书书书
【2019届高三·数学(文)试题·第 1 页(共 4页)】
大 联 考 试 卷
数学(文)
(试卷总分 150分 考试时间 120分钟)
题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人
得分
第Ⅰ卷(选择题 共 60分)
得分 评卷人 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60
分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 A={x∈Z|-1≤x<2},则满足条件 A∩B=B的集合 B
的个数为 ( )
A.4 B.7 C.3 D.8
2.已知复数 z=1-i,则 z2+|z|2在复平面上对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
!"#
$ !"#
%&$
$ $"%
'($
)"$$ &%
*+$$ '%
3.国庆节期间,滕州市实验小学举行
了一次科普知识竞赛活动,设置了
一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及
纪念奖,获奖人数的分配情况如图
所示,各个奖品的单价分别为:一
等奖 50元、二等奖 20元、三等奖
10元,四等奖 5元,纪念奖 2元,
则以下说法中不正确
獉獉獉
的是 ( )
A.获纪念奖的人数最多
B.各个奖项中二等奖的总费用最高
C.购买奖品的费用平均数为 6.65元
D.购买奖品的费用中位数为 5元
4.给出下列四个结论:①若 p∧q是真命题,则瓙p可能是真命题;
②命题“若 p则 q”与命题“若瓙q,则瓙p”互为逆否命题;③若“瓙p
或 q”是假命题,则“p且瓙q”是真命题;④若 p是 q的充分条件,
q是 r的充分条件,则 p是 r的充分条件.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知函数 f(x)= ex-1,x>0
-1,x≤{ 0,函数 g(x)=f(x)-x的一个零点为 m,
令 h(x)=xm2-3,则函数 h(x)是 ( )
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0,+∞)上单调递增
6.已知双曲线x2
a2 -y2
b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点为 A,B,点 P为双
曲线上异于 A,B的任意一点,设直线 PA,PB的斜率分别为 k1,k2,
若 k1k2=1
2,则双曲线的离心率为 ( )
A.槡3
2 B.2 C.槡6
2 D.3
2
! !
!"# $"%
&"%
7.如图,是某几何体的三视图,该几何体的轴截
面的面积为 8,则该几何体的外接球的表面积
为 ( )
A.125
12π B.25π
C.25π
2 D.100π
8.若函数 f(x)=sin2(2π-ωx) 槡+ 3sinωxcosωx
+3
2,且 f(α)=3,f(β)=2,若 |α-β|的最小值是 π
2,则下列结论
正确的是 ( )
A.ω=1,函数 f(x)的最大值为 1
B.ω=1
2,函数 f(x)的最大值为 3
C.ω=2,函数 f(x)的最大值为 3
D.ω=1
2,函数 f(x)的最大值为 1
! "
#$
%
&9.如图,在平行四边形 ABCD中,E,F分
别是 BC,CD上的一点,且 →BE=1
2
→BC,
→DF=2→FC,则 →AF+→DE= ( )
A.5
3
→AB-1
3
→AD
开始 !!"
"!"
#$%&"!'(
"#")""#")!
!#!)#$%*" ! 是偶数!
输出 "结束
是
是
否
否
B.5
3
→AB+5
3
→AD
C.4
3
→AB-2
3
→AD
D.5
3
→AB+1
3
→AD
10.执行如图所示的程序框图,输出的
结果为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4【2019届高三·数学(文)试题·第 2 页(共 4页)】
11.设 G是△ABC的重心,且(sinA)→GA+(sinB)→GB+(sinC)→GC=0,
若△ABC外接圆的半径为 1,则△ABC的面积为 ( )
A. 槡3 3
2 B. 槡3 3
4 C.3
4 D.9
16
12.各项均为正数的等比数列{an}满足:a6 =a3a4,a1a8 =128,函数
f(x)=a1x+a2x2 +… +a20 x20,若 曲 线 y=f(x)在 点
(1
2,f(1
2))处的切线垂直于直线 kx-105y+m=0,则 k= ( )
A.-1
2 B.1
2 C.2 D.-2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答,第 22~23题为选考题,考生根据要求作答.
得分 评卷人 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20
分.把答案填在题中横线上.
!!"!
#!
$!
!"
