．
又AA1=AB=4，∠A1AB=60°，
∴△A1AB是边长为4的等边三角形，
取AB的中点D，连接A1D，则A1D⊥AB，A1D=2．
又平面A1ABB1⊥平面 ABC，平面A1ABB1∩平面 ABC=AB，
∴A1D⊥平面ABC，
∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积S△ABC•A1D==12．
19．解：（1）由题意计算得，
，，
，
所以=，
所以线性回归方程为；
（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，
则物理偏差为ω﹣92，
而数学偏差为126﹣120=6，
则由（1）的结论可得，
解得ω=94，
所以可以预测这位同学的物理成绩为94分．
20．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为+=1 （a＞b＞0），F（c，0）；
由题意知，
解得b=，c=1；
所以椭圆C的方程为+=1，离心率为e==；
（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）；
由，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0；
设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，
所以x0=，y0=k（x0+2）=；
因为点F坐标为（1，0），
当k=±时，点P的坐标为（1，±），
直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2），
此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2=1与直线PF相切；
当k≠±时，则直线PF的斜率为kPF==，
所以直线PF的方程为y=（x﹣1），
点E到直线PF的距离为
d===2|k|；
又因为|BD|=4|k|，所以d=|BD|，
故以BD为直径的圆与直线PF相切；
综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．
21．解：（1）由f′（x）=，，
由于函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，
故，解得n=6…（2分）
（2）f′（x）=，（x＞0），
由f′（x）＜0时，x＞n；f′（x）＞0时，x＜n，
所以①当n≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，
故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=m﹣n；
②当n＞1，f（x）在[1，n）上单调递增，在（n，+∞）上单调递减，
故f（x）在 [1，+∞）上的最大值为f（n）=m﹣1﹣lnn；
（3）证明：n=1时，f（x）恰有两个零点x1，x2，（0＜x1＜x2），
由，f（x2）=，得，
∴，
设t=＞1，lnt=，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=，
∴，
记函数，因，
∴h（t）在（1，+∞）递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，
又lnt＞0，故x1+x2＞2成立…（12分）
22．解：（1）∵圆C的参数方程为（ϕ为参数）
∴圆C的普通方程为x2+（y﹣3）2=9；
（2）化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ，
设P（ρ1，θ1），则由，
解得，
设Q（ρ2，θ2），则由，
解得，
∴|PQ|=ρ2﹣ρ1=1．
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