【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如果关于 x 的方程 x2-2x-k=0 没有实数根，那么 k 的最大整数值是（ ）
A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
【答案】B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由题可得：
Δ=b2-4ac=4-(-4k)=4+4k ＜0，
解得k＜-1，
∴k的最大整数是-2。【分析】根据根与系数的关系，首先算出根的判别式的值，然后由此方程没有实数根知∆＜0，从而得出关于k的不等式，求解得出k的取值范围，再在取值范围内找出最大整数即可。
2.用配方法将 y=x2-8x+12 化成 y=a(x-h)2+k 的形式为（ ）
A. y=(x-4)2+4 B. y=(x-4)2-4 C. y=(x-8)2+4 D. y=(x-8)2-4
【答案】B
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 y=x2-8x+12=x2-8x+16-4=(x-4)2-4.
故答案为：B.
【分析】用完全平方公式配方即可。
3.方程 (x-1)2=x-1 的根为（ ）．
A. x=2 B. x=3 C. x=0 或 x=1 D. x=1 或 x=2
【答案】D
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵原方程可化为： (x-1)(x-1-1)=0 ，
∴ x-1=0 或 x-1-1=0 ，
∴ x=1 或 x=2 .
故答案为：D.
【分析】用因式分解法解即可求解。即 ( x − 1 ) ( x − 1 − 1 ) = 0 ，所以x − 1 = 0 或 x − 1 − 1 = 0 ，解得x = 1 或 x = 2 .
4.下列一元二次方程中两根之和为2的是
A. x2+2x=3 B. x2+2x=-3 C. x2-2x+3=0 D. x2-2x-3=0
【答案】D
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【解析】【分析】选项B.C的△=b2-4ac均小于零，方程无解；答案A两根之和为-2，故答案为D.
5.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）.
A. -1 B. 1 C. -4 D. 4
【答案】B
【考点】根的判别式
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【解析】【解答】∵一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42-4×4c=0，
∴c=1，
选B．
【分析】根据判别式的意义得到△=42-4×4c=0，然后解一次方程
6.一元二次方程x(x－1)＝0的解是( )
A. x＝0 B. x＝1 C. x＝0或x＝1 D. x＝0或x＝－1
【答案】C
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】x（x-1)=0，
x=0或 x-1=0，
x1=0或 x2=1．
故答案为：C．
7.已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（ ）
A. 1 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1
【答案】D
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，所以当a﹣b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根是﹣1．故答案为：D．【分析】把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，反之当a﹣b+c=0，且a≠0时，此一元二次方程一定有一个根式-1.
8.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）.
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
【答案】C
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，
∴x1x2 =-2，
∴1×x2=-2，
则方程的另一个根是：-2，故选C．
【分析】根据根与系数的关系得出x1x2= =-2，即可得出另一根的值．
9.（2017•兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
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A. （80﹣x）（70﹣x）=3000 B. 80×70﹣4x2=3000
C. （80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D. 80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
10.已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，即可得出答案．
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二、填空题（共10题；共30分）
11.方程 2x2-8=0 的解是________；
【答案】x= ±2
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 2x2-8=0
x2=4
x= ±2
【分析】用直接开平方法可求解。
12.关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0有两个相等的实根，则k=________．
【答案】±22
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a=2，b=k，c=1，方程有两个相等的实数根，∴△= b2-4ac = k2-8 =0，∴k= ±22 ．故答案为 ±22 ．【分析】一元二次方程有两个相等的实数根即△=0，代入即可求出k值。
13.设x1 ， x2是方程x2﹣x﹣2016=0的两实数根，则x13+2017x2﹣2016=________．
【答案】2017
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1是方程x2﹣x﹣2016=0的两实数根， ∴x12=x1+2016，
∴x13=x12+2016x1=x1+2016+2016x1=2017x1+2016，
∴原式=2017x1+2016+2017x2﹣2016=2017（x1+x2），
∵x1 ， x2是方程x2﹣x﹣2016=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴原式=2017．
故答案为：2017．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2016，再计算x13=x12+2016x1=2017x1+2016，则原式可化简为2017（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解．
14.已知x=2是方程 32x2 ﹣2a=0的一个根，则2a+1=________．
【答案】7
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：把x=2代入 32x2 ﹣2a=0得6﹣2a=0， 解得2a=6，
2a+1=6+1=7．
故答案为7．
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=2代入 32x2 ﹣2a=0得到关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
15.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则 αβ + βα 的值为________．
【答案】3
【考点】根与系数的关系
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【解析】【解答】解：∵方程x2+3x+1=0的两个根为α、β， ∴α+β=﹣3，α•β=1，
∴ αβ + βα = αβ+βα+2αβ⋅βα = α2+β2α⋅β+2 = α2+β2+2α⋅βα⋅β = (α+β)2α⋅β = (-3)21 =3．
故答案为：3．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣3、α•β=1，将 αβ + βα 转化为 (α+β)2α⋅β 代入数据即可得出结论．
16.己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）=________．
【答案】14
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得
m2﹣2m﹣7=0，
则m2﹣2m=7，
所以2（m2﹣2m）=2×7=14．
故答案是：14
【分析】将x=m代入方程可得出m2﹣2m=7，再将代数式转化为2（m2﹣2m），然后整体代入可解答。
17.关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是________．
【答案】1
【考点】根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
18.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=________
【答案】 2015
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
19.方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为________．
【答案】6-2 5
【考点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 5 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 5 ，
∴7+（-1-2 5 ）=6-2 5 ．
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故答案为：6-2 5
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式x=-b±b2-4ac2a即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式x=-b±b2-4ac2a即可求解。
20.小华在解一元二次方程 时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是x＝________．
【答案】0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【解答】在 方程中，∴ ，∴ ，∴被他漏掉的一个根是x＝0．
【分析】可以利用提公因式的方法进行因式分解．
三、解答题（共7题；共60分）
21.解下列方程
（1）2x2-x=0
（2）x2-4x=4
【答案】（1）解：2x2-x=0，
2x(x-1)=0，
2x=0或x-1=0，
则x1=0,x2=1.
