书书书
【2019届高三·数学(理)试题·第 1 页(共 4页)】
大 联 考 试 卷
数学(理)
(试卷总分 150分 考试时间 120分钟)
题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人
得分
第Ⅰ卷(选择题 共 60分)
得分 评卷人 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60
分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 A={x∈Z|-1≤x<2},则满足条件 A∩B=B的集合 B
的个数为 ( )
A.4 B.7 C.3 D.8
2.已知复数 z=1-i,则 z2+|z|2在复平面上对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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3.国庆节期间,滕州市实验小学举行
了一次科普知识竞赛活动,设置了
一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及
纪念奖,获奖人数的分配情况如图
所示,各个奖品的单价分别为:一
等奖 50元、二等奖 20元、三等奖
10元,四等奖 5元,纪念奖 2元,则以下说法中不正确
獉獉獉
的是 ( )
A.获纪念奖的人数最多
B.各个奖项中二等奖的总费用最高
C.购买奖品的费用平均数为 6.65元
D.购买奖品的费用中位数为 5元
4.若“p或 q”成立的充分条件是“瓙r”,则下列推理:①“p或 q”瓙r;
②瓙rp;③r瓙(p或 q);④瓙p且瓙qr.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知 数 列 {an}为 等 比 数 列,且 a5 是 a3 与 a7 的 等 差 中 项,
a2019=2018,则首项 a1= ( )
A.2019 B.±2018 C.2018 D.±2019
6.已知双曲线x2
a2 -y2
b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点为 A,B,点 P为双
曲线上异于 A,B的任意一点,设直线 PA,PB的斜率分别为 k1,k2,
若 k1k2=1
2,则双曲线的离心率为 ( )
A.槡3
2 B.2 C.槡6
2 D.3
2
7.设 a,b,c∈ N ,且 b<c,定 义 函 数 如 下: f(a+ b
c) =
a+1,(a是偶数)
a-1,(a是奇数{ )
,则 f(5-2019
2018)-f(4+2018
2019)= ( )
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A.1 B.-1
C.-3 D.0
8.如图,是某几何体的三视图,该几何体
的轴截面的面积为 6,则该几何体的外
接球的表面积为 ( )
A.65
3π B.65
4π
C.65
12π D.33
4π
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&9.如图,在平行四边形 ABCD中,E,F分
别是 BC,CD上的一点,且 →BE=1
2
→BC,
→DF=2→FC,则 →AF+→DE= ( )
A.5
3
→AB-1
3
→AD
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输出 "结束
是
是
否
否
B.5
3
→AB+5
3
→AD
C.4
3
→AB-2
3
→AD
D.5
3
→AB+1
3
→AD
10.执行如图所示的程序框图,输出的
结果为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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11.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线
DB1与平面 ADD1A1,ABCD,DCC1D1 的夹角分
别为 α,β,θ,且 DB1 槡=2 6,sinα+sinβ+sinθ=
槡2 6
3 ,则长方体的全面积为 ( )
A.40 B.64
C.20 D.8【2019届高三·数学(理)试题·第 2 页(共 4页)】
12.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M是抛物线 C上一
点,圆 M 与 y轴 相 切,且 被 直 线 x= p
2截 得 的 弦 长 为 槡2p,
若|MF|=5
2,则抛物线的方程为 ( )
A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=x
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答,第 22~23题为选考题,考生根据要求作答.
得分 评卷人 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20
分.把答案填在题中横线上.
13.已知 x,y满足不等式组
y≤2x
x+y≤3
y≥{ 0
,则 z=y-1
x+1的取值范围是
.
14.在各项都为非负数的数列{an}中,a1 =0,且点(an,an-1)(n∈N,
n≥2)在双曲线 x2-y2=4上,令 bn= 2
an+an+1
(n∈N ),数列{bn}
的前 n项和为 Sn,则 S9= .
15.已知 n=2
0xdx,则二项式(x+1
x-2)n(x>0)展开式中的常数项
为 .
16.已知函数 f(x)=
cosx-x,x≤0
1-x
x+1,x{ >0 ,g(x)=lnx+x+1-1
e,则不等
式 f[g(x)]<1的解集为 .
得分 评卷人 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤.
