文科数学试题.pdf

1 绝密★启用前 2018 年 12 月 南山中学 2020 届 12 月月考试题 文科数学 命题人：尹 冰 审题人：刘群建 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.直线 x 的倾斜角等于( ) A.0 B.π 4 C.π 2 D.π 2.1037 和 425 的最大公约数是( ) A. 9 B.3 C.51 D.17 3.直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 4.直线 012  yx 关于直线 01y 对称的直线方程是( ) A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C. 2x＋y－3＝0 D.2x＋y＋3＝0 5.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟) 的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为 1～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区 间(142,153)上的运动员人数是( ) A.2 B.3 C.4 D.3 或 4 6.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增 加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名 的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则 输出 n 的值为( )(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)2 A.6 B.12 C.24 D.48 7.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人 数是男生人数的1 2 ，男生追星的人数占男生人数的1 6 ，女生追星的人数占女生人数的2 3 .若有 95%的把握认为 是否追星和性别有关，则男生至少有( )参考数据及公式如下： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      A. 12 B. 11 C.10 D.18 8.过椭圆 14 22  yx 的中心任意作一条直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的 最小值是( ) A.1 B.3 C.4 D.6 9.已知圆 C 的方程为 x2＋y2＝1，直线l 的方程为 x＋y＝2，过圆 C 上任意一点 P 作与l 夹角为 45°的直线 交l 于点 A，则|PA|的最大值为( ) A. 22  B． 2 21 C.2 D．3 10.若双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)与圆 M： 222 cyx  的公共点和双曲线两个焦点    0,0, c，c 构成 正六边形，则 C 的离心率为( ) A.2 B. 2 C. 324  D. 13  11.已知 F 为抛物线 C： 24xy  的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点， 直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.8 C.1 D. 2 1 12.正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 上，若椭圆的焦点在正方形的外部，则椭圆的离心率的取 值范围是( ) A. 5－1 2 ，1 B. 0， 5－1 2 C. 3－1 2 ，1 D. 0， 3－1 2 P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.8283 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分之外的概率是________． 14.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01，02，…，33 的 33 个个体组成，某彩民利用下面的 随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始 由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为________. 49 54 43 54 80 27 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 15．某班有 50 名学生，在一次考试中统计出平均分为 100，方差为 110，后来发现有 3 名同学的分数登 记错了，甲实际得 120 分却记成了 100 分，乙、丙实际均得 110 分却记成了 120 分，更正后方差为________． 16.已知 ABC 的三顶点坐标分别为  1,1 ，  11  ， ，      tt，1 ，则 ABC 的垂心的轨迹方程________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分)某校某班在一次数学测验中，全班 N 名 学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在 110～ 120 的学生有 14 人. (1)求总人数 N 和分数在 120～125 的人数 n； (2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中 位数各是多少？ 18.(本题满分 12 分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄 存款(年底余额)，如下表 1： 年份 x 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10 表 1 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5 得到下表 2：4 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表 2 (1)求 z 关于 t 的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3)用所求回归方程预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ (附：对于线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ ，其中b^ ＝ ∑ n i＝1 xiyi－nx－·y－ ∑ n i＝1 x2 i－nx－2 ，a^ ＝y－－b^ x－) 19.(本题满分 12 分)一个袋子里装有三个大小相同的小球，分别标有数字 1、2、3；随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 个小球；规定：第一次抽得小球数字记为 a,第二次抽得小球数字记为 b,第三次抽得小球 数字记为 c. (1)一共多少个基本事件并一一列出(基本事件用(a,b,c)方式表示)； (2)①求“抽取的小球表示的数字满足 a＋b＝c”的概率； ②求“抽取的小球表示的数字 a，b，c 不完全相同”的概率． 20.(本题满分 12 分)已知圆 C 与直线 1 yx 和直线 x＋y＝1 都相切，且圆心在直线 y＝－2x 上. (1)求圆 C 的方程； (2)当圆 C 半径大于 1 时，直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线l 的方程. 21.(本题满分 12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交 于 M，N 两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线l 为抛物线 C 的切线，且l ∥MN，P 为l 上一点，求PM→·PN→的最小值． 22.(本题满分 12 分)已知椭圆 C： 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 经过点 (0， 3)，离心率为1 2 ，直线l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 N 为△F1AF2 的内心，求△F1NF2 与△F1AF2 面积的比值； （3）设点 A，F2，B 在直线 x＝4 上的射影依次为点 D，G， E．连结 AE，BD，试问当直线l 的倾斜角变化 时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．