（2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4，
（x-2）2=8,
x-2=±2 2 ，
则x1=2+2 2 ,x2=2-2 2 .
【考点】解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣因式分解法
【解析】【分析】(1)考查运用解一元二次方程-因式分解法；（2）考查运用解一元二次方程-配方法。选择合适的解答方法，使解答更简便。
22.已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围
【答案】解：（1）设方程另一个根为t，
则2+t=﹣3，2t=m﹣2，
所以t=﹣5，m=﹣8，
即m的值为﹣8，方程的另一个根为﹣5；
（2）7﹣x≥1﹣8（x﹣3），
7﹣x≥1﹣8x+24，
8x﹣x≥1+24﹣7，
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7x≥18，
所以x≥187 ．
【考点】一元二次方程的解，解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣3，2t=m﹣2，先求出t，然后计算m的值；
（2）把m=﹣8代入7﹣x≥1+m（x﹣3）得到7﹣x≥1﹣8（x﹣3），然后解一元一次不等式即可．
23.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m．鸡场的面积能达到150m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的边长为（35﹣2x）m， 可列方程为x（35﹣2x）=150，
即2x2﹣35x+150=0，
解得x1=10，x2=7.5，
当x=10时，35﹣2x=15，
当x=7.5时，35﹣2x=20＞18（舍去）．
答：鸡场的面积能达到150m2 ， 方案是与墙垂直的一边长为10m，与墙平行的边长为15m
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】可设垂直于墙的一边长x米，得到平行于墙的一边的长，根据面积为150列式求得平行于墙的一边的长小于18的值即可．
24.雅安地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
（1）如果第二天，第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的平均增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少元的捐款？
【答案】（1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，由题意，得
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．
∴x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
(2)第4天收到的捐款数为：12100×（1+10%）=13310（元）.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】(1)设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为12100元建立方程求出其解即可．
(2)第4天收到的捐款应等于第3天的捐款数×（1+10%）即得答案.
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25.已知关于的方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+cx+d=0都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且ab=cd,则称它们互为“同根轮换方程”．如x2-x-6=0与x2-2x-3=0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于(x的方程x2+4x+m=0与x2-6x+n=0互为“同根轮换方程”,求m的值；
（2）若p是关于x的方程x2+ax+b=0(b≠0)的实数根,q是关于x的方程x2+2ax+12b=0的实数根,当p,q分别取何值时,方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+12b=0互为“同根轮换方程”,请说明理由．
【答案】解：（1）∵方程x2＋4x＋m＝0与x2－6x＋n＝0互为“同根轮换方程”,
∴4m＝－6n．
设t是公共根,则有t2＋4t＋m＝0,t2－6t＋n＝0．
解得,t＝m-n10．
∵4m＝－6n．
∴t＝-m6．
∴(-m6)2＋4(-m6)＋m＝0．
∴m＝－12．
（2）若方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）与x2+2ax+12b=0有公共根．
则由x2＋ax＋b＝0,x2+2ax+12b=0解得x＝b2a．
∴b24a2+b2+b=0．
∴b＝－6a2 ．
当b＝－6a2时,有x2＋ax－6a2＝0,x2＋2ax－3a2＝0．
解得,x1＝－3a,x2＝2a；x3＝－3a,x4＝a．
若p＝q＝－3a,
∵b≠0,∴－6a2≠0,∴a≠0．
∴2a≠a．即x2≠x4 ．
∵2a×12b＝ab,
∴方程x2＋ax＋b＝0（b≠0）与x2+2ax+12b=0＝0互为“同根轮换方程” ．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】(1)根据同根方程条件：两个方程有且只有一个公共根,且ab=cd,先求出公共根,进而求出的值；
（2）仿照（1）的过程求出p,q的取值,只要得到p＝q,2a×12 b＝ab,即可判断方程x2+ax+b=0(b≠0)与x2+2ax+12b=0互为“同根轮换方程”.
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26.如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540m2 ， 求道路的宽．
【答案】解：设道路的宽为xm，
根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，
∴x2－52x＋100＝0，
∴x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去)
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设道路的宽为xm，根据题意可知，余下部分拼接在一起依然是一个矩形，这时矩形的长为(32－x），矩形的宽为(20－x)，因为草坪的面积为540，所以可列方程为，(20－x)(32－x)＝540，解得x1＝2，x2＝50>20（不合题意，舍去)。
27.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 x2-5x+2=0 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 x2-5x+2=0 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 m1 ， n1 ， m2 ， n2 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ m1 ， n1 ），Q（ m2 ， n2 ）就是符合要求的一对固定点？
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【答案】（1）解：如图2所示：
（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴AOCD=OCBD.
∴15-m=m2.
∴m（5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+bax+ca=0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-ba，ca）或A（0，1a），B（-ba，c）等.
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得.n1x-m1=m2-xn2.
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又ax2+bx+c=0,
即x2+bax+ca=0.
比较系数可得：m1+m2=-ba.
m1m2+n1n2=ca.
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【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.
（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。
（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+bax+ca=0.模仿研究小组作法即可得答案。
（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.n1x-m1=m2-xn2.化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+bax+ca=0.再依据相对应的系数相等即可求出。
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