山西大学附属中学2018-2019学年高二上学期12月月考试题数学（理）Word版含答案.docx

山西大学附中 ‎2018～2019学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学试题（理科）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．方程表示的图形是（）‎ A．以为圆心，为半径的圆B．以为圆心，为半径的圆 C．以为圆心，为半径的圆D．以为圆心，为半径的圆 ‎3．直线关于点对称的直线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知直线和互相平行，则实数（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若直线过点且与直线垂直，则的方程为( )‎ A．B．C．D．‎ ‎6．若变量满足约束条件，则的最大值是（）‎ A． 0 B． 2 C． 5 D． 6‎ ‎7．已知坐标平面内三点直线l过点.若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．若直线过点且到的距离相等，则直线的方程是（ ）‎ A．B．‎ C． D．‎ ‎9．设点分别是椭圆的左、右焦点，弦过点，若的周长为，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若是面积为的等边三角形，则的值为( )‎ A． B．C． D．‎ ‎12.直线与曲线交于两点，为坐标原点，当面积取最大值时，实数的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）‎ ‎13．椭圆的焦距为　_______．‎ ‎14.与圆关于直线对称的圆的标准方程为　_____________________．‎ ‎15．已知椭圆的短半轴长为，离心率的取值范围为，则长半轴长的取值范围为　_____________．‎ ‎16．已知实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　_______．‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题10分）已知直线，若直线在两坐标轴上截距相等，求的方程．‎ ‎18．（本小题12分）已知的三个顶点坐标为 ‎（1）求的外接圆的方程；‎ ‎（2）若一光线从射出，经轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的斜率.‎ ‎19．（本小题12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题12分）已知圆，圆，直线过点．‎ ‎（1）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，求线段的中点的轨迹方程．‎ ‎21．（本小题12分）已知过点，且斜率为的直线与圆相交于不同两点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为坐标原点，问是否存在以为直径的圆恰过点？若存在，则求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎22．（本小题12分）已知椭圆的左、右焦点为，且半焦距，直线经过点，当垂直于轴时，与椭圆交于两点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线不与轴垂直时，与椭圆相交于两点，求的取值范围．‎ 山西大学附中 ‎2018～2019学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学试题答案（理科）‎ 考试时间：110分钟 满分：150分 命题人：代婷 审核人：王晓玲 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ CCACACACDABA 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）‎ ‎13.814.15． 16.‎ ‎17．解：当x=0时，y=a﹣2，当y=0时，x=，‎ 则a﹣2=，‎ 解得a=1或a=2，‎ 故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0 10分 ‎18．解：（1）AB‎=‎-1,-1‎,AC=‎1,-1‎,AB•AC=0‎,于是AB⊥AC 所以ΔABC是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点‎-3,2‎，半径r=BC‎2‎=1‎ 所以：ΔABC的外接圆E的方程为：x+3‎‎2‎‎+y-2‎‎2‎=1‎ 6分 ‎（Ⅱ）点‎-2,-3‎关于y轴对称的点‎2,-3‎，则反射光线经过点‎2,-3‎ 有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y+3=kx-2‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=‎-5k-5‎k‎2‎‎+1‎=1‎，解得：k=-‎‎4‎‎3‎或‎-‎‎3‎‎4‎ 12分 ‎19．解：（1）证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点，‎ 所以AE⊥BD，‎ 又面ABD⊥面BDC，面ABD∩面BCD=BD，且AE⊂面ABD，‎ 所以AE⊥面BCD，又因为CD⊂平面BCD，‎ 所以AE⊥CD． 5分 ‎（2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 在直角三角形ABF中，可得BF=2tan30°=2，可得EF=2cos60°=1，‎ 可得E（0，0，0），A（0，0，3），D（0，，0），C（3，2，0），B（0，﹣‎ ‎，0），‎ 由BE⊥平面AEF，可得平面AEF的法向量为=（0，﹣，0），‎ ‎=（0，，﹣3），=（3，2，﹣3），‎ 设平面ADC的法向量为=（x，y，z），‎ 由，令y=，可取=（﹣1，，1），‎ 可得cos＜，＞===﹣，‎ 则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为 ‎20．解：（1）由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|==，即a=b2，又a2﹣b2=c2=1，解得：a=，b=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：； 5分 ‎（2）由（1）可知椭圆的右焦点F2（1，0），当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2（x1，y1），B2（x2，y2），‎ ‎，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，‎ 则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1+x2=m（y1+y2）+2=，x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，‎ ‎•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2=﹣=﹣（1﹣）=﹣1+∈（﹣1，]，‎ 当直线l与x轴重合时，则A2（﹣，0），B2（，0），则•=（﹣﹣1，0）（﹣1，0）=﹣1，‎ ‎∴•的取值范围[﹣1，]． 12分 ‎21．解：（1）直线l过点M（1，2），圆，‎ 可得圆心C1（0，0），半径r1=2，‎ 可设直线l的方程为x﹣1=m（y﹣2），即x﹣my+2m﹣1=0，‎ 可得圆心O到直线l的距离为d=，‎ 由直线l被圆C1所截得的弦长为，可得 ‎2=2，解得d=1，即=1，‎ 解得m=0或，‎ 则直线l的方程为x=1或3x﹣4y+5=0：‎ ‎（2）‎ ‎22．解：（1）（法一）设直线方程为y=kx+4‎，即kx-y+4=0‎，点C（2，3）到直线的距离为 d=‎|2k-3+4|‎k‎2‎‎+1‎=‎|2k+1|‎k‎2‎‎+1‎