$ #
13.已知 x,y满足不等式组
y≤2x
x+y≤3
y≥{ 0
,则 z=y-1
x+1
的取值范围是 .
14.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线
DB1与平面 ADD1A1,ABCD,DCC1D1 的夹角分
别为 α,β,θ,且 A1B1+BB1 +C1B1 =8,A1B2
1 +BB2
1 +C1B2
1 =24,则
sinα+sinβ+sinθ= .
15.已知函数 f(x)=
cosx-x,x≤0
1-x
x+1,x{ >0 ,g(x)=log3(x2 -3),则不等式
f[(g(x))]<1的解集为 .
16.已知圆 C1:(x-2)2 +(y-2)2 =4,C2:(x+2)2 +(y+1)2 =2,
点 P是圆 C1上的一个动点,AB是圆 C2 的一条动弦,且 |AB|=2,
则|→PA+→PB|的最大值是 .
得分 评卷人 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤.
17.(12分)已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且 Sn=2n2+3n(n∈N ),
数列{bn}满足:anbn=4n2+n(n∈N).
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前 n项和为 Tn,当 Tn>45时,求 n的最小值.
18.(12分)如图,四边形 ABCD是矩形,AB=2π,AD=4,E,F分别为
DC,AB上的一点,且 DE=2
3DC,AF=2
3AB,将矩形 ABCD卷成
以 AD,BC为母线的圆柱的半个侧面,且 AB,CD分别为圆柱的
上、下底面的直径.
(1)求证:平面 ADEF⊥平面 BCEF;
(2)求四棱锥 D-BCEF的体积.
! "
#$
%
&
! "
#&
$
%【2019届高三·数学(文)试题·第 3 页(共 4页)】
19.(12分)滕州市公交公司一切为了市民着想,为方便市区学生的
上下学,专门开通了学生公交专线,在学生上学、放学的时间段运
行,为了更好地掌握发车间隔时间,公司工作人员对滕州二中车
站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究,现得到
如下数据:
间隔时间 x(分钟) 10 11 13 12 15 14
侯车人数 y(人) 23 25 29 26 31 28
调查小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2组,用剩下
的 4组数据求线性回归方程,再用被选取的 2组数据进行检验.
(1)求选取的 2组数据不相邻的概率;
(2)若选取的是前两组数据,请根据后四组数据,求出 y关于 x的
线性回归方程 )
y= )
bx+ )
a;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
差均不超过 1人,则称为最佳回归方程,在(2)中求出的回归
方程是否是最佳回归方程?若规定一辆公交车的载客人数不
超过 35人,则间隔时间设置为 18分钟,是否合适?
参考公式:)
b=
∑
n
i=1
xiyi-nxy
∑
n
i=1
x2
i-nx2
=
∑
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
∑
n
i=1
(xi-x)2
,)
a=y- )
bx.
20.(12分)已知椭圆 C:x2
a2 +y2
b2 =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,
上、下顶点为 B1,B2,四边形 B1F2B2F1是面积为 2的正方形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点 P(2,0),过点 F2 的直线 l与椭圆交于 M,N两点,求
证:∠MPF2=∠NPF2.【2019届高三·数学(文)试题·第 4 页(共 4页)】
21.(12分)已知函数 f(x)=1
2ax2+2x(a≠0),g(x)=lnx.
(1)令 h(x)=f(x)-g(x),若曲线 y=h(x)在点(1,h(1))处的切
线的纵截距为 -2,求 a的值;
(2)设 a>0,若方程 g(x)=xf′(x)-(2a+1)x在区间(1
e,e)内
有且只有两个不相等的实数根,求实数 a的取值范围.
请考生在第 22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分.
22.(10分)【选修 4-4 坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 x=-2+tcosα
y=tsin{ α
(t为
参数),以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆
C的极坐标方程为 ρ=1.
(1)若直线 l与圆 C相切,求 α的值;
(2)直线 l与圆 C相交于不同两点 A,B,线段 AB的中点为 Q,求点
Q的轨迹的参数方程.
23.(10分)【选修 4-5 不等式选讲】
已知不等式|x+3|≥2a+b+c,a,b,c∈R.
