2018年秋人教版九年级数学上第24章圆解答题培优试题（带答案）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第24章 圆 解答题培优试题 ‎1．已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．‎ ‎（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．‎ ‎2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E，连接OD．‎ ‎（1）求证：OD为△ABC的中位线；‎ ‎（2）若AC＝6cm，求点O到DE的距离．‎ ‎3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠F＝30°，EB＝8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．‎ ‎（1）试说明DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC＝3AE，求tanC．‎ ‎5．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程的两个实数根．‎ ‎（1）求△ABC的周长．‎ ‎（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．‎ ‎6．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求⊙O的面积；‎ ‎（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．‎ ‎7．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，‎ ‎（1）求等边三角形的高；‎ ‎（2）求CE的长度；‎ ‎（3）若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．‎ ‎8．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．‎ ‎9．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．‎ ‎（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；‎ ‎（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．‎ ‎（1）求出圆洞门⊙O的半径；‎ ‎（2）求立柱CE的长度．‎ ‎11．如图，AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C，过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PC＝PF，试证明CE平分∠ACB．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB＝8，AE＝6，求BF的长．‎ ‎13．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP＝AC，且∠B＝2∠P．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PD＝，求⊙O的直径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）AC＝2，AB＝6，求BE的长．‎ ‎15．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．‎ ‎（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；‎ ‎（Ⅱ）若⊙O半径为2，TC＝，求AD的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；‎ ‎（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；‎ ‎（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB＝4PD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案 ‎1．（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，‎ ‎∴PD⊥l，‎ ‎∵l∥BC，‎ ‎∴PD垂直平分弦BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠BAD＝∠DAC，‎ 即AD平分∠BAC；‎ ‎（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，‎ ‎∴∠DAC＝∠BCD，‎ 在△ADC和△CDE中 ‎∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，‎ ‎∴△ADC∽△CDE，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 得DC＝4．‎ ‎2．解：（1）连接CD，‎ ‎∵BC是圆的直径，‎ ‎∴∠BDC＝90°，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ 又∵AC＝BC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AD＝BD，‎ 又∵OC＝OB，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线．‎ ‎（2）连接OD，‎ ‎∵AD＝BD，OB＝OC，‎ ‎∴DO是△ABC的中位线，‎ ‎∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴DE⊥DO，‎ ‎∴点O到直线DE的距离为3．‎ ‎3．（1）证明：连接OD，如图，‎ ‎∵四边形EBOC是平行四边形，‎ ‎∴OC∥BE，‎ ‎∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠3＝∠4，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ 在△ODC和△OAC中 ‎，‎ ‎∴△ODC≌△OAC，‎ ‎∴∠ODC＝∠OAC＝90°，‎ ‎∴OD⊥CD，‎ ‎∴CF是⊙O的切线；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）解：∵∠F＝30°，‎ ‎∴∠FOD＝60°，‎ ‎∴∠1＝∠2＝60°，‎ ‎∵四边形EBOC是平行四边形，‎ ‎∴OC＝BE＝8，‎ 在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，AC＝OA＝4‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S四边形AODC﹣S扇形AOD ‎＝2××4×4﹣‎ ‎＝16﹣π．