17.(12分)如图,在平面四边形 ABCD中,∠A=90°,AB=AD,cosC
2
= 槡2 5
5 ,BC=3.
(1)若 CD=5,求 AB的长;
(2)若 BD=4,求 sin∠ADC的值.
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18.(12分)如图,四边形 ABCD为矩形,E为 DC的中点,AB=2AD=4,
沿 AE将△AED折起到 P点的位置,使 PB=PC.
(1)求证:平面 PAE⊥平面 ABCE;
(2)求直线 AP与平面 PBC所成角的正弦值.
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&【2019届高三·数学(理)试题·第 3 页(共 4页)】
19.(12分)已 知 椭 圆 C:x2
a2 +y2
b2 =1(a>b>0)的 左、右 焦 点 为
F1,F2,点 P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点,O为原点,过右
焦点 F2作∠F1PF2的外角平分线 l的垂线,垂足为 Q,且|OQ|=2,
椭圆的离心率为 1
2.
(1)求椭圆 C的方程;
(2)设 S是圆 x2 +y2 =7上任一点,由 S引椭圆两条切线 SA,SB,
切点分别为 A,B,求证:SA⊥SB.
20.(12分)滕州市公交公司一切为了市民着想,为方便市区学生的
上下学,专门开通了学生公交专线,在学生上学、放学的时间段运
行,为了更好地掌握发车间隔时间,公司工作人员对滕州二中车
站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究,现得到
如下数据:
间隔时间 x(分钟) 10 11 13 12 15 14
侯车人数 y(人) 23 25 29 26 31 28
调查小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2组,用剩下
的 4组数据求线性回归方程,再用被选取的 2组数据进行检验;
(1)从中任选 2组数据,设 X为候车时间不超过 11分钟的数据组
的个数,求随机变量 X的分布列;
(2)若选取的是前两组数据,请根据后四组数据,求出 y关于 x的
线性回归方程 )
y= )
bx+ )
a;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
差均不超过 1人,则称为最佳回归方程,在(2)中求出的回归
方程是否是最佳回归方程?若规定一辆公交车的载客人数不
超过 35人,则间隔时间设置为 18分钟,是否合适?
参考公式:,)
b=
∑
n
i=1
xiyi-nxy
∑
n
i=1
x2
i-nx2
=
∑
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
∑
n
i=1
(xi-x)2
,)
a=y- )
bx.【2019届高三·数学(理)试题·第 4 页(共 4页)】
21.(12分)已知函数 f(x)=lnx-1,g(x)=ax,a∈R.
(1)若函数 y=f(x)+g(x)在(0,e]上单调递增,求实数 a的取值
范围;
(2)当 a=1时,令 h(x)=exf(x)+g(x),是否存在实数 x0∈(0,+∞),
使曲线 y=h(x)在点(x0,h(x0))处的切线与曲线 H(x)=
x-ex+1
ex的一条切线垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存
在,请说明理由.
请考生在第 22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分.
22.(10分)【选修 4-4 坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 x=-2+tcosα
y=tsin{ α
(t为
参数),以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆
C的极坐标方程为 ρ=1.
(1)若直线 l与圆 C相切,求 α的值;
(2)直线 l与圆 C相交于不同两点 A,B,线段 AB的中点为 Q,求点
Q的轨迹的参数方程.
23.(10分)【选修 4-5 不等式选讲】
已知不等式|x+3|≥2a+b+c,a,b,c∈R.
(1)当 2a+b=2,c=|x+1|时,解不等式|x+3|≥2a+b+c;
(2)当 a2 +b2 +c2 =6时,不等式 |x+3|≥2a+b+c对所有实数
a,b,c都成立,求实数 x的取值范围.
你选做的题目是 题(填 22、23)
答案:书书书
1 数学(理) 金学导航·大联考
金学导航·大联考·数学(理)
参考答案
1.D(解析:A={x∈Z|-1≤x<2}={-1,0,1},
∵A∩B=B,∴BA,∵集合 A有 3个元素,∴其子
集有 8个,故选 D.)
2.D(解析:∵z=1-i,∴z2 +|z|2 =(1-i)2 +
(槡2)2=2-2i,则 z2+|z|2 在复平面上对应的点在
第四象限,故选 D.)