(1)当 2a+b=2,c=|x+1|时,解不等式|x+3|≥2a+b+c;
(2)当 a2 +b2 +c2 =6时,不等式 |x+3|≥2a+b+c对所有实数
a,b,c都成立,求实数 x的取值范围.
你选做的题目是 题(填 22、23)
答案:书书书
1 数学(文) 金学导航·大联考
金学导航·大联考·数学(文)
参考答案
1.D(解析:A={x∈Z|-1≤x<2}={-1,0,1},
∵A∩B=B,∴BA,∵集合 A有 3个元素,∴其子
集有 8个,故选 D.)
2.D(解析:∵z=1-i,∴z2 +|z|2 =(1-i)2 +
(槡2)2=2-2i,则 z2+|z|2 在复平面上对应的点在
第四象限,故选 D.)
3.B(解析:设参加竞赛的人数为 a人,由扇形统计
图可知,一等奖占 2%,二等奖占 8%,三等奖占
15%,四等奖占 35%,获得纪念奖的人数占 40%,
最多,A正确;各奖项的费用:一等奖 2%a×50=a,
二等奖 8% a×20=1.6a,三等奖 15% a×10=
1.5a,四等奖 35%a×5=1.75a,纪念奖 40%a×2
=0.8a,B错误;平均费用为 50×2% +20×8% +
10×15% +5×35% +2×40% =6.65元,C正确;
由各个获奖的人数的比例知,购买奖品的费用的中
位数为 5元,D正确,故选 B.)
4.C(解析:若 p∧q是真命题,则 p,q都是真命题,
∴瓙p是假命题,①错误;由逆否命题的定义可得,
②正确;若“瓙p或 q”是假命题,则瓙p,q都是假命
题,∴p,瓙q都是真命题,③正确;④显然正确,故
选 C.)
5.B(解析:函数 g(x)=f(x)-x的零点,即为f(x)
=x的根,由
x>0
ex-1={ x
或
x≤0
-1={ x
解得,x=1或 x=
-1,即 m=±1,则 h(x)=x-2,∴函数 h(x)是偶函
数且在(0,+∞)上单调递减,故选 B.)
6.C(解析:由题设知,A(-a,0),B(a,0),设 P(x,y),
则 k1= y
x+a,k2 = y
x-a,∴k1k2 = y
x+a× y
x-a= y2
x2-a2
=1
2,∵P(x,y)点在双曲线上,∴y2=b2
a2(x2-a2),则
b2
a2(x2-a2)
x2-a2 =1
2,化简得,2b2 =a2,又 b2 =c2 -a2,
∴2c2=3a2,则 e=槡6
2,故选 C.)
7.B(解析:由三视图知,该几何体是一个圆锥,底
面半径为 r=2,设圆锥的高为 h,则轴截面的面积
为 S=1
2×4h=8,∴h=4,设圆锥的外接球的半径
为 R,则由题意得,|h-R|2 +r2 =R2,即 |4-R|2 +
22=R2,解得,R=5
2,∴外接球的表面积为 S=
4πR2=25π,故选 B.)
8.B(解析:f(x)=sin2(2π-ωx) 槡+ 3sinωxcosωx+
3
2=sin2ωx+槡3
2sin2ωx+3
2=槡3
2sin2ωx-1
2cos2ωx
+2=sin(2ωx-π
6)+2,∵f(α)=3,f(β)=2,
且|α-β|的最小值是 π
2,∴周期为 2π,则 2π
2ω=2π,
∴ω=1
2,则 f(x)=sin(x-π
6)+2,∴f(x)的最大
值为 3,故选 B.)
9.D(解析:∵四边形 ABCD是平行四边形,且 →DF=
2→FC,∴ →AF=→AD+→DF=→AD+2
3
→DC=→AD+2
3
→AB,又
→BE=1
3
→BC,∴ →DE=→DC+→CE=→AB+2
3
→CB=→AB-
2
3
→AD,则 →AF+ →DE=→AB-2
3
→AD+ →AD+2
3
→AB=
5
3
→AB+1
3
→AD,故选 D.)
10.D(解析:由程序框图知,k=1,x=1log2x=0,
否x=1+1=2,log2x=1>0,是x=2+1=3,
k=1+log33=2,是x=1log2x=0,否x=1+1
=2,log2x=1>0,是x=2+2=4,k=2+log34,
否,输出 x=4,故选 D.)