‎ ‎4．解：（1）连接OD，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠B＝∠ODB，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C，‎ ‎∴∠ODB＝∠C，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DF，点D在⊙O上，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）连接BE，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∵AB＝AC，AC＝3AE，‎ ‎∴AB＝3AE，CE＝4AE，‎ ‎∴BE＝＝2AE，‎ 在Rt△BEC中，tanC＝＝＝．‎ ‎5．解：（1）若b、c中有一边等于3，‎ 则方程可化为，‎ 解得；‎ 原方程可化为，‎ 解得x1＝3，x2＝，‎ 所以三角形的周长为3+3+＝；‎ 若b＝c，则△＝，‎ 解得m＝﹣4或2，‎ 当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2，‎ 所以三角形的周长为2+2+3＝7；‎ 当m＝2时，方程为x2+2x+1＝0，得x1＝x2＝﹣1；（不合题意，舍去）‎ 综上可知△ABC的周长为7或7．‎ ‎（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．‎ ‎∵△ABC的三边均为整数，‎ ‎∴AB＝AC＝2，BC＝3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BE＝BC＝．AE＝＝＝，‎ 设AO＝R，在Rt△BOE中，R2＝（）2+（﹣R）2，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．‎ ‎6．解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°．‎ ‎∴AC＝8，BC＝6，‎ ‎∴AB＝10．‎ ‎∴⊙O的面积＝π×52＝25π；‎ ‎（2）作直径DD′⊥AB，BH⊥CD于H，如图，则＝，‎ ‎∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴△ADB为等腰直角三角形，‎ ‎∴DB＝AB＝5，‎ 易得△BCH为等腰直角三角形，‎ ‎∴CH＝BH＝BC＝3，‎ 在Rt△BDH中，DH＝＝4，‎ ‎∴CD＝CH+DH＝3+4＝7，‎ ‎∵DD′是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DCD′＝90°，‎ ‎∴CD′＝＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上所述，CD的长为或7．‎ ‎7．解：（1）如图，作AM⊥MC于M．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠MAC＝∠MAB＝30°，‎ ‎∴CM＝AC＝2，‎ ‎∴AM＝＝＝2．‎ ‎（2）∵CF是⊙O直径，‎ ‎∴CF＝CM＝2，连接EF，则∠CEF＝90°，‎ ‎∵∠ECF＝90°﹣∠ACB＝30°，‎ ‎∴EF＝CF＝，‎ ‎∴CE＝＝＝3．‎ ‎（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．‎ ‎8．解：如图，作直径AD，连接CD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ACD＝90°．‎ ‎∵∠B＝60°，‎ ‎∴∠D＝∠B＝60°．‎ ‎∵⊙O的半径为6，‎ ‎∴AD＝12．‎ 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，‎ ‎∴CD＝6．‎ ‎∴AC＝6．‎ ‎9．（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．‎ ‎∵AF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABF＝90°，‎ ‎∴∠AFB+∠BAD＝90°，‎ ‎∵∠AFB＝∠ACB，‎ ‎∴∠ACB+∠BAD＝90°．‎ ‎（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．‎ ‎∵∠AOB＝2∠ACB，‎ ‎∠ADC＝2∠ACB，‎ ‎∴∠AOB＝∠ADC，‎ ‎∴∠BOD＝∠BDO，‎ ‎∴BD＝BO，‎ ‎∴BD＝OA，‎ ‎∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，‎ ‎∴△BDE≌△AOH，‎ ‎∴DE＝AH，‎ ‎∵OH⊥AC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AH＝CH＝AC，‎ ‎∴AC＝2DE．‎ ‎10．解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．‎ ‎∵的度数为120°，AO＝BO，‎ ‎∴∠BOH＝×120°＝60°，‎ ‎∴AH＝BH＝，‎ 在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，‎ ‎∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；‎ ‎（2）作OM⊥EC于M，连接OC．‎ ‎∵Rt△BOH中，OH＝1，‎ ‎∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，‎ ‎∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，‎ 在Rt△OMC中，CM＝＝，‎ ‎∴CE＝ME+CM＝1+＝，‎ ‎∴立柱CE的长度为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．