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2018-2019学年上学期高二期末考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·华侨中学]已知命题，，则是成立的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
2．[2018·福师附中]已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．[2018·学军中学]如图，长方体中，，，、、
分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．0
4．[2018·新余四中]已知定点，点的坐标满足，当（为坐标原点）的最小值是2时，实数的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．[2018·九江十校联考]朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．[2018·怀化三中]在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C．或 D．或
7．[2018·邹城质检]已知命题存在实数，，满足；
命题()．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
8．[2018·长沙一中]已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．[2018·泉州月考]如图所示，在正四面体中，为棱的中点，则与平面的夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2018·镇海中学]已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．[2018·天津期中]设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
12．[2018湖北调研]设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·营口期中]若不等式与关于不等式的解集相同，则_____．
14．[2018·泸州质检]在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______．
15．[2018·本溪高中]如图，在长方体中，，，点在棱上．
若二面角的大小为，则________．
16．[2018·石嘴山三中]以下四个关于圆锥曲线的命题：
①设，是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；
②过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若．则动点的轨迹是椭圆；
③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）[2018·广安诊断]设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求．
18．（12分）[2018·齐鲁名校]在中，，，分别为内角，，所对的边，已知，其中为外接圆的半径，，其中为的面积．
（1）求；
（2）若，求的周长．
19．（12分）[2018·青冈实验中学]已知抛物线的焦点为，点
在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的最大值．
20．（12分）[2018·奉贤区调研]已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．
（1）求几何体的体积；
（2）求直线与平面所成角的大小．
21．（12分）[2018·东北育才学]已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于
点．若，为坐标原点，求面积．
22．（10分）[2018·屯溪一中]如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且．
（1）求证：对任意的，都有．
（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，
若，求的值．
2018-2019学年上学期高二期末考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由，得．
∵，∴是成立的必要不充分条件．故选B．
2．【答案】C
【解析】由双曲线，可得，离心率为，
则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C．
3．【答案】D
【解析】以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则可得，，，，，，
设异面直线与所成的角为，则，故选D．
4．【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
∵定点，点，∴，，
设，要使当（为坐标原点）的最小值是2时，即时，
点落在直线上，此时．故答案为B．
5．【答案】A
【解析】根据题意得音频率构成的数列为等比数列，设该数列的公比为，
则，∴．故选A．
6．【答案】D
【解析】由正弦定理得，，所以或者，
当时，，三角形面积为．
当时，，三角形面积为．故选D．
7．【答案】A
【解析】当时，满足，故命题是真命题，则是假命题，
当时，，，不等式不成立，故命题是假命题，则是真命题，
则是真命题，其余为假命题．故选A．
8．【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
圆的圆心为，半径为1，
，，
由抛物线定义知：点到直线的距离，
∴的最小值即到准线距离，
∴的最小值为，故选B．
9．【答案】B
【解析】在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，
如下图所示过做平面，
则为平面的中心，延长交于，过做，
连接，所以就是所求的与平面的夹角．
所以，求得，
所以，利用，解得，
所以，，在中，，故选B．
10．【答案】B
【解析】设正项等比数列的公比为，且，
由得：，
化简得，，解得或（舍去），
因为，所以，
则，解得，
所以，
当且仅当时取等号，此时，解得，
因为取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当、时，取最小值为，故选B．
11．【答案】D
【解析】∵点在椭圆的外部，∴，，
由椭圆的离心率，
，又因为，且，
要恒成立，即，
则椭圆离心率的取值范围是．故选D．
12．【答案】A
【解析】设在平面上的射影为，在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，，则，，，，设到距离为，则，，
即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，
故答案为A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由有，，由于绝对值不等式的解集和
的解集相同，故，，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得．
14．【答案】
【解析】，由正弦定理可得，
化为，，，故答案为．
15．【答案】
【解析】以为原点，以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，平面的法向量为，
由题可知，，，，，，
平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为，
为平面的法向量，
，令，则，
二面角的大小为，，即，
解得，（舍去），，故答案为．
16．【答案】③④
【解析】①不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于，为两个定点间的距离，
当点在顶点的延长线上时，，显然这种曲线是射线，而非双曲线；
②不正确；根据平行四边形法则，易得是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为，那么有，即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，所以点的轨迹是一个圆，如图，
③正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④正确；双曲线与椭圆焦点坐标都是，故答案为③④．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，有，
又，所以时，
．
当时，也满足，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，，又，
，则．
由，由余弦定理可得，
，又，，
．
（2）由正弦定理得，又，，
又，，．
19．【答案】（1），；（2）9．
【解析】（1），．
（2）由题意，显然直线斜率不为0，
设直线，联立，得，
设，，，，
，
所以，当时，最大值为9．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由该几何体的三视图可知平面，且，．
∴，∴几何体的体积．
（2）分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系，则：，，，．所以，，，
设平面的法向量为，，∴，于是可以取．
设与平面所成的角为，则：．
∴与平面所成的角为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点为曲线上任意一点，
由得，整理得为所求．
（2）设，，且，
由得，∴，
依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点，
故可化为，
由得，
且，又，∴，
消去，整理得，即，
∴的面积．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接、，
由底面是正方形可得．
∵平面，∴是在平面上的射影，∴．
（2）解：由平面知，，
∵平面，平面，∴．
又底面是正方形，∴，而，平面．
连接、，过点在平面内作于，连接，则，
故是二面角的平面角，即．
在中，∵，，∴，从而，
在中，，所以．
过点作的垂线，因为平面，所以，
所以就是直线与平面所成的角，
设点到的距离为，则由等面积得，，
所以，
因为，所以，．
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