3.B(解析:设参加竞赛的人数为 a人,由扇形统计
图可知,一等奖占 2%,二等奖占 8%,三等奖占
15%,四等奖占 35%,获得纪念奖的人数占 40%,
最多,A正确;各奖项的费用:一等奖 2%a×50=a,
二等奖 8% a×20=1.6a,三等奖 15% a×10=
1.5a,四等奖 35%a×5=1.75a,纪念奖 40%a×2
=0.8a,B错误;平均费用为 50×2% +20×8% +
10×15% +5×35% +2×40% =6.65元,C正确;
由各个获奖的人数的比例知,购买奖品的费用的中
位数为 5元,D正确,故选 B.)
4.A(解析:由已知得,瓙rp或 q,它的逆否命题④
为真,不正确的序号是①②③,故选 A.)
5.C(解析:设数列{an}的公比为 q,∵a5是 a3与 a7
的等差中项,∴2a5=a3+a7,即 2a1q4=a1q2+a1q6,
∴q4-2q2+1=0,解得,q=±1,则 a2019 =a1q2018 =
a1(±1)2018=a1=2018,故选 C.)
6.C(解析:由题设知,A(-a,0),B(a,0),设 P(x,y),
则 k1= y
x+a,k2 = y
x-a,∴k1k2 = y
x+a× y
x-a= y2
x2-a2
=1
2,∵P(x,y)点在双曲线上,∴y2=b2
a2(x2-a2),则
b2
a2(x2-a2)
x2-a2 =1
2,化简得,2b2 =a2,又 b2 =c2 -a2,
∴2c2=3a2,则 e=槡6
2,故选 C.)
7.C(解析:由题意知,f(5-2019
2018)-f(4+2018
2019)=
f(3+2017
2018)-f(4+2018
2019)=(3-1)-(4+1)=-3,
故选 C.)
8.B(解析:由三视图知,该几何体是一个圆台,圆
台的上底半径为 1,下底半径为 2,设圆台的高为 h,
则轴截面的面积为 S=(2+4)h
2 =6,∴h=2,设圆
台的外接球的半径为 R,则由题意得, R2-1槡 2 +
R2-2槡 2 =2,解 得,R2 =65
16,(或 R2-1槡 2 -
R2-2槡 2 =2,此时无解),∴外接球的表面积为:
S=4πR2=65π
4 ,故选 B.)
9.D(解析:∵四边形 ABCD是平行四边形,且 →DF=
2→FC,∴ →AF=→AD+→DF=→AD+2
3
→DC=→AD+2
3
→AB,又
→BE=1
3
→BC,∴ →DE=→DC+→CE=→AB+2
3
→CB=→AB-
2
3
→AD,则 →AF+ →DE=→AB-2
3
→AD+ →AD+2
3
→AB=
5
3
→AB+1
3
→AD,故选 D.)
10.D(解析:由程序框图知,k=1,x=1log2x=0,
否x=1+1=2,log2x=1>0,是x=2+1=3,
k=1+log33=2,是x=1log2x=0,否x=1+1
=2,log2x=1>0,是x=2+2=4,k=2+log34,
否,输出 x=4,故选 D.)
11.A(解析:连结 DA1,DB,DC1,由长方体的性质
知,∠A1DB1 =α,∠BDB1 =β,∠C1DB1 =θ,∴sinα
+ sinβ + sinθ = A1B1
DB1
+ BB1
DB1
+ C1B1
DB1
=
A1B1+BB1+C1B1
DB1
=A1B1+BB1+C1B1
槡2 6
= 槡2 6
3 ,则
A1B1 +BB1 +C1B1 =8,∴ A1B2
1 +BB2
1 +C1B2
1 +
2(A1B1·BB1+BB1·C1B1 +A1B1·C1B1)=64,即
DB2
1+S全 =64,∴S全 =40,故选 A.)