证明：（1）连接OC，如图，‎ ‎∵AC平分∠DAB，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠1＝∠3，‎ ‎∴∠2＝∠3，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵OC⊥PC，‎ ‎∴∠PCB+∠BCO＝90°，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO＝90°，‎ ‎∴∠3＝∠PCB，‎ 而∠1＝∠3，‎ ‎∴∠1＝∠PCB，‎ ‎∵PC＝PF，‎ ‎∴∠PCF＝∠PFC，‎ 而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，‎ ‎∴∠BCF＝∠ACF，‎ 即CE平分∠ACB．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．（1）证明：连接OD，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠C，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ABC＝∠ODB，‎ ‎∴∠ODB＝∠C，‎ ‎∴OD∥AC，又DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OD∥AC，‎ ‎∴△FOD∽△FAE，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得，BF＝4．‎ ‎13．（1）证明：连接OA、AD，如图，‎ ‎∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC，‎ ‎∴∠ADC＝2∠P，‎ ‎∵AP＝AC，‎ ‎∴∠P＝∠ACP，‎ ‎∴∠ADC＝2∠ACP，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵CD为直径，‎ ‎∴∠DAC＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝60°，∠C＝30°，‎ ‎∴△ADO为等边三角形，‎ ‎∴∠AOP＝60°，‎ 而∠P＝∠ACP＝30°，‎ ‎∴∠OAP＝90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，‎ ‎∴OP＝2OA，‎ ‎∴PD＝OD＝，‎ ‎∴⊙O的直径为2；‎ ‎（3）解：作EH⊥AD于H，如图，‎ ‎∵点B等分半圆CD，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠DAE＝45°，‎ 设DH＝x，‎ 在Rt△DHE中，DE＝2x，HE＝x，‎ 在Rt△AHE中，AH＝HE＝x，‎ ‎∴AD＝x+x＝（+1）x，‎ 即（+1）x＝，‎ 解得x＝，‎ ‎∴DE＝2x＝3﹣．‎ ‎14．（1）证明：∵OA＝OD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠ODA，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ACB＝∠ODB，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ODB＝90°，‎ ‎∵OD是半径，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OD∥AC，‎ ‎∴△BDO∽△BCA，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC＝2，AB＝6，‎ ‎∴设OD＝r，则BO＝6﹣r．‎ ‎∴，‎ 解得，r＝1.5，‎ ‎∴AE＝3，‎ ‎∴BE＝3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．解：（Ⅰ）连接OT，如图1：‎ ‎∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，‎ ‎∴∠ACT＝∠OTC＝90°，‎ ‎∴∠CAT+∠CTA＝∠CTA+∠ATO，‎ ‎∴∠CAT＝∠ATO，‎ ‎∵OA＝OT，‎ ‎∴∠OAT＝∠ATO，‎ ‎∴∠DAB＝2∠CAT＝50°，‎ ‎∴∠CAT＝25°，‎ ‎∴∠ATC＝90°﹣25°＝65°；‎ ‎（Ⅱ）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：‎ ‎∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，‎ ‎∴∠OEC＝∠ECT＝∠OTC＝90°，‎ ‎∴四边形OECT是矩形，‎ ‎∴OT＝CE＝OD＝2，‎ ‎∵OE⊥AC，OE过圆心O，‎ ‎∴AE＝DE＝AD，‎ ‎∵CT＝OE＝，‎ 在Rt△OED中，由勾股定理得：ED＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AD＝2．‎ ‎16．解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；‎ ‎（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：‎ 由折叠可知：△APO≌△CPO，‎ ‎∴∠APO＝∠CPO，‎ 又∵OA＝OP，‎ ‎∴∠A＝∠APO，‎ ‎∴∠A＝∠CPO，‎ 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，‎ ‎∴∠A＝∠PCB，‎ ‎∴∠CPO＝∠PCB，‎ ‎∴PO∥BC；‎ ‎（3）∵CD为圆O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，又AD⊥CD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠APO＝∠COP，‎ 由折叠可得：∠AOP＝∠COP，‎ ‎∴∠APO＝∠AOP，‎ 又OA＝OP，∴∠A＝∠APO，‎ ‎∴∠A＝∠APO＝∠AOP，‎ ‎∴△APO为等边三角形，‎ ‎∴∠AOP＝60°，‎ 又∵OP∥BC，‎ ‎∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，‎ ‎∴△BCO为等边三角形，‎ ‎∴∠COB＝60°，‎ ‎∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△POC也为等边三角形，‎ ‎∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，‎ 又∵∠OCD＝90°，‎ ‎∴∠PCD＝30°，‎ 在Rt△PCD中，PD＝PC，‎ 又∵PC＝OP＝AB，‎ ‎∴PD＝AB，即AB＝4PD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费