文科数学评分标准.pdf

湖北省２０１９年元月高考模拟调研考试文科数学 评分标准 一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A D C A A B A B A C 二、填空题： 13: 5 ;14 : 15 15: （x-1）2+(y－1)2=1 或(x+3)2+(y－5)2=25 ( 222 2 1 0    x y x y 或 226 10 9 0    x y x y )说明：求出一个正确方程给 3 分， 两个正确方程给 5 分 16: 23 3 三、解答题： 17 解：(1)对于数列{an}， 4 2 9 11 11 1 1 1 () 2( ) 5n n n a q a q a q a q a q    (a1q≠0，n∈N*) 即 1 1 2 2 aq q   或 ………………………………………………………………………………2 分 又∵{an｝为递增数列 则 1 2 2 a q    ∴an=2×2n－1=2n…………………………………………………………………………4 分 对于数列{bn}，由 b1＝ 1 2 a1=1，bn＋1－bn＝a1=2 为定值知 数列{bn}是以１为首项，以２为公差的等差数列………………………………………5 分 ∴bn=1+(n－1)×2=2n－1 ∴an=2n，bn=2n－1…………………………………………………………………………6 分 (2)由(1)得 Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n－1)×2n ∴2Tn= 1×22+3×23+…+(2n－3)×2n+(2n－1)×2n+1 ∴Tn=－1×2－2×22－2×23－…－2×2n+(2n－1)×2n+1 …………………………………不论对错，会用错位相减法就给 3 分………………………9 分 =－2－ 312 (1 2 ) 12 n  +(2n－1)×2n+1 =(2n－3)×2n+1+6…………………………………………………………………………12 分 18 解：(1)∵在底面ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ⊥ＣＤ 且ＢＣ＝２ＡＤ＝２ＣＤ＝２ 2 ∴ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝２ 2 ∴ＡＢ⊥ＡＣ……………………………………………………………………………1 分 又∵ＡＢ⊥ＰＣ，ＡＣ∩ＰＣ＝Ｃ，ＡＣ 平面ＰＡＣ，ＰＣ 平面ＰＡＣ ∴ＡＢ⊥平面ＰＡＣ……………………………………………………………………3 分 又∵ＰＡ 平面ＰＡＣ ∴ＡＢ⊥ＰＡ ∵ＰＡ＝ＡＣ＝２，ＰＣ＝２ ∴ＰＡ⊥ＡＣ……………………………………………………………………………4 分 又∵ＰＡ⊥ＡＢ，ＡＢ∩ＡＣ＝Ａ，ＡＢ 平面ＡＢＣＤ，AＣ 平面ＡＢＣＤ ∴PA⊥平面ＡＢＣＤ……………………………………………………………………5 分 (2)方法一:在线段ＡD 上取点Ｎ，使ＡＮ＝２ＮＤ 则ＭＮ∥ＰＡ 又由(１)得 PA⊥平面ＡＢＣＤ ＭＮ⊥ 平 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ………………………………………………7 分 又∵ＡＣ 平面 ABCD ∴ＭＮ⊥ＡＣ 作ＮＯ⊥ＡＣ于Ｏ 又∵ＭＮ∩ＮＯ＝Ｎ，ＭＮ 平面ＭＮＯ，ＮＯ 平面Ｍ ＮＯ ∴AC⊥平面ＭＮＯ 又∵ＭＯ 平面ＭＮＯ ∴AC⊥ＭＯ………………………………………………………………………………9 分 设点 D 到平面 MAC 的距离为 x 则由 VD—MAC=ＶM—ＡＣＤ得 1 3 ×Ｓ△MAC×x= ×Ｓ△ACD×MN…………………………10 分 ∴点 D 到平面 MAC 的距离 x= ACD MAC S MN S    = 1 2 1 2 AD CD MN AC MO     = AD CD MN AC MO   = 22 2223 222 ( ) ( )33   = 2 2 …………………………………………………………………12 分 方法二:由(1)知 PA⊥平面ＡＢＣＤ，∴平面 PAD⊥平面ＡＢＣＤ平面 PAD∩平面ＡＢＣＤ=AD ∵ＣD⊥AD，平面 PAD∩平面ＡＢＣＤ=AD∴ＣD⊥平面 PAD ∴平面 PCD⊥平面 PAD① ………………………………4 分 又∵PA⊥平面ＡＢＣＤ，ＡD 平面 ABCD∴PA⊥ＡD ＰＡ＝２，ＡＤ＝ ，∴PD= 6 ,∴PM= 26 3 ∴ PA PM PD PA ∴RT⊿PAM∽RT⊿PDA∴AM⊥PD② 平面 PCD∩平面 PAD=PD③ 由①②③得 AM⊥平面 PＣＤ,∴平面 AMC⊥平面 PCD ………………………………8 分 又∵平面 AMC∩平面 PＣＤ=MC∴过 D 作 DE⊥MC 交 MC 于点 E∴DE⊥平面 AMC 即 DE 的长就是点 D 到平面 MAC 的距离。 