11.B(解析:∵G是△ABC的重心,∴ →GA+→GB+→GC
=0,则 →GA = - →GB - →GC,代 入 (sinA)→GA +
(sinB)→GB+(sinC)→GC=0得,(sinA-sinB)→GB+
(sinA-sinC)→GC=0,∵ →GB· →GC不共线,∴sinA-
sinB=0且 sinA-sinC=0,即 sinA=sinB=sinC,
∴△ABC是等边三角形,又△ABC外接圆的半径为
1,∴ 由 正 弦 定 理 得, a
sin60°=2R=2,则 a 槡= 3,
∴S△ABC =槡3
4a2= 槡3 3
4,故选 B.)2 数学(文) 金学导航·大联考
12.A(解析:设数列{an}的公比为 q,由 a6 =a3a4,
a1a8=128得,
a1q5=a1q2·a1q3
a1·a1q7{ =128
,解得,a1 =1,q=
2,∴an =2n-1,∵f(x)=a1x+a2x2 +… +a20x20,
∴f′(x)=a1+2a2x+… +20a20x19,则 f′(1
2)=
a1+2a2· 1
2+… +20a20(1
2)19,∵an·(1
2)n-1 =
2n-1×(1
2)n-1=1,∴f′(1
2)=a1+2a2· 1
2+… +
20a20(1
2)19=1+2+… +20=20(1+20)
2 =210,由
题设知,k
105×210=-1,∴k=-1
2,故选 A.)
!
"
#
!$"!" "!#!
%!$"##
&!%$"$$
13.[-1,1
2](解析:作出
不等式组
y≤2x
x+y≤3
y≥{ 0
所表示
的平面区域,如图所示,z=
y-1
x+1的最大值即为直线 BA
的斜率 1
2,最小值为直线 BO的斜率 -1,故取值范
围是[-1,1
2].)
14. 槡2 6
3 (解析:连结 DA1,DB,DC1,由长方体的性质
知,∠A1DB1 =α,∠BDB1 =β,∠C1DB1 =θ,∵A1B2
1
+BB2
1 +C1B2
1 =24,∴DB1 槡= 24,∴sinα+sinβ+
sinθ=A1B1
DB1
+BB1
DB1
+C1B1
DB1
=A1B1+BB1+C1B1
DB1
=
8
槡24
= 槡2 6
3 .)
15.(-∞,-2)∪ (2,+∞)(解 析:∵ f(x)=
cosx-x,x≤0
1-x
x+1,x{ >0 ,∴ f′(x) =
-sinx-1,x≤0
-2
(x+1)2,x{ >0,
则 f′(x)≤0,∴f(x)在 R上单调递减,又 f(0)=1,
∴不等式 f[g(x)]<1即为 f[g(x)]<f(0),
则 g(x)>0,即 log3(x2-3)>0,∴x2 -3>1,解得,
x>2或 x<-2,∴不等式 f[g(x)]<1的解集为
(-∞,-2)∪(2,+∞).)
16.16(解析:由题设知,圆 C1 的圆心为 C1(2,2),
半径为 2,圆 C2的圆心为 C2(-2,-1),半径为槡2,
过 C2作 C2D⊥AB交 AB于 D,则 D为 AB的中点,
且|C2D|= (槡2)2-1槡 2 =1,∴ 点 D的轨迹为 圆
C3:(x+2)2+(y+1)2 =1,其圆心为 C3(-2,-1),
半径为 1,由向量的平行四边形法则知,|→PA+→PB|=
|2→PD|,∵|C1C3|=5>2+1=3,∴圆 C1 与圆 C3 外
离,则|→PD|的最大值为 5+2+1=8,|→PA+→PB|的最
大值是 16.)
17.解:(1)∵Sn=2n2+3n,
∴当 n=1时,a1=S1=5,
当 n≥2时,an =Sn -Sn-1 =2n2 +3n-2(n-1)2 -
3(n-1)=4n+1,
a1=5也满足,∴an=4n+1; (3分)!!!!!!
∵anbn=4n2+n,∴bn=4n2+n
an
=4n2+n
4n+1=n,
故数列{bn}的通项公式为 bn=n; (6分)!!!!
