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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年上学期高三期末考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·攀枝花统考]已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．[2018·南宁三中]复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2018·青岛调研]如图，在正方体中，为棱的中点，用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2018·佛山调研]已知，则（ ）
A． B． C．或1 D．1
5．[2018·厦门质检]甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．[2018·中山一中]函数的单调递增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．[2018·山师附中]函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
8．[2018·棠湖中学]已知两点，，若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．[2018·优创名校]函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2018·南海中学]已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．[2018·黄陵中学]在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
12．[2018·赤峰二中]如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·南康模拟]已知单位向量，的夹角为，则________．
14．[2018·南宁摸底]某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为．为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为__________．
15．[2018·高新区月考]若实数，满足不等式组，则的取值范围是__________．
16．[2018·河南名校联盟]已知函数，函数．若当时，函数与函数的值域的交集非空，则实数的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2018·华侨中学]已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）[2018·太原五中]为了解太原各景点在大众中的熟知度，随机对岁的人群抽样了人，回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点？”，统计结果及频率分布直方图如图表．
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
第2组
18
第3组
第4组
9
第5组
3
（1）分别求出，，，的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
19．（12分）[2018·肇庆统测]如图1，在高为2的梯形中，，，，过、分别作，，垂足分别为、．已知，将梯形沿、，同侧折起，使得，，得空间几何体，如图2．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）[2018·成都实验中学]已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
21．（12分）[2018·齐齐哈尔期末]已知常数项为的函数的导函数为，其中为常数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间（为自然对数的底数）上的最大值为，求的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2018·南昌模拟]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求的参数方程；
（2）求直线被截得的弦长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2018·安康中学]已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．
2018-2019学年上学期高三期末考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】集合，
∵，∴，故选B．
2．【答案】D
【解析】∵，∴，∴．故选D．
3．【答案】C
【解析】取中点，连接，．平面为截面．如下图：
∴故选C．
4．【答案】D
【解析】∵，
又∵，∴．故选D．
5．【答案】B
【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有3种情况，
则这两名同学加入同一个社团的概率是．故选B．
6．【答案】B
【解析】由题意，函数，
令，，解得，，
即函数单调递增区间是，，故选B．
7．【答案】D
【解析】已知，则函数周期，
∵函数是上的偶函数，在上单调递减，
∴函数在上单调递增，即函数在先减后增的函数．故选D．
8．【答案】D
【解析】∵，∴点在圆，
又点还在圆，故，
解不等式有，故选D．
9．【答案】C
【解析】由，得为偶数，图象关于轴对称，排除；
，排除；，排除，故选C．
10．【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），
可得，，即，，解得，，
双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线的方程为，故选B．
11．【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
∴，∴．由同角三角函数得：，
由正弦定理，解得，∴或（舍）．故选B．
12．【答案】D
【解析】设球的半径为，球心到平面的距离为，
则利用勾股定理可得，
∴，∴球的表面积为．故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】，，
，故答案为．
14．【答案】60
【解析】∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，
∴高级教师与初级教师的人数为人，
∵抽取的样本中有中级教师72人，∴设样本人数为，则，解得，
则抽取的高级教师与初级教师的人数为，
∵高级教师与初级教师的人数比为．
∴该样本中的高级教师人数为．故答案为60．
15．【答案】
【解析】∵实数，满足，对应的平面区域如图所示：
则表示可行域内的点到的两点的连线斜率的范围，
由图可知的取值范围为．
16．【答案】
【解析】依题意，；
当时，是减函数，，
当时，，时单调递减，，∴，∴；
当时，，时单调递增，显然不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，；
当时，．
当时，也符合上式，故．
（2）∵，
故．
18．【答案】（1），，，；（2）2，3，1；（3）．
【解析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
∴，，
，；
（2）∵第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：人；第3组：人；第4组：人，
（3）设第2组2人为：，；第3组3人为：，，；第4组1人为：．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证法一：连接交于，取的中点，
连接，则是的中位线，∴．
由已知得，∴，
连接，则四边形是平行四边形，∴，
又∵，，∴，即．
证法二：延长，交于点，连接，则，
由已知得，∴是的中位线，∴，
∴，四边形是平行四边形，，
又∵，，∴．
证法三：取的中点，连接，，易得，
即四边形是平行四边形，则，
又，，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，
又是平行四边形，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
又，，∴，
又，∴面，又，∴．
（2）∵，∴，
由已知得，四边形为正方形，且边长为2，则在图2中，，
由已知，，可得，
又，∴，
又，，∴，且，∴，
∴是三棱锥的高，四边形是直角梯形．
．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆方程为，
∵，，∴，，
所求椭圆方程为．
（2）由题得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由得，且．
设，，则由，得，
又，，
∴，，消去解得，，
∴直线的方程为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数的常数项为，∴．
当时，，∴，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴当时，有极大值，也为最大值，且．
（2）∵，，∴，
①若，则，在上是增函数，
∴，不合题意．
②若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴当时，函数有极大值，也为最大值，且，
令，则，解得，符合题意．
综上．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）的参数方程为（为参数）；（2）．
【解析】（1）∵的极坐标方程为，
∴的直角坐标方程为，即，
∴的参数方程为（为参数）．
（2）∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的普通方程为，∴圆心到直线的距离，
∴直线被截得的弦长为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴或或，
∴，
∴不等式解集为；
（2）∵，∴，
又，，，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴．
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