在 RT⊿MDC 中，DC= 2 ,MD= 6 3 ∴DE= 22   MD DC MD DC = 2 2 ………………12 分 19 解：由频率分布直方图得收入区间与频率对应如下表 收入区间 [9,10﹚ [10,11﹚ [11,12﹚ [12,13﹚ [13,14﹚ 频率 0.10 0.15 0.40 0.25 0.10 (1)根据统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表。所以样本平均数 x 9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6(万元) …………………2 分 由频率分布直方图的抽样得：年收入不低于平均数的频率是 0.51.以此估计该企业全体员工 中 年 收 入 不 低 于 平 均 数 的 频 率 是 0.51 。 该 企 业 不 低 于 年 均 收 入 的 人 数约是 10000 0.51 =5100 人 …………………4 分 （2）由上面收入区间与频率分布对应表的可求得：若在[9,10﹚有 2 人(分别记这 2 人为甲、 乙)，那么在[10,11﹚就有 3 人(分别记这 3 人为 a、b、c)，所以在[10,11﹚有 5 人。………6 分 [9,10﹚甲 [9,10﹚乙 [10,11﹚a [10,11﹚b [10,11﹚c 1 √ √ √ 2 √ √ √ 3 √ √ √ 4 √ √ √ 5 √ √ √ 6 √ √ √ 7 √ √ √ 8 √ √ √ 9 √ √ √ 10 √ √ √ 由表知,从收入在[10,11﹚的 5 人中任意抽取 3 人共有 10 种抽法,其中恰有 2 位员工收入 在[10,11﹚抽法共有 6 种 ∴所求概率 P= 6 10 = 3 5 …………………8 分 （3）样本容量为 400 人时，由收入区间与频率对应表知：在收入在[9,10﹚和[13,14﹚内都 有 40 人.由已知条件下面的 2×2 列联表 具有大学及大 学以上学历 不具有大学及大 学以上学历 合计 [9,10﹚万元员工 16 24 40 [13,14﹚万元员工 28 12 40 合计 44 36 80 …………………10 分 K2＝ ))()()(( )( 2 dbcadcba bcadn   ＝ 280(16 12 28 24) 44 36 40 40 80 11        ≈7.273>6.635 有 99%的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差 异 …………………12 分 20 解：(1)∵△OMF 的外接圆Ｎ的圆心Ｎ必在线段ＯＦ的中垂线上 且外接圆Ｎ与准线相切，外接圆Ｎ的周长为 9π ∴外接圆的半径＝ 3 4 p= 9 2 即 p=6 ∴抛物线的方程为 y2=12x………………………3 分 (2)解法一： 由题知直线 l 的斜率存在且不为 0 ∴可设 l：y=kx+b 由 2 12 y kx b yx   消去 x 得 ky2－12y+12b=0………4 分 ∵直线 l 与抛物线只有一个公共点，k≠0 ∴Δ =（－12）2－4k×12b=0 即 kb=3…………6 分 ∵直线 l：y=kx+b 与准线 x=－3 交于 A ∴A(－3，－3k+b)即 A(－3，－3k+ 3 k )………8 分 同理 B(3，3k+ )………………………………10 分 ∴ || || AF BF = 22 22 3( 3 3) ( 3 0) 3(3 3) (3 0) k k k k           = 2 2 2 2 936 (9 18 ) 99 18 k k k k     =1……………………12 分 解法二：由题知直线 l 不与坐标轴垂直 ∴可设 l：x=my+n(m≠0) 由 2 12 x my n yx   消去 x 得 y2－12my－12n=0………………………………………………4 分 ∵直线 l 与抛物线只有一个公共点 ∴Δ =（－12m）2－4(－12n)=0 即 n=－3m2……………………………………………6 分 ∵直线 l：x=my+n 与准线 x=－3 交于 A ∴A(－3，－ 3n m  )即 A(－3，3m－ 3 m )………………………………………………8 分 同理 B(3，3m+ )………………………………………………………………………10 分 ∴ || || AF BF = 22 22 3( 3 3) (3 0) 3(3 3) (3 0) m m m m          = 2 2 2 2 936 (9 18 ) 99 18 m m m m     =1……………………12 分 解法三：设切点为Ｐ(12t2，12t)(t≠0) ………………………………………………………4 分 则 l：12ty=12× 212 2 xt …………………………………………………………………6 分 令 x=－3 得 y= 212 3 2 t t  即 A(－3， )……………………………………………8 分 令 x=3 得 y= 212 3 2 t t  即 B(3， )…………………………………………………10 分 ∴ = 2 22 2 22 12 3( 3 3) ( 0)2 12 3(3 3) ( 0)2 t t t t        =1………………………………………………12 分 21 解：(1) ①令 x+1＞0 得 x＞－1 即定义域＝(－1，+∞) …………………………………………………………………2 