江苏省扬州中学高一数学试卷
2018.12
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，计50分．
1. 已知集合，，则＝（ A ）
A． B． C． D．
2. 化简的值得 ( D )
A．－10 B．－8 C． 10 D． 8
3. 若为第二象限角，且，则＝（ A ）
A． B． C． D．
4. 函数的一条对称轴方程是（ C ）
A． B． C． D．
5. 已知是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则( B )
A． 1 B．－1 C． 2 D．－2
6. 已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（ A ）
A． B． C． D．
7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是单调递增，若实数a满足≤，则实数a的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
8. 设角的终边上一点P的坐标是(－sin4,－cos4)，则的可能值为（ D ）
A．4－ B．4＋ C．－4＋ D．－4－
9. 已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（ D ）
A． B． C． D．
1. 若函数在开区间上有唯一的波峰（即函数图象上的最高点），则实数的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，计30分．
2. 化简：＝__________．－a－6b
3. 若，则__________．－6
4. 若函数的图象恒过定点P，且点P在幂函数的图象上，则_______．9
5. 下列四式中能化简为的是_____________．①②④
①．(＋)＋ ②．(＋)＋(＋)
③．(＋)－ ④．(－)＋
6. 将y＝sin2x的图像向右平移m单位（m＞0），使得平移后的图像仍过点，则正实数m的最小值为_______．
7. 已知函数，其中为实数，若≤对任意x∈R恒成立，且＞，则在区间上的单调递增区间是________________．
解：由f (x)≤恒成立，∴f ＝sin＝±1∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z.
∵f ＝sin(π＋φ)＝－sinφ＞f (π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ＜0. ∴φ＝2kπ－，
∴f (x)＝sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，∴x∈(k∈Z)
∴f (x)在区间[0,2π]上的单调递增区间是和.
三、解答题：本大题共6小题，计70分．
8. （本题满分10分）
已知，且是第三象限角
（1）求的值；
（2）求
的值．
解：（1）sin(π＋α)＝－sinα＝， 所以sinα＝－ 且α是第三象限角
所以cosα＝－＝－
（2）tan(－π＋α)cos(3π－α)－sin(＋α)＝－tanαcosα－cosα＝－sinα－cosα＝．
1. （本题满分10分）
已知函数的定义域为A，函数的值域为B，
（1）求集合A、B，并求A∩B；
（2）若集合C＝，且C⊆B，求实数a的取值范围．
解：（1）∵A＝{x|log2(x－1)≥0}＝{x|x－1≥1}＝[2,＋∞)
∵g(x)在[－1,0]上递减，∴值域B＝[1,2] ∴A∩B＝{2}
故A＝[2,＋∞)，B＝[1,2] ，A∩B＝{2}
（2）由（1）知，C⊆[1,2]
①当C＝Æ时，2a＞a＋1，∴a＞1；
②当C≠Æ时，即a≤1，∴2a≥1且a＋1≤2，∴≤a≤1
综上，a≥．
2. （本题满分10分）
已知定义在R上的函数＝（A＞0，ω＞0，－π＜＜π）的部分图象如图所示．
（1）试确定的解析式；
（2）求在上的函数值的取值范围．
解：（1）由图象可知：A＝2，＝－＝，∴T＝2，∴ω＝＝π
将点P(,2)代入f (x)＝2sin(πx＋φ)，得sin(＋φ)＝1，
又 |φ|＜ ∴φ＝ ∴f (x)＝2sin(πx＋)
（2）∵－≤x≤，∴－≤πx＋≤，∴－≤sin(πx＋)≤1，∴－≤f (x)≤2
∴函数值的取值范围是[－,2]。
3. （本题满分10分）
如图，一个半径为4米的水轮逆时针转动，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．
（1）将点P与水面的有向距离h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
【注：当P在水面上方时，有向距离为正；当P在水面下方时，有向距离为负】
（2）点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
O
P
P0
h
解：（1）如图，以O为原点建立直角坐标系
由题意，OP0与x轴的夹角为，
∵OP每分钟转动10π，∴每秒钟内所转过的角为，
∴P在角t－的终边上，得P的纵坐标为：4sin(t－)
∴h＝4sin(t－)＋2（t≥0）
（2）令h＝4sin(t－)＋2＝6，得sin(t－)＝1，
∴取t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4s．
1. （本题满分15分）
已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于x的方程有解，求实数t的取值范围．
解：（1）∵f (x)为R上的奇函数，∴f (x)＝－f (－x)，∴f (0)＝0，∴a＝1
∴，∴
∴为奇函数，∴a＝1【不检验扣2分】
（2）由，得 ，
∵为奇函数，∴
∵为R上的增函数
∴，解得m＞1或m＜－3，
∴不等式的解集为(－∞,－3)∪(1,＋∞).
（3）由（1）（2）得，f (x)为R上的奇函数和增函数，
∴由得：
∴2tsin2x－sinx－3＝0有解
令u＝sinx∈[－1,1]，2tu2－u－3＝0在[－1,1]有解
∵u＝0不成立，∴2t＝＝＋，
令n＝∈(－∞,－1]∪[1,＋∞)，2t＝3n2＋n
∵y＝3n2＋n的值域为[2,＋∞)
∴2t∈[2,＋∞)，∴t∈[1,＋∞)
1. （本题满分15分）
已知函数（b≥0）在x∈[1,2]时有最大值为1和最小值为0．
设．
（1）求实数a,b的值；
（2）若不等式在x∈[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数m的取值范围．
解：（1）当a＞0时，对称轴为x＝1，g(x)max＝g(2)＝1＋b，g(x)min＝g(1)＝－a＋1＋b，
∴，
当a＜0时，对称轴为x＝1，g(x)min＝g(2)＝1＋n＝0，∴b＝－1（舍）
当a＝0时，g(x)为常函数，不满足题意,
综上： a＝1，b＝0．
（2）令t＝log2x∈[1,2]，
∴f (t)－2kt2≤0对t∈[1,2]恒成立，∴t2－2t＋1≤2kt2
∴k≥2对t∈[1,2]恒成立
∵t∈[1,2]，∴∈[,1]，∴2∈[0,]
∴k≥．
（
3）令u＝|2x－1|，∵x≠0，∴u＞0，
∴当u≤0时，u＝|2x－1|无解；当0＜u＜1时，u＝|2x－1|有两解；
当u≥1时，u＝|2x－1|有唯一解；
∵方程f (u)＋－3m－1＝0等价于u2－(3＋3m)u＋(1＋2m)＝0，
因此方程有三个不同的实数解，则u2－(3＋3m)u＋(1＋2m)＝0必有两个不等的实根u1,u2，且0＜u1＜1，u2≥1，令h(u)＝u2－(3＋3m)u＋(1＋2m)
①当u2＝1时，由h(1)＝－m－1＝0得，m＝－1，∴h(u)＝u2－1，∴u1＝1，不成立；
②当u2＞1时，由0＜u1＜1，u2＞1得，，∴，∴m＞－
综上，m＞－．
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