哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试
高二理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.命题“任意实数,都有”的否定是（ ）
A．对任意实数,都有 B．不存在实数,使
C．对任意非实数,都有 D．存在实数,使
2.已知复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题:
①若，则； ②若，，则；
③若，则； ④若，则；
则真命题为（ ）
A.①② B.③④ C.② D.②④
4.若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
5.已知复数，若复数对应的点在复平面内位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.哈尔滨市冰雪节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（ ）种.
A．90 B．60 C．150 D．125
7．如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B．
C． D．
8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A. B. C. D.
9.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃。
A．甲 B．乙 C．丙 D.丁
10.已知甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待.已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ）
A. B. C. D.
11.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门已知每名同学踢进的概率为，每名同学有2次射门机会，且每次射门
和同学之间都没有影响.现规定：踢进两个10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（ ）
A.30 B.40 C.60 D.80
12.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命。据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ）
A． B． C． D．不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．已知随机变量服从正态分布,且，则
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.用频率分布直方图估计的小学生的身高的平均值为
16.已知一个圆柱内接于半径为4的球，点为圆柱上底面圆周上一动点，是圆柱下底面圆的内接三角形，，则三棱锥体积的最大值为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为，，的中点．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号
1
2
3
4
5
6
数学
89
87
79
81
78
90
物理
79
75
77
73
72
74
（Ⅰ）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程.
参考数据和公式：，其中，.
19.（本小题满分12分）在某单位的职工食堂中，食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包，然后以元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了80个面包，以（单位：个，）表示面包的需求量，（单位：元）表示利润．
需求量/个
0.015
0.025
0.020
60 70 80 90 100 110
0
频率/组距
（Ⅰ）求关于的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求的分布列和数学期望．
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若是的中点，，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或满9局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲胜2局，乙胜1局.
（Ⅰ） 求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望.
22．（本小题满分12分）设分别是椭圆:的左、右焦点，过作斜率为1的直线与椭圆相交于两点，且椭圆上存在点,使(为坐标原点).
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ），求椭圆的方程.
高二理科数学答案：
1-6 DBCCBA 7-12 ABDADA 13. 0.2 14. 15. 124.5 16.
17.（Ⅱ）以点A为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，平面的法向量，设与平面所成的角为，所以
18.（Ⅰ）的分布列为
0
1
2
（Ⅱ），回归方程为
19.（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）的分布列为
100
140
160
0.25
0.15
0.6
20.（Ⅱ）过点做平面，以点为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，，平面的法向量，因为，所以（舍）或，设二面角的平面角为，平面的法向量，平面的法向量，所以
21.（Ⅰ）；
（Ⅱ）的分布列为
2
4
6
22.（Ⅰ）直线的方程为，设
恒成立 所以
代入椭圆方程得，
（Ⅱ）设，因为
所以，所以，所以椭圆方程为
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