吉林省实验中学2018———2019学年度上学期
高二年级数学学科期末考试试题（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．p：至少有1个白球；q：都是白球
B．p：至少有1个白球；q：至少有1个红球
C．p：恰有1个白球；q：恰有2个白球
D．p：至少有1个白球；q：都是红球
2、对命题“”的否定，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m的值为 （ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
4、在区间［－1，1］上随机取一个数x，则的概率为 （ ）
A． B． C． D．
5、从2018名学生中选取50名学生参加某一活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2018人中，每个人入选的概率 （ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
6、为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组
成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 （ ）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
7、方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
8、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
9、设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率分别为，则的值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
10、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 （ ）
A． B． C． D．
11、若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
12、已知椭圆的离心率为，短轴长为2，过右焦点且斜
率为的直线与椭圆相交于两点．若，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13、二项式的展开式中，的系数为_______________．
14、右面的茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英
语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的平均
数为17，乙组数据的中位数为17，则 ．
O
B
C
A
N
M
15、如图所示，空间四边形OABC中，点M为OA的中
点，N为AC的中点．设＝a，＝b，＝c，若以
向量a、b、c为一组基底，则 ．
16、已知椭圆与双曲线有相
同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，
则的最小值为 ．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求初赛分数在区间内的频率；
（Ⅱ）求获得复赛资格的人数；
（Ⅲ）据此直方图估算学生初赛成绩的平均数．
18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
A
B
C
D
P
M
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，BD＝，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有8人
8
8
4
2
1
1
选考方案待确定的有6人
4
3
0
1
0
0
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
1
0
0
1
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量，求．
20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．
A
B
C
D
P
E
F
21．（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦MN的长为4．
（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（II）过点的直线与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E（,0），求的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．
（I）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（II）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出的方程；若不能，说明理由．
吉林省实验中学2018-2019届高二数学上学期期末答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
A
C
C
B
B
A
C
D
B
二、填空题
13． 112 14． 10
15． 16．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）由题意知之间的频率为：
；
（2），获得复赛资格的人数为人．
A
B
C
D
P
M
O
z
x
（3）
所以学生初赛成绩的平均数约为97分．
18．（本小题满分12分）
解：（1）设AC、BD交于点O，连接OM．
因为四边形ABCD为矩形，所以点O是AC的中点，
因为M为PA的中点，所以，
y
．
（2）如图建立空间直角坐标系，由题意可得，，
，则．
设平面PAC的法向量为，则，令，则，即，则，所以直线BM与平面PAC
所成角的正弦值为．
19．（本小题满分12分）
解：由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人．该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．
⑵由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为，所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．
⑶由数据可选，选考方案确定的男生 中有4人选择物理，化学和生物；有2人选择物理，化学和历史，有1人选择物理化学和地理；有1人选择物理，化学和政治．
．
20、（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以 AE⊥PD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），E（2，0，0），F（），
所以=（2，0，0），＝（）
设平面AEF的法向量为=（），
则，因此
取，则=（0，2，—1），
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的法向量．又=（—2，6，0），所以cos＜，＞=．
因为二面角E—AF—C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
21、（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=2，
∴|CP|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴即，化简得．
（2）设直线的方程为中点，则由得，
所以，
则线段AB的中垂线的方程为，则，
所以的取值范围是．
22、解：⑴设直线()，，，，
将代入中，得，
故，，
于是直线OM的斜率，即，所以命题得证．
⑵四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线过点，所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是且．
由⑴得OM的方程为．设点P的横坐标为．
由，得，即．
将点的坐标代入直线的方程得，因此，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．
于是，
解得，．所以当四边形OAPB为平行四边形时，l的方程为或．
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