河南省南阳市淅川县2018-2019学年九年级上学期期末
数学模拟试卷
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1．一元二次方程x2﹣10x+21＝0可以转化的两个一元一次方程正确的是（ ）
A．x﹣3＝0，x+7＝0 B．x+3＝0，x+7＝0
C．x﹣3＝0，x﹣7＝0 D．x+3＝0，x﹣7＝0
2．8﹣+4＝（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．如图，l1∥l2∥l3，BC＝1，＝，则AB长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．关于x的方程（a﹣6）x2﹣2x+6＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数一定是5次
B．“5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天时间都在降雨
D．“路过十字路口时刚好是红灯”是确定事件
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
8．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，……，则第2018秒点P所在位置的坐标为（ ）
A．（，） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，﹣）
二．填空题（满分15分，每小题3分）
11．若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，2017年12月11日，兴义市新电学校举行中华传统文化知识大赛活动该学校从三名男生和两名女生中选出两名同学担任本次活动的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是
13．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则蔬菜大棚的高度CD＝ m．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝2，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是 ．
15．将矩形ABCD纸片按如图所示方式折叠，M、N分别为AB，CD的中点，若AB＝20cm，AB＜BC，则折痕AE长为 cm．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算： +（）﹣3﹣（3）0﹣4cos30°+．
17．（8分）已知：二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．
（1）求a的值；
（2）求二次函数与x轴交点坐标；
（3）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
18．（9分）如图，在教学楼距地面8米高的窗口中C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放40秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？
（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（9分）关于x的方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于﹣1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20．（10分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天内日销量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，其图象如图所示：
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间：（第x天）
1≤x＜50
50≤x＜90
销售价格（元/件）
x+50
90
（1）求m关于x的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于4800元，请直接写出结果．
21．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与
OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
22．（10分）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．
（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．
23．（11分）如图，二次函数y＝0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
（3）若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵（x﹣3）（x﹣7）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣7＝0，
故选：C．
2．解：原式＝8×﹣×3+4×
＝4﹣+
＝，
故选：D．
3．解：∵l1∥l2∥l3，BC＝1，＝，
∴＝＝，
∴AB＝，
故选：C．
4．解：当a﹣6＝0，即a＝6时，原方程为﹣2x+6，
解得：x＝3，
∴a＝6符合题意；
当a﹣6≠0，即a≠6时，原方程为一元二次方程，
∵△＝（﹣2）2﹣4×6×（a﹣6）≥0，
∴a≤且a≠6．
综上所述，a≤．
又∵a为整数，
∴a的最大值为6．
故选：B．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴tanB＝＝，
故选：D．
6．解：A、投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数不一定是5次，故此选项错误；
B、5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件，正确；
C、“明天降雨的概率为”，表示明天降雨的可能性是50%，故此选项错误；
D、路过十字路口时刚好是红灯”是随机事件，故此选项错误．
故选：B．
7．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（﹣9，3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
8．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，
故选：B．
9．解：①由图象可知：＞0，
∴ab＜0，故①正确；
②由抛物线与x轴的图象可知：
△＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③由图象可知：x＝1，y＜0，
∴a+b+c＜0，故③正确；
④∵＝1，
∴b＝﹣2a，
令x＝﹣1，y＞0，
∴2a+b+c＝c＜0，故④错误
故选：C．
10．解：作PE⊥OA于E，
∵OP＝1，∠POE＝45°，
∴OE＝PE＝，即点P的坐标为（，），
则第2秒P点为（0，1），
根据题意可知，第3秒P点为（﹣，），第4秒P点为（﹣1，0），第5秒P点为（﹣，﹣），第6秒P点为（0，﹣1），
第7秒P点为（，﹣），第8秒P点为（1，0），
2018÷8＝252……2，
∴第2018秒点P所在位置的坐标为（0，1），