分 ②由题意得 F＇(x)=(ex+xex)－a· 1 1x  = 2( 1) 1 xx e a x   (x＞－1)……………………………3 分 其中 G(x)=(x+1)2ex－a(x＞－1)是增函数 1°若 a=1 则有下表 x (－1， 0) 0 (0，+∞) G(x) － 0 + F＇(x) － 0 + F(x) ↘ 极小值=0 ↗ ∴F(x)在定义域(－1，+∞)上有且只有 0 一个零点…………………………………………5 分 2°若 a＞1 ∵G(x)=(x+1)2ex－a 在(－1，+∞)上是增函数 且 G(0)=1－a＜0，G(a)=(a+1)2ea－a＞(a+1)2－a=a2+a+1＞0 ∴存在唯一的 x0∈(0，a)，使得 G(x0)=(x0+1)2 0xe －a=0，且有下表 x (－1，x0) x0 (x0，+∞) G(x) － 0 + F＇(x) － 0 + F(x) ↘ 极小值 ↗ ∴F(0)=0＞F(x0) (ⅰ) 令 h(x)=ex－x－1 则 h＇(x)=ex－1 x (－∞，0) 0 (0，+∞) h＇(x) － 0 + h(x) ↘ 极小值=0 ↗ ∴ x∈R，h(x)=ex－x－1≥0 ∴ x∈R，ex≥x+1， x∈(－1，+∞)，x≥ln(x+1) ∴F(a)=aea－aln(a+1)≥a(a+1)－a×a=a＞0 (ⅱ) ∴由 (ⅰ)上方表格的最后一行及(ⅰ) (ⅱ)得 F(x)在定义域(－1，+∞)上有且只有两个零点 综上，F(x)在定义域(－1，+∞)上的零点个数= 1 1 2 1 a a    ……9 分 （说明： 关于 a>1 时 F(x)在(x0，+∞)有且有一个零点的证明方法: 如果不是按照上面解答所提供的证明(ⅰ) F(x0) x0 使 F(t)>0.（解答中取 t=a, t 还可取其他的具体值）由连续函数零点存在定理知：F(x)在(x0，+∞)有且有一个零点 而是用 , ( )   x F x 且 F(x)在(x0，+∞)递增，[代替 (ⅱ)存在实数 t> x0 使 F(t)>0. 的证明。]从而说明 F(x)在(x0，+∞)有一个零点。根据文科学生实际可以酌情不扣分。但建 议老师一定要给学生讲清楚这样作不严谨） (2)由(1)中②1°知 F( ) ln( 1)  xx xe x 在定义域(－1，+∞)上有且只有 0 一个零点 ∴方程 1( 1) ln[( 1) 1] 0xx e x     在定义域(0，+∞)上有且只有 1 这一个解 又∵f(1)=g(1)=e ∴曲线 C1 与曲线 C2 有且只有一个公共点 M(1，e)…………………………………………11 分 又∵f＇(x)=(ex+xex)=(x+1)ex，g＇(x)= x ee x ∴f＇(1)=2e，g＇(1)=2e ∴曲线 C1 与曲线 C2 在（1，e）处的切线方程均为 y－e=2e(x－1)即 2ex－y－e=0 ∴曲线 C1 与曲线 C2 仅在一个点处相切，这个点的坐标为（1，e）……………………12 分 （说明：如果没有证明曲线 C1 与曲线 C2 只有一个公共点，只是通过求两条切线，然后利用 切线重合说明曲线相切，然后给出切点坐标.(2)只给 1 分.如果学生给出不利用(1)的结论，而 且完全正确的（2）解答，给 3 分。） 22 解：(1)曲线Ｃ：(x－2)2+y2=4 即 x2+y2=4x 即ρ 2=4ρ cosθ 即ρ =0 或ρ =4cosθ 由于曲线ρ =4cosθ 过极点 ∴曲线Ｃ的极坐标方程为ρ =4cosθ ……………………………………………………3 分 直线 l：(x+1)sinβ =ycosβ 即 xsinβ －ycosβ +sinβ =0 即ρ cosθ sinβ －ρ sinθ cosβ +sinβ =0 即ρ sin(θ －β )=sinβ 直线 l 的极坐标方程为ρ sin(θ －β )=sinβ ……………………………………………5 分 (2)由题得Ｑ(－１，０) 设Ｍ为线段ＡＢ的中点，圆心到直线 l 的距离为 d∈（0，2) ………………………6 分 则｜ＱＡ｜＋｜ＱＢ｜＝２｜ＱＭ｜=2 223 d ……………………………………8 分 它在 d∈(0，2)时是减函数 ∴｜ＱＡ｜＋｜ＱＢ｜的取值范围＝(２ 5 ，６)……………………………………10 分 23 解：(1)∵f(x)= 1(2 1) [ ( 2)] 2 1(2 1) [ ( 2)] 22 (2 1) ( 2) 2 x x x x x x x x x                      = 13 2 13 1 22 3 2 xx xx xx             …………………………………… ………………………………3 分 ∴f(x)的图象如图…………………………………………………………………………6 分 (2)由(Ⅰ)得 f(x)－x= 12 3 2 12 1 22 3 2 xx xx x             ∴当 x=－ 1 2 时，[f(x)－x]min=－2………………………………………………………………8 分 ∴题设等价于 2m+1≥－2 即 m≥－ 3 2 ………………………………………………………10 分