由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【期末专项复习】第二章：对称图形—圆 解答题培优训练
1．如图，AB是⊙O的直径，PO⊥AB．PE是⊙O的切线，交AB的延长线于点C，切点为E，AE交PO于点F．（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）在图中，作EH⊥AB，垂足为H，作弦BD∥PC，交EH于点G．若EG＝5，sinC＝，求直径AB的长．
2．如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°
（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；
（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．
3．已知直线l与⊙O相交于点E、F，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
5．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
6．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
7．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相交于点D，AD平分∠BAC．
（1）求证，BC是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
9．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
10．如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P， Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）当BQ＝4时，求扇形COQ的面积及的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，请直接写出OC的取值范围．
11．如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
12．如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．
13．如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．
14．如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE．
（1）求证：点D是BC的中点．
（2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
15．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
16．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE＝CM．
（2）求证：AB﹣AC＝2BE．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
参考答案
1．（1）证明：∵PE为⊙O的切线，
∴OE⊥PC，
∴∠OEP＝90°，
∴∠OEA+∠AEP＝90°，
∵OP⊥AC，
∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO＝90°，
∵∠AFO＝∠PFE，
∴∠PFE+∠A＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠AEP＝∠PFE，
∴PE＝PF；
∴△PEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠C+∠COE＝90°，∠COE+∠OEH＝90°，
∴∠C＝∠OEH，
∵sin∠C＝＝sin∠OEH＝，
设OH＝3x，OE＝5x，则EH＝4x，OA＝OB＝5x，
∴BH＝OB﹣OH＝2x，GH＝4x﹣5，
∵BG∥PC，
∴∠GBH＝∠C，
∵sin∠C＝，
∴tan∠C＝＝tan∠GBH，
∴，x＝2，
∴AB＝10x＝20，
答：直径AB的长．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【点评】本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是运用方程的思想设未知数解决问题，属于中考常考题型．
2．解：（1）∵AO⊥BD，
∴＝，
∴∠AOB＝2∠ACD，
∵∠AOB＝80°，
∴∠ACD＝40°；
（2）①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；
②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD＝180°，
∴∠AC2D＝140°
综上所述，∠ACD＝140°或40°．
【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理等知识，解本题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
3．解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠BEF＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠BEF＝∠DAE＝18°，
∵＝，
∴∠BAF＝∠BEF＝18°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）连结OE，
∵AB＝8，∠BAC＝45°，
∴∠BOE＝90°，BO＝EO＝4，∠AOE＝90°，
∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝8+4π．
【点评】此题主要考查了扇形面积以及等腰三角形的性质和圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解题关键．
5．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（2）连接OD，
∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠FBD，
∵OE∥BD，
∴∠FBD＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，
∴∠C＝60°，
∴AB＝BC＝2，
∴⊙O的半径为，
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．
【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，直角三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．
6．解：连接AC，
∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm，
∴AC＝5cm，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
7．（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵BC与圆相切于点D．
∴BD2＝BE•BA，
∵BE＝2，BD＝4，
∴BA＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝6，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆的切线性质和切割线定理，遇到圆的切线的问题，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
8．解：（1）连接OD．
、
∵OA＝OD，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵＝，
∴OE⊥AD，
∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，
∴△AKO≌△AKE，
∴AO＝AE＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣×22＝﹣．
【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．解：（1）∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠PBC＝120°，
∵CP是⊙O的切线，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
在△PBC与△AOC中，，
∴△PBC≌△AOC（ASA）；
（2）如图1，连接OD，BD，CD，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OA＝AD＝CD＝OC，
则，OA＝OD＝OC，
∴△AOD与△COD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∴的长＝＝π；
如图2，同理∠BOC＝120°，
∴的长＝＝2π，
综上所述，的长为π或2π．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．
10．（1）证明：连接OQ，如图所示．
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠APO＝∠BQO＝90°．
在Rt△APO和Rt△BQO中，，
∴Rt△APO≌Rt△BQO（HL），
∴AP＝BQ．
（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP＝∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线．
∵在Rt△BOQ中，cosB＝＝＝，
∴∠B＝30°，∠BOQ＝60°，
∴OQ＝OB＝4，
∴S扇形COQ＝＝π．
∵∠COD＝90°，
∴∠QOD＝90°+60°＝150°，
∴优弧的长＝＝π．
（3）解：设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，
∵OA＝8，
∴OM＝4，
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OM＜OC，
∴OC的取值范围为4＜OC＜8．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键．
11．（1）证明：连接OC，如图1，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵AC平分∠EAB，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O切线；
（2）解：连接BE交OC于H，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC∥AD，
∴∠OHB＝90°，
∴EH＝BH，四边形CDEH为矩形，
∴CD＝EH＝3，CH＝ED，
∴BH＝3，
在Rt△OBH中，OH＝＝3，
∴CH＝6﹣3＝3，
∴DE＝3；
（3）解：连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，
∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD＝CF，
∴AD＝AF＝AO+OF，
∵AD﹣OA＝1.5，
∴AO+OF﹣OA＝1.5，即OF＝1.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAF＝∠BAC，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴△ACF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得r＝﹣（舍去）或r＝3，
在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝，
∴∠COF＝60°，
∴CF＝OF＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形BOC﹣S△OCB＝﹣×3×＝π﹣．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理和垂径定理．
12．解：（1）DE与⊙O相切．
理由如下：∵CD＝BD，OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于F，如图，
易得四边形ODEF为矩形，
∴OF＝DE，
∵∠BAC＝45°，
∴△OAF为等腰直角三角形，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴OF＝OA＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线．
13．证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OA＝OB M、N分别是OA、OB的中点
∴OM＝ON，
在△MOC和△NOC中，，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC＝NC．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
14．（1）证明：连接AD，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BD＝DE，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（ASA），
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴BD＝DC，即点D是BC的中点；
（2）解：∵△BAD≌△CAD，
∴AB＝AC，
∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴DE＝AE＝EC，
由（1）得，DE＝BD＝DC，
∴CA＝CB，
∴CA＝CB＝AB，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键．
15．解：（1）连接AD、BC．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴
即AM•MB＝CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2
∴CD＝CM＝
＝
＝
由（1）知AM•MB＝CM•MD．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴AM•MB＝•
＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
16．证明：（1）连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD＝弧CD，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M＝∠DEB＝90°，DE＝DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE＝CM．
（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M＝∠DEA＝90°，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
在Rt△DEA和Rt△DMA中
∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），
∴AE＝AM，
∴AB﹣AC，
＝AE+BE﹣AC，
＝AM+BE﹣AC，
＝AC+CM+BE﹣AC，
＝BE+CM，
＝2BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，角平分线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
17．解：如图：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝40°，
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付