河南省周口市沈丘县李老庄乡中学2018年秋季九年级期末数学摸底检测试题
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如果2x＝3y（x，y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．＝3 B．＝ C．＝ D．＝
2．已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m＞0）的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（ ）
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
3．如图，∠1的正切值为（ ）
A． B． C．3 D．2
4．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10cm，且tan∠EFC＝，那么该矩形的周长为（ ）
A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm
5．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．小明从右边的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c＝0，③函数的最小值为﹣3，④当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑤对称轴是直线x＝2．你认为其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC＝2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（A、C除外），作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2＝BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知二次函数y＝mx2+（m2﹣3）x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝ ．
12．如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，则△ADN的最小面积为 ．
13．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．
14．如图，在半圆O中，直径AE＝10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD＝8，则CE长为 ．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C2017．若点P是第2016段抛物线的顶点，则P点的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值•+．（其中x＝1，y＝2）
17．（9分）如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m
处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
18．（9分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；
（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．
21．（9分）重庆市物价局发出通知，从2011年2月18日起降低部分抗生素药品和神经系统类药品最高零售价格，共涉及162个品种，某药房对售出的抗生素药品A、B、C、D、E的销量进行统计，绘制成如下统计图：
（1）补全折线统计图；
（2）计算2月份售出各类抗生素销量的极差为 ；
（3）2月份王老师到药房买了抗生素类药D、E各一盒，若D中有两盒是降价药，E中有一盒是降价药，请用画树状图或列表法求出他买到两盒都是降价药的概率．
22．（10分）重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD＝5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．
（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
23．（12分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、由＝3得，x＝3x﹣3y，2x＝3y，故本选项正确；
B、由＝得，5x＝2（x+y），3x＝2y，故本选项错误；
C、由＝得，3x＝2y，故本选项错误；
D、由＝得，3（x+y）＝5y，3x＝2y，故本选项错误．
故选：A．
2．解：当1＜x＜3时，y1＞y2．
故选：A．
3．解：根据圆周角的性质可得：∠1＝∠2．
∵tan∠2＝，
∴∠1的正切值等于．
故选：A．
4．解：在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE＝∠D＝90°，AD＝AF，
∵∠EFC+∠AFB＝180°﹣90°＝90°，
∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵tan∠EFC＝，
∴设BF＝3x、AB＝4x，
在Rt△ABF中，AF＝＝＝5x，
∴AD＝BC＝5x，
∴CF＝BC﹣BF＝5x﹣3x＝2x，
∵tan∠EFC＝，
∴CE＝CF•tan∠EFC＝2x•＝x，
∴DE＝CD﹣CE＝4x﹣x＝x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
即（5x）2+（x）2＝（10）2，
整理得，x2＝16，
解得x＝4，
∴AB＝4×4＝16cm，AD＝5×4＝20cm，
矩形的周长＝2（16+20）＝72cm．
故选：A．
5．解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
6．解：
当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①不正确，②正确；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故④不正确，③正确；
∴两函数图象可能是②③，
故选：B．
7．解：①由抛物线开口向上，得到a＞0，本选项错误；
②由抛物线过原点，得到c＝0，本选项正确；
③当x＝2时，函数的最小值为﹣3，本选项正确；
④当0＜x1＜x2＜2时，函数为减函数，得到y1＞y2，本选项正确；
⑤对称轴是直线x＝2，本选项正确，
则其中正确的个数为4．
故选：C．
8．解：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，故选项①正确；
∵OC⊥AB，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠DOB＝∠COD＝∠BAC＝45°，
∵∠ADC与∠AOC都对，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∴∠ADC＝∠COD，又∠OCD＝∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴＝，即CD2＝CE•OC，
故选项③正确；
取的中点F，可得＝，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AF＝FC＝CD，即AF+FC＝2CD，
∵AF+FC＞AC，
则2CD＞AC，故选项②错误，
则正确的选项有：①③．
故选：B．
9．解：由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE＝PE，PF＝CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y＝2x，为正比例函数．
故选：A．
10．解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，
再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，
根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，
∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC＝45°，正确；
②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF＝AB，正确；
③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；
④根据BM＝BE，得左边＝4BE2，故需证明AB＝4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；
⑤正确．
所以①②③⑤共4个正确．故选C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，
整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m＝﹣1或m＝3（舍），
故答案为：﹣1．
12．解：设BM＝xcm，则MC＝（1﹣x）cm，
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，∠NMC+∠MNC＝90°，
∴∠AMB＝∠MNC，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABM∽△MCN，则＝，即＝，
解得：CN＝＝x（1﹣x），
∴S△ADN＝S正方形ABCD＝×1×[1﹣x（1﹣x）]＝x2﹣x+，
∵＜0，
∴当x＝cm时，S△ADN最小，最小值是＝（cm2）．
故答案是： cm2．
13．解：∵点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）的纵坐标相等，
∴点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝4．
故答案为：x＝4．
14．解：连接OC，过O点作OF⊥BC，垂足为F，交半圆与点H，
∵OC＝5，BC＝8，
∴根据垂径定理CF＝4，点H为弧BC的中点，且为半圆AE的中点，
∴由勾股定理得OF＝3，且弧AB＝弧CE
∴AB＝CE，
又∵ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD，
∴△CDE为等腰三角形，
在等腰三角形CDE中，DE边上的高CM＝OF＝3，
∵DE＝10﹣8＝2，
∴由勾股定理得，CE2＝OF2+（DE）2，
∴CE＝，
故答案为．
15．解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：（1，1），
第2段抛物线的顶点坐标为：（3，﹣1），
第3段抛物线的顶点坐标为：（5，1）
故第2016段抛物线的顶点为：（4031，﹣1）
故答案为：（4031，﹣1）
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：当x＝1，y＝2时，
原式＝•+
＝+
＝
＝﹣3
17．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
∵y＝﹣0.2x2+3.5，
而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.2．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
18．解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
19．解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵•AD•BD＝•AB•DE，
∴DE＝．
20．解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠OEG＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°，
∴ED＝AD，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BEF＝60°，
∵∠BEF+∠DEG＝90°，
∴∠DEG＝30°，
∵∠ADE+∠A＝90°，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE＝30°，
∴∠DEG＝∠DGE，
∴DG＝DE，
∴DG＝DA；
（3）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴∠EGO＝30°，
∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π．
解得：r2＝4，即r＝2，
即⊙O的半径的长为2．
21．解：（1）2月份销售抗生素的总数是：6÷30%＝20（盒），
则E类的销售盒数是：20×10%＝2（盒），
则A类销售的盒数是：20﹣5﹣6﹣3﹣2＝4（盒），
；
（2）极差是：6﹣2＝4（盒）；
（3）若D中有两盒是降价药都用D表示，另一盒不降价的记作D1，E中有一盒是降价药记作E，另一盒记作E1，
则共有20种情况，他买到两盒都是降价药的有6种情况，则概率是：＝
．
22．解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG＝DF＝5米，
∵AB＝13米，
∴AG＝＝12米，
∴AB的坡度i＝＝1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF＝＝，
在Rt△CEF中，EF＝＝，
∵BE＝4米，
∴BF﹣EF═﹣＝4，
解得：CF＝16．
∴DC＝CF+DF＝16+5＝21米．
23．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，
∴AC＝＝10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，
∴＝，
∴QE＝（10﹣m），
∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；
②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，
∴当m＝5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ＝90°时，F1（，8），
当∠FQD＝90°时，则F2（，4），
当∠DFQ＝90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2＝DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，
解得：n＝6±，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．
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