(2)由(1)知,bn=n,∴Tn=b1+b2+… +bn
=1+2+3+… +n=n(n+1)
2 , (9分)!!!!
由 Tn>45得,n(n+1)
2 >45,即 n2+n-90>0,
∴n>9或 n<-10(舍去),
故当 Tn>45时,n的最小值为 10. (12分)!!!
18.(1)证明:∵F在下底面圆周上,且 AB为下底
面半圆的直径,∴AF⊥BF,
由题设知,EF∥AD,又 AD为圆柱的母线,
∴EF垂直于圆柱的底面, (3分)!!!!!!!
则 EF⊥BF,又 AF∩EF=F,∴BF⊥平面 ADEF,
∵BF平面 BCEF,∴平面 ADEF⊥平面 BCEF;
(5分)!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)解:设圆柱的底面半径为 r,
由题设知,πr=2π,∴r=2,则 CD=4,
∵DE=2
3DC,AF=2
3AB,∴∠CDE=30°,
又 DE⊥CE,∴CE=1
2CD=2,DE 槡=2 3,
(8分)
!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!3 数学(文) 金学导航·大联考
由(1)知,DE⊥平面 BCEF,
∴DE为四棱锥 D-BCEF的高,
又 AD=BC=4,
∴VD-BCEF =1
3SBCEF·DE=1
3·BC·CE·DE
=1
3 槡×4×2×2 3= 槡16 3
3 . (12分)!!!!!!
19.解:(1)设抽到不相邻两组的数据为事件 A,
设这 6组数据分别为 1,2,3,4,5,6,从中选取 2组
数据共有:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,
36,45,46,56共 15种情况,
其中,抽到相邻数据的情况有:12,23,34,45,56共
5种情况,
∴P(A)=1-5
15=2
3; (4分)!!!!!!!!
(2)后四组数据是:
间隔时间 x(分钟) 13 12 15 14
侯车人数 y(人) 29 26 31 28
∴x=13+12+15+14
4 =13.5,
y=29+26+31+28
4 =28.5,
又∑
4
i=1
xiyi=13×29+12×26+15×31+14×28=
1546,
∑
n
i=1
x2
i=132+122+152+142=734, (7分)!!!
∴ )
b=
∑
n
i=1
xiyi-nxy
∑
n
i=1
x2
i-nx2
=1546-4×13.5×28.5
734-4×13.52 =1.4,
则 )
a=y- )
bx=28.5-1.4×13.5=9.6,
∴y关于 x的线性回归方程为 )
y=1.4x+9.6;
(9分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
(3)由(2)知,当 x=10时,)
y=23.6,
∴|23.6-23|<1,
当 x=11时,)
y=25,∴|25-25|<1,
∴求出的回归方程是最佳回归方程;
当 x=18时,)
y=1.4×18+9.6=34.8,
∵34.8<35,∴间隔时间设置为 18分钟合适.
(12分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
20.(1)解:∵四边形 B1F2B2F1 是面积为 2的正方
形,∴
a2=2
2b=2{ c
, (2分)!!!!!!!!!!!
又 a2=b2+c2,∴b=c=1,
则椭圆 C的标准方程是x2
2+y2=1; (4分)!!!
(2)证明:由(1)知,F2(1,0),
当直线 l的斜率不存在时,l⊥x轴,
则点 M,N关于 x轴对称,
此时有,∠MPF2=∠NPF2; (6分)!!!!!!
当直线 l的斜率存在时,
设直线 l的方程为 y=k(x-1),
联立
y=k(x-1)
x2
2+y2{ =1
消去 y得,
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),
则 x1+x2= 4k2
2k2+1,x1x2=2k2-2
2k2+1, (8分)!!!
∵P(2,0),∴kMP +kNP = y1
x1-2+ y2
x2-2
=k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)
=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k
x1x2-2(x1+x2)+4
=
2k×2k2-2
2k2+1-3k× 4k2
2k2+1+4k
2k2-2
2k2+1-2× 4k2
2k2+1+4
=0,
即 kMP =-kNP,∴∠MPF2=∠NPF2. (12分)!!
