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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年上学期高二期末考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·浙江学考]对于实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．[2018·东城期末]已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于4，那么点到另一个焦点的距离等于（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．[2018·宿州期中]如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．0
4．[2018·重庆调研]已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
5．[2018·静宁县一中]古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ）
A． B． C． D．
6．[2018·陕西四校联考]在中，，，分别是角，，的对边，，则角（ ）
A． B． C． D．
7．[2018·济南一中]在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设[2018·银川一中]抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．如果直线的斜率为，那么（ ）
A． B．8 C． D．16
9．[2018·海南期末]在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2018·清华附中]已知等差数列的前项和为，，，则数列的
前2018项和为（ ）
A． B． C． D．
11．[2018·银川一中]已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在
点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．[2018·书生中学]如图，在长方体中，，，点在棱上，
且，则当的面积最小时，棱的长为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·海安中学]若不等式的解集为，则的值为______．
14．[2018·福州期中]在中，，，则的面积为_______．
15．[2018·安师附中]已知：如图，在的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直，已知，，，则__________．
16．[2018·天津期末]设椭圆与双曲线有公共焦点，，是两条曲线的一个公共点，则等于__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）[2018·重庆八中]已知等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，分别是等差数列的第8项和第20项，试求数列的通项公式及前项和．
18．（12分）[2018·宜昌期中]已知三角形中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求．
19．（12分）[2018·吉林实验中学]已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线与抛物线相交于，两点，求弦长．
20．（12分）[2018·济南一中]如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）[2018·天津七校联考]已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值．
22．（12分）[2018·湖北期中]如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
2018-2019学年上学期高二期末考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】若“”，即，则“”，故“”是“”的充分条件．
若“”，假设，，则“”，得且，，故“”是“”的
不必要条件；
对于实数，，则“”是“”充分不必要条件，故选A．
2．【答案】D
【解析】由题意得，，负值舍去，所以选D．
3．【答案】C
【解析】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，向量，，
．本题选择C选项．
4．【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域为边界及其内部，如图，
由，得，所以．
作直线，平移直线．当直线经过点时，
取最大值．所以．故选C．
5．【答案】A
【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，
前5项的和为5，设首项为，前项和为，
则由题意得，∴，∴，
即该女子第3天所织布的尺数为．故选A．
6．【答案】B
【解析】由，可得，
根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．
7．【答案】C
【解析】在中，，三角形中大边对大角，则，
由正弦定理可得，，，，充分性成立，
，由正弦定理可得，，，则，
三角形中大边对大角，则，必要性也成立，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵抛物线方程为，∴焦点，准线方程为，
∵直线的斜率为，直线的方程为，
由，可得点坐标为，
∵，为垂足，∴点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，
∴．故选B．
9．【答案】B
【解析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
∵，，∴，令，则，
∴，
设直线与平面所成角为，则，故选B．
10．【答案】A
【解析】因为数列是等差数列，所以，
因为，，所以，解方程组得，
所以数列的通项公式为，所以，
则
，所以选A．
11．【答案】C
【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，
因为，所以，，，
，，，故选C．
12．【答案】A
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
，设，，，，，
，，即，
，
，
当且仅当，时取等号，所以，故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】∵不等式的解集是，∴1和2是一元二次方程的
两个实数根，∴，∴，故答案为．
14．【答案】
【解析】，则，解得，
，故答案为．
15．【答案】
【解析】，
所以
，所以，故填．
16．【答案】
【解析】由题意得．设是两条曲线在第一象限内的交点，则，
解得．在中，由余弦定理的推论得
．答案．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，
所以数列的通项公式．
（2）设等差数列的公差为，依题意由：，，
所以，解得：，又，所以，
所以数列的通项公式，前项和公式．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）三角形中，角，，所对的边分别为，，，
，由正弦定理可知，
可得，∴，又，得．
（2）由余弦定理得：，可得，
解得．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），抛物线的方程为．
（2）直线过抛物线的焦点，设，，
联立，消得，，
或．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，交于，连接，
在中，，分别为两腰，的中点，，
又面，面，平面．
（2）以为空间坐标系原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
即，取，则，，
设直线与法向量的夹角为，，
直线与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知有，，又由，
得，，，故椭圆的标准方程为．
（2）由，消去得，
所以，即．
设，则，，即．
因为，所以，，
由恒成立可得，即恒成立，
故，所以．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，由已知得四边形是直角梯形，
由已知，，
可得是等腰直角三角形，即，
又平面，则，
又，所以平面，所以；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设，则的坐标为，
设是平面的一个法向量，
则，得，则可取，
又是平面的一个法向量，
所以，，．
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