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12.A(解析:设圆 M与 y轴切
于点 N,直线 x=p
2与圆 M交
于 A,B两 点,如 图 所 示,设
M(x0,y0),则|MN|=|MA|=
|MB|=x0,|AB 槡|= 2p,
∴(槡2
2p)2 +(x0 -p
2)2 =x2
0,
解得,x0=3
4p,由抛物线的定义知,|MF|=x0 +p
2,
∵|MF|=5
2,∴ 5
2=3
4p+1
2p,即 p=2,∴抛物线
的方程为 y2=4x,故选 A.)2 数学(理) 金学导航·大联考
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13.[-1,1
2](解析:作出
不等式组
y≤2x
x+y≤3
y≥{ 0
所表示
的平面区域,如图所示,z=
y-1
x+1的最大值即为直线 BA
的斜率 1
2,最小值为直线 BO的斜率 -1,故取值范
围是[-1,1
2].)
14.3(解析:∵点(an,an-1)(n∈N ,n≥2)在双曲
线 x2 -y2 =4上,∴ a2
n -a2
n-1 =4,又 a1 =0,
∴数列{a2
n}是以 0为首项,以 4为公差的等差数
列,则 a2
n =4(n-1),又 an≥0,∴an =2 n槡 -1,
则 bn= 2
an+an+1
= 2
2 n槡 -1+2槡n
= 1
n槡 -1+槡n
=
槡n- n槡 -1,∴S9=b1+b2+… +b9 槡 槡= 1-0+ 2-
槡1+… 槡 槡+ 9- 8=3.)
15.6(解 析:∵ n = 2
0xdx = 1
2 x2 |2
0 = 2,
∴(x+1
x-2)n=(x+1
x-2)2=(槡x-1
槡x
)4,其通项
为 Tr+1=Cr
4(槡x)4-r(-1
槡x
)r=(-1)rCr
4x2-r,令 2-r
=0,则 r=2,∴展开式的常数项为(-1)2C2
4=6.)
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16.(1
e,+∞)(解析:
∵f(x)=
cosx-x,x≤0
1-x
x+1,x{ >0 ,
∴f′(x)
=
-sinx-1,x≤0
-2
(x+1)2,x{ >0,
则 f′(x)≤0,∴f(x)在 R上单调递减,又 f(0)=1,
∴不 等 式 f[g(x)]<1即 为 f[g(x)]<f(0),
则 g(x)>0,即 lnx+x+1-1
e>0,∴lnx+1>-x
+1
e,由函数 y=lnx+1和 y=-x+1
e的图象知,
当 x>1
e时,不等式成立,故不等式 f[g(x)]<1的
解集为(1
e,+∞).)
17.解:(1)∵cosC
2= 槡2 5
5 ,
∴cosC=2cos2 C
2-1=2×( 槡2 5
5 )2-1=3
5,
(2分)
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
∵BC=3,CD=5,
∴由余弦定理得,BD2 =BC2 +CD2 -2BC·CDcosC
=32+52-2×3×5×3
5=16,则 BD=4,
∵∠A=90°,AB=AD,∴AB=槡2
2BD 槡=2 2;
(6分)
!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)由(1)知,sinC=4
5,
∵BC=3,BD=4,
∴由正弦定理得,
sin∠BDC=BC·sinC
BD =
3×4
5
4 =3
5, (9分)!!!
∵BC<BD,∴cos<BDC=4
5,
∵∠A=90°,AB=AD,∴∠ADB=45°,
则 sin∠ADC=sin(∠BDC+45°)
=sin∠BDCcos45°+cos∠BDCsin45°
=3
5×槡2
2+4
5×槡2
2= 槡7 2
10. (12分)!!!!!!
18.(1)证明:如图,取 AE的中点 O,BC的中点 F,
连结 OP,OF,PF,则 OF∥AB,
∴OF⊥BC,∵PB=PC,∴PF⊥BC,
又 OF∩PF=F,∴BC⊥平面 POF,则 BC⊥PO,
(3分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
∵E为 DC的中点,AB=2AD=4,
∴PA=PE,则 PO⊥AE,
∵AE,BC是平面 ABCE的相交直线,
∴PO⊥平面 ABCE,
又 PO平面 PAE,
∴平面 PAE⊥平面 ABCE; (5分)!!!!!!!
(2)解:在平面 ABCE内,过点 O作 Ox⊥OF,则以 O
为原点,以 Ox,OF,OP分别为 x,y,z轴,建立空间
直角坐标系,如图所示,
!
