由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【期末专题】第24章 圆 解答题培优试题
1．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长；
（2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点．
2．如图，点ABCD在⊙O上，∠ABC＝∠BDC＝60°，BC＝3．
（1）求△ABC的周长；
（2）若OE⊥BD，OF⊥CD，连接EF，求EF的长．
3．如图，△PAB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连接BD．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的阴影部分的面积．
4．如图，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
于点D
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数．
5．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．
求：（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．
6．如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．
7．如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧分别交OA，OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．
8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圆的半径．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
9．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．
（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．
10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．
11．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB＝∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，AF＝4，CF＝2，求AE的长．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．
14．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
15．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC＝PD；
（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求线段AE、CE的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
参考答案
1．（1）解：如图1．
∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴PA⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠P+∠ABP＝90°，
∵∠ABP＝60°，
∴∠P＝30°，
又∵AB＝4，
∴PB＝2AB＝2×4＝8．
（2）证明：连接OC、AC，如图2，
∵PA是⊙O的切线，CD是⊙O的切线，
∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴CD＝AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠5＝∠P，
∴CD＝DP，
∴CD＝AD＝DP，
∴D是AP的中点．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2．解：（1）∵∠A＝∠D＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，
∴△ABC的周长为9．
（2）∵OE⊥BD，OF⊥CD，
∴DE＝EB，DF＝FC，
∴EF＝BC＝．
3．解：（1）连结OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，
∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵OA＝OD，
∴OB⊥AD，
∴∠AOB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠OBC＝∠AOB＝90°，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴OB⊥BC，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连结OP，作OE⊥AP于E，
∵∠PAD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，
∴PA＝OA＝OP，∠AOP＝60°，
在▱ABCD中，AD＝BC＝2，
∴AP＝OA＝1，
在Rt△OAE中，OE＝OA•sin60°＝，
与弦AP围成的阴影部分的面积为：﹣×1×＝﹣．
4．解：（1）如图1所示，连接OE，过O作OF⊥BC于F，
∵CA与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∵△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，
∴OC平分∠ACB，
∴OE＝OF，
又∵OE是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）如图2，∵∠ACB＝80°，OC平分∠ACB，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠ACO＝40°，
又∵OE⊥AC，
∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，
当点P在优弧上时，∠DPE＝∠DOE＝25°；
当点P在劣弧上时，∠DPE＝180°﹣25°＝155°．
∴∠DPE的度数为25°或155°．
5．解：（1）连接OB，
解方程x2﹣9x+18＝0，
得，x1＝3，x2＝6，
由图形可知，AC＝3，AB＝6，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OB＝AB＝3；
（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝．
6．（1）证明：连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
又∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
即点D是AB的中点；
（2）证明：连接OD，
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．
7．（1）证明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°，
∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP，
即∠AOP＝∠BOP′…（2分）
在△AOP与△BOP′中
，
∴△AOP≌△BOP′，
∴AP＝BP′．
（2）∵AT与弧相切，连结OT．
∴OT⊥AT，
在Rt△AOT中，根据勾股定理得，AT＝，
∵OA＝10，OT＝6
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴AT＝8．
8．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，．…（1分）
∴＝，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，…（2分）
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，…（3分）
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；…（4分）
（2）解：连接CD，如图所示：…（5分）
由（1）得：＝，
∴CD＝BD＝5，…（6分）
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝5，…（7分）
∴△ABC外接圆的半径：r＝×＝．…（8分）
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
9．（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB+∠BAD＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAD＝90°．
（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．
∵∠AOB＝2∠ACB，
∠ADC＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠ADC，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴BD＝BO，
∴BD＝OA，
∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，
∴△BDE≌△AOH，
∴DE＝AH，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝AC，
∴AC＝2DE．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
10．解：连接OC，
∵OB⊥CD垂足为A，
∴CA＝CD＝5，
设CO＝x，则AO＝x﹣1，
在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，
∴OA2+CA2＝OC2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴⊙O的直径为26寸．
11．（1）证明：如图，连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，
∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，
∴EA是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接BC．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．
∴∠CBA＝∠ABC＝90°．
∵B是EF的中点，
∴在Rt△EAF中，AB＝BF．
∴∠BAC＝∠AFE
∴△EAF∽△CBA，
∴＝，
∵AF＝4，CF＝2，
∴AC＝6，EF＝2AB．
∴＝，
解得AB＝2，
∴EF＝4，
∴AE＝＝＝4．
12．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB，又CO＝OE，
∴OD∥BE，
∴∠CEB＝∠DOC＝90°，
∴CE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接EF、ED，
∵BD＝CD＝6，
∴BF＝BD﹣DF＝4，
∵CO＝OE，∠DOC＝90°，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴DE＝DC＝6，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠EFC＝90°，
∴EF＝＝4，
∴BE＝＝4．
13．（1）证明：连接OD，如图，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥AC于F，如图，则AF＝CF＝AC＝3，
在Rt△OAF中，OF＝＝4，
∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，
∴四边形OFED为矩形，
∴DE＝OF＝4．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
14．（1）证明：连接OA，
在△OBP和△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）连接OC
∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，
设OA＝r，
则r2+42＝（r+2）2，
解得，r＝3，
则OA＝3，BC＝6，
设BP＝x，则 AP＝x，
∵PB是圆O的切线，
∴∠PBQ＝90°，
∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，
解得，x＝6，
∴BP＝6，
∴BD＝3，
∴QD＝，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
即QD的值是．
15．（1）证明：如图1中，连接OC、OE．
∵AB 直径，
∴∠ACB＝90°，
∴CE平分∠ACB，
∴∠ECA＝∠ECB＝45°，
∴＝，
∴OE⊥AB，
∴∠DOE＝90°，
∵PC是切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠PCD+∠OCE＝90°，∠ODE+∠OEC＝90°，∠PDC＝∠ODE，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD．
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，
∴EH＝EF，∠EFA＝∠EHB＝90°，
∵＝，
∴AE＝BE，
∴Rt△AEF≌Rt△BEH，
∴AF＝BH，设AF＝BH＝x，
∵∠F＝∠FCH＝∠CHE＝90°，
∴四边形CFEH是矩形，
∵EH＝EF，
∴四边形CFEH是正方形，
∴CF＝CH，
∴6+x＝8﹣x，
∴x＝1，
∴CF＝FE＝7，
∴EC＝CF＝7，
AE＝．
16．（1）证明：连接OE，如图，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOE＝60°，∠B＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴∠ODE＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）如图，作DH⊥AC于点H，如图，
①由∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，可求AB，AC的长；
②由∠AEO＝90°，∠OAE＝30°，可知AO＝2OE，可求AD，DB，DH的长；
③由（1）可知BF＝BD，可求CF的长；
④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付