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．解：画树状图如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
则恰好抽中一男一女的概率是＝，
故答案为：．
13．解：∵CD是中间柱，
即＝，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8（m），
∵半径OA＝10m，
在Rt△AOD中，OD＝＝6（m），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为：4
14．解：连接BE，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝2，
∴AB＝2，∠BAE＝60°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴图中阴影部分面积是：﹣＝π﹣，
故答案为：π﹣．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，
∵M、N分别为AB，CD的中点，
∴AM＝MB，DN＝NC，
∴AM＝DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠AMN＝90°，
∵AB′＝AB＝2AM，
∴∠AB′M＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∵∠BAE＝∠EAB′，
∴∠BAE＝30°，
∴AE＝AB÷cos30°＝．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：原式＝3+8﹣1﹣4×+2
＝10﹣2+2
＝10．
17．解：（1）把（0，0）代入y＝ax2﹣3x+a2﹣1得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，
因为抛物线开口向上，
所以a＝1；
（2）抛物线解析式为y＝x2﹣3x，
当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（3，0）；
（3）y＝x2﹣3x＝x2﹣3x+（）2﹣（）2＝（x﹣）2﹣，
所以这个二次函数图象的顶点坐标为（，﹣）．
18．解：在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝8米．
在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°，则AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米）．
所以，AB＝AD+BD＝14米，
整个过程中旗子上升高度是：14﹣2＝12（米），
因为耗时40s，
所以上升速度v＝12÷40＝0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
19．解：（1）∵方程有2个不相等的实数根，
∴△＞0，即16m2﹣4×（2m+1）（2m﹣3）＞0，
解得：m＞﹣，
又2m+1≠0，
∴m≠﹣，
∴m＞﹣且m≠﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣、x1x2＝，
∴+＝﹣，
由+＝﹣1可得﹣＝﹣1，
解得：m＝﹣，
∵﹣＜﹣，
∴不存在．
20．解：（1）∵m与x成一次函数，
∴设m＝kx+b，将x＝1，m＝198，x＝3，m＝194代入，得：，
解得：．
所以m关于x的一次函数表达式为m＝﹣2x+200；
（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：
y＝，
当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，
∵﹣2＜0，
∴当x＝45时，y有最大值，最大值是6050；
当50≤x≤90时，y＝﹣100x+10000，
∵﹣100＜0，
∴y随x增大而减小，即当x＝50时，y的值最大，最大值是5000；
综上所述，当x＝45时，y的值最大，最大值是6050，
即在90天内该产品第45天的销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当1≤x＜50时，由y≥4800可得﹣2x2+180x+2000≥4800，
解得：20≤x≤70，
∵1≤x＜50，
∴20≤x＜50；
当50≤x≤90时，由y≥4800可得﹣100x+10000≥4800，
解得：x≤52，
∵50≤x≤90，
∴50≤x≤52，
综上，20≤x≤52，
故在该产品销售的过程中，共有33天销售利润不低于4800元．
21．解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
22．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，
∵△DBC为等边三角形，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，
∵∠BAC＝120°
∴∠BAC+BDC＝180°，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠BAP＝∠DCB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠ABP＝60°，BP＝BA，
∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，
∴△DBP≌△CBA（SAS），
∴PD＝AC，
∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．
（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．
证明：连结ME、NF，如图，
由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，
∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，
∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，
此时点E、F为直线MN与两圆的交点．
23．解：（1）∵二次函数y＝0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点
∴
解得：b＝﹣，c＝1
∴抛物线解析式y＝x2﹣x+1
（2）设点P坐标为（x，0）
∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3）
∴PB＝＝
CP＝＝
BC＝＝2
若∠BCP＝90°，则BP2＝BC2+CP2．
∴x2+1＝20+x2﹣8x+25
∴x＝
若∠CBP＝90°，则CP2＝BC2+BP2．
∴x2+1+20＝x2﹣8x+25
∴x＝
若∠BPC＝90°，则BC2＝BP2+CP2．
∴x2+1+x2﹣8x+25＝20
∴x1＝1，x2＝3
综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）
（3）存在
∵抛物线解析式y＝x2﹣x+1与x轴交于点D，点E
∴0＝x2﹣x+1
∴x1＝1，x2＝2
∴点D（1，0）
∵点B（0，1），C（4，3）
∴直线BC解析式y＝x+1
当y＝0时，x＝﹣2
∴点A（﹣2，0）
∵点A（﹣2，0），点B（0，1），点D（1，0）
∴AD＝3，AB＝
设经过t秒
∴AP＝2t，AQ＝at
若△APQ∽△ADB
∴
即
∴a＝
若△APQ∽△ABD
∴
即
∴a＝
综上所述：a＝或
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