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(
)
*
+3 数学(理) 金学导航·大联考
由题设知,A(1,-1,0),P(0,0,槡2),
B(1,3,0),C(-1,3,0),
∴ →PB=(1,3, 槡- 2),→PC=(-1,3, 槡- 2),
(8分)
!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
设平面 PBC的法向量为 n=(x,y,z),
由 n· →PB=(x,y,z)·(1,3, 槡- 2)=0
n· →PC=(x,y,z)·(-1,3, 槡- 2){ =0
得,x+3y 槡- 2z=0
-x+3y 槡- 2z{ =0
,取 z 槡= 2,则 x=0,y=2
3,
∴平面 PBC的一个法向量为 n=(0,2
3,槡2),
(10分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
设直线 AP与平面 PBC所成角为 θ,
∵ →AP=(-1,1,槡2),
∴sinθ=|cos<n,→AP>|=| n· →AP
|n|·|→AP||
=|
2
3+2
4
9+2· 槡槡 1+1+2
|= 槡2 22
11 ,
即直线 AP与平面 PBC所成角的正弦值为 槡2 22
11 .
(12分)!!!!!!!!!!!!!!!!
19.(1)解:延长 F2Q交直线 F1P于点 R,
由题设知,|PF2|=|PR|,且 Q为 F2R的中点,
∴|OQ|=1
2|F1R|=1
2(|PF1|+|PR|)
=1
2(|PF1|+|PF2|)=1
2×2a=a=2,
(2分)
!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
又 e=c
a=1
2,∴c=1,则 b 槡= 3,
故椭圆 C的方程为x2
4+y2
3=1; (4分)!!!!!
(2)证明:当两条切线中的一条的斜率不存在时,
不妨设点 S在第一象限且 SA⊥x轴,
则点 A为椭圆的右顶点,∴A(2,0),
∵点 S在圆 x2+y2=7上,∴S(2,槡3),
此时,B(0,槡3)为椭圆的上顶点,∴SA⊥SB;
(6分)
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
当两条切线的斜率都存在时,设 S(x0,y0),一条切
线的斜率为 k,
则过点 S的切线方程为 y-y0=k(x-x0),
联立
y-y0=k(x-x0)
x2
4+y2
3{ =1 消去 y得,
(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-12=0,
∵直线和椭圆相切,
∴Δ=64k2(y0-kx0)2-4(3+4k2)[4(y0 -kx0)2 -
12]=0,
即(x2
0-4)k2-2x0y0k+y2
0-3=0, (10分)!!!
则 kSA·kSB =y2
0-3
x2
0-4,
∵S在圆 x2+y2=7上,∴x2
0+y2
0=7,
∴kSA·kSB =7-x2
0-3
x2
0-4 =-1,故 SA⊥SB.
(12分)
!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
20.解:(1)由题设知,X=0,1,2,
则 P(X=0)=C2
4
C2
6
=2
5,
P(X=1)=C1
2C1
4
C2
6
=8
15,
P(X=2)=C2
2
C2
6
=1
15, (3分)!!!!!!!!!
∴随机变量 X的分布列为:
X 0 1 2
P 2
5
8
15
1
15
(4分)!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(2)后四组数据是:
间隔时间 x(分钟) 13 12 15 14
侯车人数 y(人) 29 26 31 28
∴x=13+12+15+14
4 =13.5,
y=29+26+31+28
4 =28.5,
又∑
4
i=1
xiyi=13×29+12×26+15×31+14×28=
1546,
∑
n
i=1
x2
i=132+122+152+142=734, (7分)!!!
∴ )
b=
∑
n
i=1
xiyi-nxy
∑
n
i=1
x2
i-nx2
=1546-4×13.5×28.5
734-4×13.52 =1.4,
则 )
a=y- )
bx=28.5-1.4×13.5=9.6,
∴y关于 x的线性回归方程为 )
y=1.4x+9.6;
(9分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
(3)由(2)知,当 x=10时,)
y=23.6,
∴|23.6-23|<1,
当 x=11时,)
y=25,∴|25-25|<1,
∴求出的回归方程是最佳回归方程;
当 x=18时,)
y=1.4×18+9.6=34.8,
∵34.8<35,∴间隔时间设置为 18分钟合适.