21.解:(1)由题设知,
h(x)=1
2ax2+2x-lnx,x>0,
则 h′(x)=ax+2-1
x=ax2+2x-1
x ; (1分)!!
∴h′(1)=a+1,又 h(1)=1
2a+2,
∴切点为(1,1
2a+2),
则切线方程为 y-1
2a-2=(a+1)(x-1),4 数学(文) 金学导航·大联考
令 x=0,则 y=-1
2a+1,
由题设知,-1
2a+1=-2,
∴a=6; (4分)!!!!!!!!!!!!!!
(2)∵f(x)=1
2ax2+2x,∴f′(x)=ax+2,
则方程 g(x)=xf′(x)-(2a+1)x,
即为 lnx=ax2+2x-(2a+1)x,
即为 ax2+(1-2a)x-lnx=0;
令 H(x)=ax2 +(1-2a)x-lnx,于是原方程在区
间(1
e,e)内根的问题,转化为函数 H(x)在(1
e,e)
内的零点问题; (6分)!!!!!!!!!!!
∵H′(x)=2ax+(1-2a)-1
x
=2ax2+(1-2a)x-1
x =(2ax+1)(x-1)
x ;
∵a>0,∴当 x∈(0,1)时,
H′(x)<0,H(x)是减函数,
当 x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数,
(9分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
若使 H(x)在(1
e,e)内有且只有两个不相等的零点,
只需
H(1
e)= a
e2 +1-2a
e +1=(1-2e)a+e2+e
e2 >0
Hmin(x)=H(1)=a+(1-2a)=1-a<0
H(e)=ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)
{ >0
即可,
解得,1<a<e2+e
2e-1,
即 a的取值范围是(1,e2+e
2e-1). (12分)!!!!
22.解:(1)∵圆 C的极坐标方程为 ρ=1,
∴C的直角坐标方程为 x2+y2=1,
圆心为(0,0),半径为 r=1;
∵直线 l过点 P(-2,0),倾斜角为 α,
∴当 α=π
2时,不合题意, (2分)!!!!!!!
当 α≠ π
2时,斜率为 k=tanα,
则直线的方程为 y=k(x+2),
即 kx-y+2k=0,∵直线 l与圆 C相切,
∴ |2k|
k2槡 +1
=1,解得,k=±槡3
3,
即 tanα=±槡3
3,∴α=π
6或 α=5π
6; (5分)!!!
(2)∵直线 l与圆 C相交于不同两点 A,B,
∴由(1)知,α∈[0,π
6)∪(5π
6,π),
设 A,B,Q对应的参数分别为 tA,tB,tQ,
则 tQ =tA+tB
2 , (7分)!!!!!!!!!!!!
将
x=-2+tcosα
y=tsin{ α
代入 x2+y2=1得,
t2-4tcosα+3=0,
则 tA+tB =4cosα,∴tQ =2cosα,
又点 Q的坐标(x,y)满足
x=-2+tQcosα
y=tQsin{ α
,
即
x=-2+2sin2α
y=2cosαsin{ α
,
故点 Q的轨迹的参数方程是
x=-1+cos2α
y=sin2{ α
(α为
参数,α∈[0,π
6)∪(5π
6,π)). (10分)!!!!
23.解:(1)当 2a+b=2,c=|x+1|时,
不等式|x+3|≥2a+b+c为|x+3|≥2+|x+1|,
当 x≤ -3时,-x-3≥2-x-1,-3≥1,无解;
(2分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
当 -3<x<-1时,x+3≥2-x-1,x≥ -1,无解;
当 x≥ -1时,x+3≥2+x+1,3≥3,∴x≥ -1;
综上,不等式的解集为{x|x≥ -1}; (5分)!!!
(2)由柯西不等式得,
(2a+b+c)2≤(22+12+12)(a2+b2+c2),
∵a2+b2+c2=6,∴(2a+b+c)2≤36, (7分)!
则 2a+b+c≤6;∵不等式 |x+3|≥2a+b+c对所
有实数 a,b,c都成立,
∴|x+3|≥6,∴x+3≥6或 x+3≤ -6,
则 x≥3或 x≤ -9,
故实数 x的取值范围是:(-∞,-9]∪[3,+∞).
(10分)!!!!!!!!!!!!!!!!