2018-2019学年广西桂林市灌阳县八年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2+|﹣2|=0 B．20÷3=0 C．42=8 D．2÷3×=2
2．下列各式不是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3
4．下列算式结果为﹣2的是（ ）
A．2﹣1 B．（﹣2）0 C．﹣21 D．（﹣2）2
5．如果分式的值为零，那么x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
6．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
7．解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
8．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
9．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
10．若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．25
11．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为 mm．
14．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是 ．
15．如果分式方程有增根，则增根是 ．
16．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ．
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为 ．
18．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，AC与BD不平行，则AC+BD与AB的大小关系是：AC+BD AB．（填“＞”“＜”或“=”）
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：（x﹣y）5÷（y﹣x）6+（﹣x﹣y）2÷（x+y）3．
20．（6分）（）2÷（﹣）
21．（6分）已知m，n是小于5的正整数，且=a﹣b，求m，n的值．
22．（8分）解方程： +﹣=1．
23．（8分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B=x，∠C=y（x＜y）．请直接写出∠DAE的度数 ．
（用含x，y的代数式表示）
24．（8分）甲、乙两工程队承包一项工程，如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成．
（1）问原来规定修好这条公路需多少长时间？
（2）现要求甲、乙两个工程队都参加这项工程，但由于受到施工场地条件限制，甲、乙两工程队不能同时施工．已知甲工程队每月的施工费用为4万元，乙工程队每月的施工费用为2万元．为了结算方便，要求：甲、乙的施工时间为整数个月，不超过15个月完成．当施工费用最低时，甲、乙各施工了多少个月？
25．（10分）如图，已知AB=CD，AC=DB．求证：∠A=∠D．
26．（12分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为 ．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
2018-2019学年广西桂林市灌阳县八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2+|﹣2|=0 B．20÷3=0 C．42=8 D．2÷3×=2
【分析】根据绝对值的规律，及实数的四则运算、乘法运算．
【解答】解：A、﹣2+|﹣2|=﹣2+2=0，故A正确；
B、20÷3=，故B错误；
C、42=16，故C错误；
D、2÷3×=，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查内容较多，包含绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．及实数的四则运算、乘法运算．
2．下列各式不是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，
故选：C．
【点评】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4．下列算式结果为﹣2的是（ ）
A．2﹣1 B．（﹣2）0 C．﹣21 D．（﹣2）2
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则逐一计算即可得．
【解答】解：A、2﹣1=，此选项不符合题意；
B、（﹣2）0=1，此选项不符合题意；
C、﹣21=﹣2，此选项符合题意；
D、（﹣2）2=4，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂及乘方的运算法则．
5．如果分式的值为零，那么x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得x=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
6．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
7．解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：﹣=3，
去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、=，故A选项错误．
B、是最简分式，不能化简，故B选项，
C、=，能进行化简，故C选项错误．
D、=﹣1，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简分式的概念，解题时要注意对分式进行化简．
9．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
【分析】依据CO=AO，∠AOC=130°，即可得到∠CAO=25°，再根据∠AOB=70°，即可得出∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°．
【解答】解：∵CO=AO，∠AOC=130°，
∴∠CAO=25°，
又∵∠AOB=70°，
∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．
10．若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．25
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于2，而小于12．
则周长L的取值范围是：14＜L＜24．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围．再进一步确定周长的取值范围．
11．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． +4=9 D．
【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时．
【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．
所列方程为： +=9．
故选：A．
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为 2.9×10﹣7 mm．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000029=2.9×10﹣7，
故答案为：2.9×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是 15cm或18cm ．
【分析】等腰三角形两边的长为4m和7m，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是4cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+4+7=15cm；
②当底边是4cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+7+7=18cm．
故答案为：15cm或18cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．
15．如果分式方程有增根，则增根是 x=3 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0即可．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3=0，
解得x=3．即增根为x=3．
【点评】确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，当分母互为相反数时，最简公分母是其中的一个．
16．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= 10° ．