(12分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!4 数学(理) 金学导航·大联考
21.解:(1)由题设知,
y=f(x)+g(x)=lnx-1+ax,
则 y′=1
x+a,
∵函数 y=f(x)+g(x)在(0,e]上单调递增,
∴y′=1
x+a≥0在(0,e]上恒成立,
即 a≥ -1
x在(0,e]上恒成立,
∵y=-1
x在(0,e]上单调递增,
∴a≥ -1
e; (4分)!!!!!!!!!!!!!
(2)由题设知,h(x)=(lnx-1)ex+x,
∴h′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1
=ex
x+(lnx-1)ex+1=(1
x+lnx-1)ex+1;
(6分)
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
设 m(x)=1
x+lnx-1,其定义域为(0,+∞),
则 m′(x)=-1
x2 +1
x=x-1
x2 ;
令 m′(x)=0,则 x=1,
当 0<x<1时,m′(x)<0,
m(x)在(0,1)上单调递减;
当 x>1时,m′(x)>0,
m(x)在(1,+∞)上单调递增;
∴在(0,+∞)上,
m(x)min=m(1)=1+ln1-1=0,
即当 x∈(0,+∞)时,m(x)=1
x+lnx-1≥0;
(9分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
∴当 x0∈(0,+∞)时,ex0 >1,1
x0
+lnx0-1≥0,
∴h′(x0)=(1
x0
+lnx0-1)ex0 +1≥1,
当且仅当 x0=1时取等号.
而对于 H(x),H′(x)=1-(ex+1
ex)≤
1-2 ex-1
e槡 x =-1,
当且仅当 x=0时取得等号.
∴h′(x0)H′(x)≤ -1,
当且仅当 x0=1,x=0时取等号,
故存在 x0=1,使得结论成立. (12分)!!!!!
22.解:(1)∵圆 C的极坐标方程为 ρ=1,
∴C的直角坐标方程为 x2+y2=1,
圆心为(0,0),半径为 r=1;
∵直线 l过点 P(-2,0),倾斜角为 α,
∴当 α=π
2时,不合题意, (2分)!!!!!!!
当 α≠ π
2时,斜率为 k=tanα,
则直线的方程为 y=k(x+2),
即 kx-y+2k=0,∵直线 l与圆 C相切,
∴ |2k|
k2槡 +1
=1,解得,k=±槡3
3,
即 tanα=±槡3
3,∴α=π
6或 α=5π
6; (5分)!!!
(2)∵直线 l与圆 C相交于不同两点 A,B,
∴由(1)知,α∈[0,π
6)∪(5π
6,π),
设 A,B,Q对应的参数分别为 tA,tB,tQ,
则 tQ =tA+tB
2 , (7分)!!!!!!!!!!!!
将 x=-2+tcosα
y=tsin{ α 代入 x2+y2=1得,
t2-4tcosα+3=0,
则 tA+tB =4cosα,∴tQ =2cosα,
又点 Q的坐标(x,y)满足 x=-2+tQcosα
y=tQsin{ α ,
即 x=-2+2sin2α
y=2cosαsin{ α ,
故点 Q的轨迹的参数方程是 x=-1+cos2α
y=sin2{ α (α为
参数,α∈[0,π
6)∪(5π
6,π)). (10分)!!!!
23.解:(1)当 2a+b=2,c=|x+1|时,
不等式|x+3|≥2a+b+c为|x+3|≥2+|x+1|,
当 x≤ -3时,-x-3≥2-x-1,-3≥1,无解;
(2分)
!
!!!!!!!!!!!!!!!!
当 -3<x<-1时,x+3≥2-x-1,x≥ -1,无解;
当 x≥ -1时,x+3≥2+x+1,3≥3,∴x≥ -1;
综上,不等式的解集为{x|x≥ -1}; (5分)!!!
(2)由柯西不等式得,
(2a+b+c)2≤(22+12+12)(a2+b2+c2),
∵a2+b2+c2=6,∴(2a+b+c)2≤36, (7分)!
则 2a+b+c≤6;∵不等式 |x+3|≥2a+b+c对所
有实数 a,b,c都成立,
∴|x+3|≥6,∴x+3≥6或 x+3≤ -6,
则 x≥3或 x≤ -9,
故实数 x的取值范围是:(-∞,-9]∪[3,+∞).
(10分)!!!!!!!!!!!!!!!!