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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2018-2019学年上学期高三期末考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·攀枝花统考]已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．[2018·南宁三中]复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．[2018·青岛调研]如图，在正方体中，为棱的中点，用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2018·佛山调研]已知，则（ ）
A． B． C．或1 D．1
5．[2018·枣庄二模]若的展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
6．[2018·中山一中]函数的单调递增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．[2018·山师附中]函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
8．[2018·棠湖中学]已知两点，，若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．[2018·优创名校]函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2018·南海中学]已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．[2018·黄陵中学]在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
12．[2018·开封月考]已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·南康模拟]已知单位向量，的夹角为，则________．
14．[2018·曲靖统测]随机变量服从正态分布，若，则__________．
15．[2018·高新区月考]若实数，满足不等式组，则的取值范围是__________．
16．[2018·盐城期中]已知函数，，，，使，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2018·华侨中学]已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）[2018·唐山摸底]甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在（单位：）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：
（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为，求的分布列和数学期望．
19．（12分）[2018·长沙一中]在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将翻折到，连接，，，得到如图的五棱锥，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
20．（12分）[2018·成都实验中学]已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
21．（12分）[2018·大庆实验中学]设函数．
（1）当时，求函数的极值．
（2）若函数在区间上有唯一的零点，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2018·南昌模拟]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求的参数方程；
（2）求直线被截得的弦长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2018·安康中学]已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．
2018-2019学年上学期高三期末考试
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】集合，
∵，∴，故选B．
2．【答案】D
【解析】∵，∴，∴．故选D．
3．【答案】C
【解析】取中点，连接，．平面为截面．如下图：
∴故选C．
4．【答案】D
【解析】∵，
又∵，∴．故选D．
5．【答案】D
【解析】由题意二项式的展开式为，
展开式的为，∴，
解得，故选D．
6．【答案】B
【解析】由题意，函数，
令，，解得，，
即函数单调递增区间是，，故选B．
7．【答案】D
【解析】已知，则函数周期，
∵函数是上的偶函数，在上单调递减，
∴函数在上单调递增，即函数在先减后增的函数．故选D．
8．【答案】D
【解析】∵，∴点在圆，
又点还在圆，故，
解不等式有，故选D．
9．【答案】C
【解析】由，得为偶数，图象关于轴对称，排除；
，排除；
，排除，故选C．
10．【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），
可得，，即，，
解得，，
双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线的方程为，故选B．
11．【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
∴，∴．
由同角三角函数得：，
由正弦定理，解得，∴或（舍）．
故选B．
12．【答案】A
【解析】由余弦定理得，∴，
由正弦定理得，∴，∴三角形的外接圆半径为．
设外接球的球心为，半径为，球心到底面的距离为，
设三角形的外接圆圆心为，的中点为，过点作，
连接，，．
在直角中，（1），在直角中，（2），
解（1）（2）得，．∴外接球的表面积为．故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】，，
，故答案为．
14．【答案】
【解析】∵，∴．．
故答案为．
15．【答案】
【解析】∵实数，满足，对应的平面区域如图所示：
则表示可行域内的点到的两点的连线斜率的范围，
由图可知的取值范围为．
16．【答案】
【解析】，，使，
即的值域是的子集，，
，，
当时，，即，，解得；
当时，，即，，不等式组无解；
当时，，即，，不等式组无解；
当时，，即，，不等式组无解；
综上所述，的范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，；
当时，．
当时，也符合上式，
故．
（2）∵，
故．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，
∴抽取的2个零件等级互不相同的概率；
（2）X可取0，1，2，3．
，，，，
的分布列为
0
1
2
3
∴随机变量的期望．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵点，分别是边，的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴，，，，
∵平面，平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
（2）设，连接，∵，∴为等边三角形，
∴，，，，
在中，，在中，，
∴，∴，，
∴平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，由，得，
令，得，
设直线与平面所成的角为，
则．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆方程为，
∵，，∴，，
所求椭圆方程为．
（2）由题得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由得，且．
设，，则由，得，
又，，
∴，，消去解得，，
∴直线的方程为．
21．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】（1）时，函数的定义域为，
，令解得或（舍）
时，，单调递减；时，，单调递增
列表如下
1
0
单调递减
极小值
单调递增
∴时，函数的极小值为，函数无极大值．
（2），其中，
当时，恒成立，单调递增，
又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意．
当时，恒成立，单调递减，
又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意．
当时，时，，单调递减，
又∵，∴函数在区间上有唯一的零点；
当时，，单调递增，
又∵，∴当时符合题意，即，
∴时，函数在区间上有唯一的零点；
∴的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）的参数方程为（为参数）；（2）．
【解析】（1）∵的极坐标方程为，
∴的直角坐标方程为，即，
∴的参数方程为（为参数）．
（2）∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的普通方程为，∴圆心到直线的距离，
∴直线被截得的弦长为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴或或，
∴，
∴不等式解集为；
（2）∵，∴，
又，，，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴．
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