【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=35°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD的周长为 14 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2BE=8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC=22，
∴AB+AC=14，
∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，AC与BD不平行，则AC+BD与AB的大小关系是：AC+BD ＞ AB．（填“＞”“＜”或“=”）
【分析】根据三角形的三边关系，及平移的基本性质可得．
【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，
所以四边形ACEB是平行四边形，BE=AC，
当B、D、E不共线时，
∵AB∥CE，∠DCE=∠AOC=60°，
∵AB=CE，AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=AB，
根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，
即AC+BD＞AB．
当D、B、E共线时，AC+BD=AB，
∵AC和BD不平行，
∴D、B、E不能共线．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了平移的性质，利用了：1、三角形的三边关系；2、平移的基本性质：
①平移不改变图形的形状和大小；
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（8分）计算：（x﹣y）5÷（y﹣x）6+（﹣x﹣y）2÷（x+y）3．
【分析】本题的运算顺序是先把式子中的互为相反数的因式转化为相同的因式，然后先算除法，最后进行分式的减法运算．
【解答】解：原式=（x﹣y）﹣1+（x+y）﹣1
=．
故答案为．
【点评】先把式子中的互为相反数的因式转化为相同的因式是解决本题的一个关键环节．
20．（6分）（）2÷（﹣）
【分析】先计算乘方、除法转化为乘法，再约分计算可得．
【解答】解：原式=••（﹣）
=•（﹣）
=﹣n．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
21．（6分）已知m，n是小于5的正整数，且=a﹣b，求m，n的值．
【分析】分三种情况①当n为偶数时，②当n为奇数时③当a﹣b=﹣1时，分别求解即可．
【解答】解：∵ =a﹣b，
∴①当n为偶数时，可得（a﹣b）m﹣n=a﹣b，即m﹣n=1，
∵m，n是小于5的正整数，
∴m=3，n=2，
②当n为奇数时，可得﹣（a﹣b）m﹣n=a﹣b，解得a=b，
∵分母不能为0，
∴此种情况无解，
③当a﹣b=﹣1时， =﹣1，所以当m=奇数时，n为任意1，2，3，4即可，
所以当a﹣b=﹣1时，m=1，n=1或2或3或4，当a﹣b=﹣1时，m=3，n=1或2或3或4，
综上所述：m=3，n=2．
当a﹣b=﹣1时，m=1，n=1或2或3或4，所以当a﹣b=﹣1时，m=3，n=1或2或3或4，
【点评】本题主要考查了约分，解题的关键是分两种情况当n为偶数时，当n为奇数时，当a﹣b=﹣1时求解．
22．（8分）解方程： +﹣=1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 x﹣2+4x﹣2（x+2）=x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2=0，
解这个方程得x1=1，x2=2，
经检验，x2=2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x=1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．（8分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B=x，∠C=y（x＜y）．请直接写出∠DAE的度数 （y﹣x） ．
（用含x，y的代数式表示）
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．
（2）同（1）即可得出结果．
【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×90°=45°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣45°=15°；
（2）∵∠B=x，∠C=y（x＜y），
∴∠BAC=180°﹣（x+y），
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=90°﹣（x+y），
∵AD是高，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣x，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣x﹣[90°﹣（x+y）]=（y﹣x）；
故答案为：（y﹣x）．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
24．（8分）甲、乙两工程队承包一项工程，如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成．
（1）问原来规定修好这条公路需多少长时间？
（2）现要求甲、乙两个工程队都参加这项工程，但由于受到施工场地条件限制，甲、乙两工程队不能同时施工．已知甲工程队每月的施工费用为4万元，乙工程队每月的施工费用为2万元．为了结算方便，要求：甲、乙的施工时间为整数个月，不超过15个月完成．当施工费用最低时，甲、乙各施工了多少个月？
【分析】（1）设原来规定修好这条公路需x个月，则甲修好这条公路需x个月，乙修好这条公路需（x+6）个月，根据“现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成”列出方程，解方程即可；
（2）设甲工作了a个月，乙工作了b个月完成任务，施工费用为w元．根据题意，列出关系式，求出b=18﹣1.5a，6≤a＜36，再根据a，b均为整数，得出a，b的取值情况，进而得到相应的施工费用，比较即可．
【解答】解：（1）设原来规定修好这条公路需x个月．
根据题意，得4（+）+=1，
解得：x=12．
检验：当x=12时，x（x+6）≠0，
经检验，x=12是原方程的解，且满足题意．
答：规定修好路的时间为12个月；
（2）设甲工作了a个月，乙工作了b个月完成任务，施工费用为w元．
根据题意，得，
由①可得：b=18﹣1.5a ③，
代入②中：0＜18﹣1.5a+a≤15，
∴6≤a＜36，
又∵a，b均为整数，
∴a=6，b=9，W1=4×6+9×2=42（万元），
a=8，b=6，W2=8×4+6×2=44（万元），
a=10，b=3，W3=10×4+3×2=46（万元）．
∵W1＜W2＜W3，
∴工费最低时，甲工作了6个月，乙工作9个月．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（10分）如图，已知AB=CD，AC=DB．求证：∠A=∠D．
【分析】分析题目条件，AB、AC围成△ABC，DC、DB围成△DCB，BC为它们的公共边，容易判断△ABC≌△DCB，从而得出∠A=∠D．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由结论探究所要证明全等的三角形，然后找全等的条件．
26．（12分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为 2+ ．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 BC=CD﹣CE ．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 BC=CE﹣CD ．
【分析】探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；
（2）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
【解答】解：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
应用：在Rt△ABC中，AB=AC=，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC﹣CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE=，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为：2+
拓展：（1）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD﹣BD=CD﹣CE，
故答案为BC=CD﹣CE；
（2）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD﹣CD=CE﹣CD，
故答案为：BC=CE﹣CD．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ABD≌△ACE，是一道中考常考题．
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