吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题Word版含答案.doc

长春市实验中学2016级高三上学期 期末考试数学（文科）试卷 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．方程的根的个数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．等差数列的前项和为，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知向量，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若如图的程序框图输出的是，则①应为 （ ）‎ A． ‎? ‎ B． ‎? ‎ C． ‎? ‎ ‎ D．?‎ ‎8．已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D．‎ ‎9．设为抛物线：的焦点，曲线与交于点，轴，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．若函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质，下列函数中有性质的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，则函数满足 （ ）‎ A．最小正周期为 B．图像关于点对称 ‎ C．在区间上为减函数 D．图像关于直线对称 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知实数满足约束条件，则的最小值是．‎ ‎14．设是等差数列的前项和，若，，则公差．‎ ‎15．在中，若，，，则．‎ ‎16．已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，‎ 则．‎ 三、 解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）‎ 已知正项等比数列，其前n项和为满足：，，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）令，数列的前n项和为，求.‎ ‎18. （12分）‎ 某中学对高三年级的学生进行体质测试，已知高三、一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：）：‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ 男 ‎　‎ 女 ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎7‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎17‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 男生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于 的定义为“不合格”；女生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”.‎ ‎(1) 求女生立定跳远成绩的中位数；‎ ‎(2) 若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；‎ ‎(3) 若从(2)问所抽取的6人中任选2人，求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率.‎ 19. ‎（12分）‎ 已知椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求面积的最大值.‎ ‎20.（12分）‎ 四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，M为PA上一点，且，‎ ‎（1）证明：PC//平面MBD；‎ ‎（2）若，四棱锥的体积为，‎ 求直线AB与平面MBD所成角的正弦值.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数的图象与直线相切，‎ （1） 求b的值；‎ （2） 当时，恒成立，求实数a的取值范围.‎ (二) 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.‎ 22. ‎[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点 极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. ‎ ‎⑴ 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎⑵ 试判断曲线与是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由.‎ 23. ‎[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数，. ‎ ‎⑴ 当时，求不等式的解集； ‎ ‎⑵ 对任意恒有，求实数的取值范围. ‎ C ‎ A ‎ C ‎ A B ‎ ‎ D B B D B ‎ A D 答案：‎ 答案：‎ 答案：‎ ‎．‎ ‎17.解：（1）设公比为q（q>0）‎ 由已知可得：解得q=3，q=-1（舍）……………………………‎ ‎，解得，………………………………………‎ ‎ ………………‎ 所以当时，；………………‎ 当时，………………‎ 综上可知……‎ ‎18.解：(1) 女生立定跳远成绩的中位数cm．…………………‎ (2) 男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为，用分层抽样的方法抽取6个人，‎ 则抽取成绩“合格”人数为4人；…………………‎ ‎（3）由(2)设成绩“合格”的4人为A，B，C，D，成绩“不合格”的2人为,从中选出2人有（A,B），（A,C），（A,D），（A,），（A,），（B,C），（B,D），（B,），（B,），（C,D），（C,），（C,），（D,），（D,），（），共15种，…………………‎ 其中恰有1人成绩“合格”的有（A,），（A,），（B,），（B,），（C,），（C,），（D,），（D,），共8种，故所求事件概率为.…………………‎ ‎19.解：（1）椭圆C：的右焦点F2和上顶点B在直线上，椭圆的右焦点为F2（1，0），上顶点为B，………… 故c=1，b=，a2=b2+c2=4，∴所求椭圆标准方程为．………… （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线的方程为 联立得：，…………‎ ‎…………‎ ‎………… ‎ ‎=，，令，函数在上为增函数，故当即时，，此时三角形的面积取得最小值为.………… ‎ ‎20.（1）证明：连结AC交BD于N点，连结MN，则∽‎ 又，，，‎ ‎，……………………‎ (2) 解：不妨设，因为PA=AD=3，四棱锥的体积为，所以，解得；………………‎ 设点到平面的距离为，利用体积桥，,在中，,利用余弦定理可求得,所以，所以三角形的面积,………………‎ 代入中得：，解得，………………‎ 又因为,所以直线AB与平面MBD所成角的正弦值为. ………………‎ ‎21.解：（1）‎ ‎，在上为增函数，且…………………‎ 切点的坐标为，将代入得1+b=2，b=1…………………‎ （2） 由，…………‎ 令 ‎………………‎ ‎，‎ ‎，显然 ‎………………………………………‎ ‎22.解：(1) 对于曲线有，对于曲线有.…………‎ ‎(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，‎ 由，，得. …………‎ ‎23. 解：(1) 当时，，‎ 所以的解集为或. …………‎ ‎(2) ，‎ 由恒成立，有，解得 所以的取值范围是. …………‎