第二十四章测评
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A.点B,C均在圆P外
B.点B在圆P外、点C在圆P内
C.点B在圆P内、点C在圆P外
D.点B,C均在圆P内
2.(2017·海南中考)如图,点A,B,C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为( )
A.25° B.50° C.60° D.80°
3.(2017·江苏苏州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F=( )
A.92° B.108° C.112° D.124°
(第2题图)
(第3题图)
4.(2017·内蒙古呼和浩特中考)如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为( )
A.26π B.13π C.96π5 D.3910π5
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5.如图,圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm,母线长为20 cm,制作这样的一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( )
A.150π cm2 B.300π cm2
C.600π cm2 D.150 cm2
6.(2017·吉林长春中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠ABC=29°,过点C作☉O的切线交OA的延长线于点D,则∠D的大小为( )
A.29° B.32° C.42° D.58°
7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是( )
A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形
B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥AC
C.当PO⊥AC时,∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形
8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( )
A.4 B.33 C.6 D.23
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.☉O的圆心到直线l的距离为d,☉O的半径为r,若d,r是关于x的方程x2-4x+m=0的两根,当直线l和☉O相切时,m的值为 .
10.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是 .
11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E= °.
10
(第10题图)
(第11题图)
12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为 .
13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD= .
(第12题图)
(第13题图)
三、解答题(共48分)
14.(10分)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.
10
15.(12分)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与☉O的另一个交点为点E,连接AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.
16.(12分)如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.
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(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
17.(14分)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,且交AC于点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;
(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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参考答案
第二十四章测评
一、选择题
1.C
2.B ∵OA=OB,∠BAO=25°,
∴∠B=25°.∵AC∥OB,
∴∠B=∠CAB=25°,
∴∠BOC=2∠CAB=50°.
故选B.
3.C ∵∠ACB=90°,∠A=56°,
∴∠B=34°.
在☉O中,∵CE=CD,
∴∠COE=2∠B=68°,
∴∠F=112°,故选C.
4.B 连接OA,
设OM=5x,MD=8x,
则OA=OD=13x.
又AB=12,由垂径定理可得AM=6,
∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12,
∴半径OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π.
5.B
6.B 作直径B'C,交☉O于B',连接AB',则∠AB'C=∠ABC=29°.
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∵OA=OB',
∴∠AB'C=∠OAB'=29°.
∴∠DOC=∠AB'C+∠OAB'=58°.
∵CD是☉的切线,
∴∠OCD=90°.
∴∠D=90°-58°=32°.故选B.
7.C 对于选项A:当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B:当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C:当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D:当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到△BPC是直角三角形.
8.B 连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.
因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.
因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.
所以OD∥AB.所以DF⊥AB.
又O为BC的中点,
所以D为AC的中点.
在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.
所以FB=AB-AF=8-2=6.
在Rt△BFG中,∠BFG=30°,
所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.
二、填空题
9.4 当直线l和☉O相切时,d=r,方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,此时(-4)2-4×1×m=0,m=4.
10.20° 连接OA,OB.设∠AOB=n°.
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∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∠AOB=40°.
∴∠ACB=12∠AOB=20°.
11.215 在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.
12.38° 如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.
13.13 由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.
三、解答题
14.解 (1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.
连接PD,∵PD=12+22=5,∴点D在☉P上.
(2)直线l与☉P相切.
理由如下:连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),
所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.
所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.
15.(1)证明 ∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.
∵DC=CB,∴AD=AB.
∴∠B=∠D.
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(2)解 设BC=x,则AC=x-2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42.解得x1=1+7,x2=1-7(舍去).
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E.∴CD=CE.
∵CD=CB,∴CE=CB=1+7.
16.解 (1)在Rt△ABF中,∠A=30°,则BF=12AB=23,于是AF=(43)2-(23)2=6.
在Rt△BOF中,OB2=OF2+BF2=(AF-OA)2+BF2,
又OB=OA,∴OA2=(6-OA)2+(23)2.
∴OA=4.∵∠BAO=30°,
∴∠BOF=2∠BAO=60°.
又OB=OD,OC⊥BD,
∴∠BOD=2∠BOF=120°.
∴S阴影=120π×42360=16π3.
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则2πr=120×4π180,解得r=43.
17.解 (1)AF是☉O的切线.理由如下:
连接OC,∵AB是☉O的直径,∴∠BCA=90°.
∵OF∥BC,∴∠AEO=90°,
即OF⊥AC.∵OC=OA,
∴∠COF=∠AOF,
∴△OCF≌△OAF.
∴∠OAF=∠OCF=90°,
∴FA⊥OA,
即AF是☉O的切线.
(2)∵☉O的半径为4,AF=3,FA⊥OA,∴OF=AF2+OA2=32+42=5.
∵FA⊥OA,OF⊥AC,
∴AF·OA=OF·EA,
∴3×4=5×EA,
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解得AE=125,AC=2AE=245.
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