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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年上学期高三期末考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·重庆11月调研]已知为虚数单位，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．[2018·中山一中]设集合，，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
3．[2018·浙江学考]函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2018·天水一中]设向量，满足，，则（ ）
A．6 B． C．10 D．
5．[2018·湛江一中]正方形的四个顶点，，，分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．[2018·和平区期末]已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．[2018·玉林摸底]在中，，，的对边分别为，，，已知，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．[2018·五省联考]有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2018·赣州期中]如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2018·吉林调研]将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2018·书生中学]过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，，则（ ）
A． B． C． D．
12．[2018·黄山八校联考]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018湖北七校联考·]若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________．
14．[2018·九江十校联考]已知实数，满足不等式组，那么的最大值和最小值分别是和，则___________．
15．[2018·邹城期中]设当时，函数取得最大值，则______．
16．[2018·牡丹江一中]已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的表面积为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2018·重庆一中]已知数列为等比数列，，是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）[2018·佛山质检]某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月（30天）的需求量展示如下：
日需求量（个）
20
30
40
50
天数
5
10
10
5
（1）从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率．
（2）以上表中的频率作为概率，列出日需求量的分布列，并求该月的日需求量的期望．
（3）根据（2）中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值为；现有员工建议扩大生产一天45个，求利用利润的期望值判断此建议该不该被采纳．
19．（12分）[2018·重庆一中]如图，三棱柱中，，，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，且，求二面角的正弦值．
20．（12分）[2018·黄山八校联考]已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，，是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．
21．（12分）[2018·浙江模拟]已知函数．
（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2018·安丘质检]在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．
（1）求曲线的直角坐标方程并写出直线的参数方程；
（2）直线与曲线的交点为，，求点到、两点的距离之积．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2018·湖北、山东联考]已知函数．
（1）解不等式；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围．
2018-2019学年上学期高三期末考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】，故选B．
2．【答案】A
【解析】由集合，，
则集合，故选A．
3．【答案】A
【解析】直接利用排除法： ①当时，选项B成立；
②当时，，函数的图象类似D；
③当时，，函数的图象类似C；故选A．
4．【答案】D
【解析】∵向量，满足，，∴，解得．
则．故选D．
5．【答案】A
【解析】，，，，∴正方体的的面积，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：
，
则根据几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是，故选A．
6．【答案】D
【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为，
则双曲线的一条渐近线为，
据此有，∴．故选D．
7．【答案】C
【解析】∵，∴由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，解得，．∴的周长是．故选C．
8．【答案】B
【解析】程序运行过程如下：首先初始化数据：，，
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值不大于，应执行：，；
此时的值大于，应跳出循环，
即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，
结合选项可知空白的判断框内可以填入的是．故选B．
9．【答案】B
【解析】由题意，将面与面沿展开成平面图形，如图所示，
线段即为的最小值，在中，利用余弦定理可得，故选B．
10．【答案】D
【解析】由已知，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；
再把所得的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则，；
解得，；令，可得的最小正值是．故选D．
11．【答案】B
【解析】设，，∵过抛物线的焦点，
设直线方程为，代入抛物线方程可得，
∴，，
∴，
∴，∴，，
∴，解得，故选B．
12．【答案】D
【解析】函数，
当时，；
当时，；
当时，，
∴函数的值域是，故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】为奇函数，则，
∴，，∴，
又，曲线在点处的切线方程为，即．
14．【答案】0
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由得，结合图形，平移直线可得，
当直线经过可行域内的点A时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值；
当直线经过可行域内的点B时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值．
由题意得，，∴，，
∴．故答案为0．
15．【答案】
【解析】利用辅助角公式，
其中，，已知当时，函数取得最大值，，
故，，则，
故．故填．
16．【答案】
【解析】设该球的半径为，则，，
∴，由于是球的直径，
∴在大圆所在平面内且有，
在中，由勾股定理可得，
∴的面积，
∵平面，且，四面体的体积为，
∴，即，，
∴球表面积．故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公比为，∵，∴，．
∵是和的等差中项，∴．
即，化简得．
∵公比，∴． ∴．
（2）∵，∴．∴，
则．
18．【答案】（1）；（2）；（3）此建议不该被采纳．
【解析】（1）从这30天中任取两天，两天的日需求量均为40个的概率为．
（2）日需求量的分布列为
日需求量（个）
20
30
40
50
概率
日需求量的期望．
（3）设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，对应的分布列如下：
利润（元）
60
140
180
概率
利润的期望．
根据两个期望值的对比，，∴此建议不该被采纳．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】如图，设中点为，连接，，
又设，则，又∵，∴，
又∵，即，且，∴，
∵，∴，在，由三线合一可得．
（2）∵平面平面，平面平面，且，
故，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设面的法向量，则有，
同理得面得法向量，
设所求二面角为，则，故．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值，
此时，又，
解得，，所求椭圆的方程为．
（2）由（1）知，由得，
①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意，
②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为，
由消去得，
设，，则，，
∴，
直线的方程为，同理可得，
由解得，
故所求直线的方程为．
21．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，∴，
∴，；
∴函数的图象在点处的切线方程为．
（2）由题知，函数的定义域为，
，
令，解得，，
①当时，∴，在区间和上；在区间上，
故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
②当时，恒成立，故函数的单调递增区间是．
③当时，，在区间和上；在上，
故函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．
④当时，，时，时，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
⑤当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
综上，①时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
②时，函数的单调递增区间是．
③当时，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．
④当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，
的参数方程为；（2）3．
【解析】（1）∵，
∴，即；直线的参数方程为；
（2）把，代入圆的直角坐标方程得，
设，是方程的两根，则，由参数的几何意义，
得．
23．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），
∴或或，解得或或无解，
综上，不等式的解集是．
（2）
，当时等号成立，
不等式有解，∴，
∴，∴或，即或，
∴实数的取值范围是或．
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