福建省泉州市惠安县2019届九年级上学期期末数学
摸底考试试题
一．选择题（每小题4分,共10小题，满分40分，）
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．某种彩票的中奖率为，说明每买1 000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．“概率为1的事件”是必然事件
3．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝0 D．（x﹣）2＝
4．在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是（ ）
A．科比罚球投篮2次，一定全部命中
B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中
C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小
5．某商场今年3月份的营业额为400万元，5月份的营业额达到633.6万元，若设商场3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．400（1+x）2＝633.6 B．400（1+2x）2＝6336
C．400×（1+2x）2＝63.6 D．400×（1+x）2＝633.6+400
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．下列计算正确的是（ ）
A．＝3 B．＝﹣3 C．＝±3 D．（﹣）2＝3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x＝ 时，△APE的面积等于5．
13．已知一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角的度数是 度．
14．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′ ，B′ ；点A到原点O的距离是 ．
15．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N是边AD、BC上的点，现将这张矩形纸片沿MN折叠，使点B落在点E处，折痕与对角线BD的交点为点F，若△FDE是等腰三角形，则FB＝ ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算
（1）5+﹣+
（2）+﹣（）0
（3）﹣+
18．（8分）阅读下面的材料并解答问题：
例：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上例解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣6＝0
19．（8分）已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．
20．（8分）某山区学校为开发学生特长，培养兴趣爱好，准备开设“第二课堂培训班”，每周进行一次．拟开设科目有：A．数学兴趣，B．古诗词欣赏；C．英语特长；D．艺术赏析；E．竞技体育等五类．学校对学生进行了抽样调查（每人只能选择一项），并将调查结果绘制成图1和图2所示的两个不完整统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求x的值，并将图1补充完整；
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为 °；
（3）为提高学生对C、E科目的了解与关注，学校准备从选C、E科目的学生中随机选出2名出黑板报进行宣传，请你用列表法或树状图法求这2名同学选择不同科目的概率．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
22．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”
工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC＝，AC＝3，AB＝4，求△ABC的周长．
24．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？
25．（14分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；
（C）原式，故C不是最简二次根式；
（D）原式＝2，故D不是最简二次根式；
故选：B．
2．解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此选项错误；
B、某种彩票的中奖率为，说明每买1 000张彩票，可能有一张中奖，此选项错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，此选项错误；
D、“概率为1的事件”是必然事件，此选项正确；
故选：D．
3．解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴x2﹣x+＝1+，
∴（x﹣）2＝．
故选：D．
4．解：科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，
科比罚球投篮2次，不一定全部命中，A选项错误、B选项正确；
科比罚球投篮1次，命中的可能性较大、不命中的可能性较小，C、D选项说法正确；
故选：A．
5．解：设平均每月的增长率为x，
400（1+x）2＝633.6．
故选：A．
6．解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．
故选：D．
7．解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC＝，AC＝2，
对应的图形B中的边长分别为1和，
∵＝，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：B．
8．解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
9．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴∠A的正切值为＝＝3，
故选：A．
10．解：A、＝，错误；
B、＝3，错误；
C、＝3，错误；
D、（﹣）2＝3，正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．解：①如图1，
当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5，
∴x•3＝5，
x＝；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，
∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，
x＝5；
③当P在CE上时，
∴（4+3+2﹣x）×3＝5，
x＝＜3+4+2，此时不符合；
故答案为：或5．
13．解：∵tanα＝1：＝，
∴坡角＝30°．
14．解：∵A（m，m），B（2n，n），
而位似中心为原点，相似比为，
∴A′（m， m），B′（n， n）；
点A到原点O的距离＝＝m．
故答案为（m， m），（n， n）； m．
15．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018
故答案为：2018
16．解：①如图1中，
当点E与C重合时，BF﹣DF＝CF＝BD＝＝．
②如图2中，当DF＝DE时，设BF＝x，则DF＝DE＝5﹣x，作EH⊥BD于H，则DH＝（5﹣x），HE＝（5﹣x），
在Rt△EFH中，∵EF2＝HF2+HE2，
∴x2＝[]2+[（5﹣x）]2，
解得x＝10﹣20（负根已经舍弃）．
③如图3中，当EF＝DE时，设BF＝x，则EF＝DE＝x，
∵EF＝ED，EH⊥DF，
∴DH＝HF，DF＝2DH，
∴5﹣x＝2×x，
∴x＝，
故答案为或或．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．解：（1）原式＝5×+×2﹣×+3
＝+﹣+3
＝；
（2）原式＝+1+3﹣1＝4；
（3）原式＝4﹣×2+2
＝4﹣+2
＝4+．
18．解：设m＝x2﹣2x，
于是原方程可变形为m2+m﹣6＝0，
则（m﹣2）（m+3）＝0，
解得：m＝2或m＝﹣3；
当m＝2时，x2﹣2x＝2，即x2﹣2x﹣2＝0，
解得：x＝1±；
当m＝﹣3时，x2﹣2x＝﹣3，即x2﹣2x+3＝0，因为△＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以该方程无解．
∴原方程有四个根：x1＝1+，x2＝1﹣．
19．解：∵x＝﹣1，
∴x2+3x﹣1
＝
＝2﹣2+1+3﹣3﹣1
＝﹣1+．
20．解：（1）∵被调查人数为16÷40%＝40人，
∴C科目的人数为40×5%＝2，
∴B科目的人数为40﹣（16+2+8+2）＝12人，
则x%＝×100%＝30%，
补全图1如图所示：
（2）在图2中，D科目所占扇形圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中2名同学选择不同科目的情况有8种，
所以2名同学选择不同科目的概率为＝．
21．解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
22．解：设2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为20%．
23．解：在Rt△ADC中，tanC＝＝，
设AD＝k，CD＝2k，
AC＝＝k，
∵AC＝3，
∴k＝3，解得k＝3，
∴AD＝3，CD＝6，
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BD+CD＝4+3++6＝10+3+．
24．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF
∴AE≠AM；
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝，
∴BE＝6﹣＝；
∴BE＝1或．
（3）设BE＝x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，
即：，
∴CM＝﹣+x＝﹣（x﹣3）2+，
∴AM＝5﹣CM＝（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，AM最短为．
25．解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
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