广西防城港市2018-2019学年九年级第一学期期末数学模拟
检测试题
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2=1 B．
C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
3．“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（ ）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．确定事件 D．必然事件
4．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
5．下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标为（2，6）
C．抛物线的对称轴是直线x=6
D．抛物线经过点（0，10）
6．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
7．下列命题错误的是（ ）
A．经过平面内三个点有且只有一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接菱形是正方形
8．定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”（如：32，641，8531等）．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（ ）
A．GH B．EF C．CD D．AB
10．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
11．已知⊙O1和⊙O2外切于M，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A，B为切点，若MA=4cm，MB=3cm，则M到AB的距离是（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
12．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．二次函数y=（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 ．
15．将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是 ．
16．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，则∠CAE= 度．
17．某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 ．
18．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
20．（6分）如图，在⊙O中， =，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠COA．
21．（8分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长．
23．（8分）某校教师开展了“练一手好字”的活动，校委会对部分教师练习字帖的情况进行了问卷调查，问卷设置了“柳体”、“颜体”、”欧体“和”其他“类型，每位教师仅能选一项，根据调查的结果绘制了如下统计表：
类别
柳体
颜体
欧体
其他
合计
人数
4
10
6
占的百分比
0.5
0.25
1
根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）这次问卷调查了多少名教师？
（2）请你补全表格．
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位教师选择了“柳体”，现从以上四位教师中任意选出2名教师参加学校的柳体兴趣小组，请你用画树状图或列表的方法，求选出的2人恰好是乙和丙两位教师的概率．
24．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
26．（10分）如图，直线y=kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求k的值和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①若以O，B，N，P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值．
②连接BN，当∠PBN=45°时，求m的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选此选项错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选此选项正确；
故选：D．
2．解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
C、是一元二次方程，故本选项正确；
D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
3．解：“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，
故选：B．
4．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
5．解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
6．解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
7．A、当三点在一直线上时，三点不共圆；故本项错误，符合题意；
B、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点；它到三角形三个顶点的距离都相等；故本选项正确，不符合题意；
C、因为在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立；故本选项正确，不符合题意；
D、因为在菱形中只有正方形外接圆；故本项正确，不符合题意；
故选：A．
8．解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个，
概率为=．
故选：A．
9．解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH，
故选：A．
10．解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
11．解：如图，
∵AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，∴∠O1AB=∠O2BA=90°，
∵O1A=O1M，O2B=O2M，∴∠O1AM=∠O1MA，∠O2BM=∠O2MB，
∴∠BAM+∠AMO1=90°，∠ABM+∠BMO2=90°，
∴∠AMB=∠BMO2+∠AMO1=90°，
∴AM⊥BM，
∵MA=4cm，MB=3cm，
∴由勾股定理得，AB=5cm，
由三角形的面积公式，M到AB的距离是=cm，
故选：B．
12．解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：
∵y=（x﹣2m）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2m，
∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，
∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，
∴m+1≤2m，解得m≥1，
故答案为：m≥1．
14．解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴=，
解得：x=4．
故答案为：4．
15．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是y=2x2+3．
故答案为：y=2x2+3．
16．解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，
∴AB=AD，∠BAD等于旋转角，
∴∠B=∠ADB=40°，
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=100°．
故答案为100．
17．解：设每个玩具应降价x元．则此时每天出售的数量为：（50+5x）个，每个的盈利为：（36﹣x）元，
根据题意得（36﹣x）（50+5x）=2400，
故答案为（36﹣x）（50+5x）=2400．
18．解：（1）∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=，
∴AB=BC=1；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=．
故答案为：1，．
三．解答题
19．解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
20．证明：∵=
∴AB=AC，△ABC为等腰三角形
（相等的弧所对的弦相等）
∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA
（相等的弦所对的圆心角相等）
21．解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
22．解：（1）△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1如图所示：
点C1的坐标为（1，﹣3）．
（2）△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2如图所示：
∵OA==，
∴点A经过的路径长为=π．
23．解：（1）这次调查问卷中被调查的总人数为10÷0.25=40人；
（2）柳体的人数为40×0.5=20人，颜体所占的百分比为4÷40=0.1，其他所占百分比为6÷40=0.15，
补全表格如下：
类别
柳体
颜体
欧体
其他
合计
人数
20
4
10
6
40
占的百分比
0.5
0.1
0.25
0.15
1
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）==．
24．解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得：，
解得：，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1，
∵y=﹣（x﹣4）2+，
∴飞行的最高高度为：米．
25．（1）证明：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；
（2）∵AB=OC=4，OB=OD，
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，
∴∠DOC=∠COA=60°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD为等边三角形，
图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积=．
26．解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2，
∴B（0，2），
把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，
则，解得：，
二次函数的表达式为：y=﹣；
（2）①设M（m，0），
则P（m，﹣m+2），N（m，﹣）
有两种情况：
①当N在P的上方时，如图1，
∴PN=yN﹣yP=（﹣）﹣（﹣m+2）=﹣+4m，
由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2，
∴+4m=2，解得：m=或；
②当N在P的下方时，
同理可得：PN=（﹣m+2）﹣（﹣）=﹣4m=2，
解得：m=；
综上，m=或；
②有两解，N点在AB的上方或下方，
如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G，
过点G作BA的垂线，垂足为点H．
由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，
∴GH=BH，
设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，
由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，
∴AG=×=，
从而OG=OA﹣AG=3﹣=，即G（，0）…………（7分）
由B（0，2），G（，0）得：
直线BG：y=﹣5x+2，直线BN：y=0.2x+2．
则，解得：x1=0（舍），x2=，即m=；
则，解得：x1=0（舍），x2=；即m=；
故m= 与m=为所求．…………（9分）
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