2019届高三数学（理）复习题：模块三数列第11讲　数列求和及数列的简单应用Word版含答案.doc

第11讲　数列求和及数列的简单应用 ‎1.[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.‎ ‎(1)求b1,b11,b101;‎ ‎(2)求数列{bn}的前1000项和.‎ ‎ [试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.[2014·全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ.‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎[试做] ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 命题角度　解决数列大题的有关策略 ‎1.解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前n项和问题:‎ 关键一:通过列方程(组)求关键量a1和d(或q);‎ 关键二:利用通项公式和前n项和公式求解.‎ ‎2.解决数列的递推问题:‎ 关键一:利用an=得出关于an与an+1(或an-1)的递推式;‎ 关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求an.‎ ‎3.解决数列求和问题:‎ 关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式求解;‎ 关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.‎ ‎4.(1)等差数列的判断方法:定义法、等差中项法、利用通项公式判断、利用前n项和判断.‎ ‎(2)等比数列的判断方法:‎ ‎①定义法:若=q(q是常数),则数列{an}是等比数列;‎ ‎②等比中项法:若=anan+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列;‎ ‎③通项公式法:若an=Aqn-1(A,q为常数),则数列{an}是等比数列.‎ ‎5.解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决最值问题常用基本不等式法.‎ 解答1等差、等比数列基本量的计算 ‎1 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若S4,S6,Sn成等比数列,求n及此等比数列的公比.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,要立足于两数列的概念,设出相应基本量,充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略.‎ ‎【自我检测】‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=a1(2n-1),a4=16,n∈N*.‎ ‎ (1)求a1及数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的最大项.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答2数列的证明问题 ‎2 已知正项数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),其中=λan+μ.‎ ‎(1)若a1=2,a2=6,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1+a3=2a2,求证:{an}是等差数列.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ 判断数列是否为等差或等比数列的策略:(1)将所给的关系式进行变形、转化,以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断;(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.‎ ‎【自我检测】‎ 已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.‎ ‎(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;‎ ‎(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答3数列的求和问题 ‎3 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,S7=35,且a2,a5,a11成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若Tn为数列的前n项和,且存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,求实数λ的取值范围.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ 裂项相消法就是把数列的每一项分解成一正一负的两项,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项消,有的是间隔项消.常见的裂项方式有:=-;=;=;=.‎ ‎4 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n,在正项等比数列{bn}中,b2=a2,b4=a5.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎[听课笔记]  ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考场点拨】‎ 如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时,应注意:①等比数列的公比为负数的情形;②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“Sn-qSn”的表达式.‎ ‎【自我检测】‎ ‎1.已知等比数列{an}的各项均为正数,a4=81,且a2,a3的等差中项为18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=log3an,cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,‎ 证明:Tn0,则bn+1>bn;‎ 当n≥3时,-n2+2n+10恒成立,所以an-an-1=d,所以{an}是等差数列.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)证明:原式可转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),‎ 即Sn=2Sn-1-n+4,‎ 所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2].‎ 由S1-2a1=1-4,得S1=3,所以S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知Sn-n+2=2n+1,‎ 所以Sn=2n+1+n-2,‎ 所以Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n ‎=+-2n ‎=.‎ 解答3‎ 例3　解:(1)由题意可得即 又因为d≠0,所以所以an=n+1.‎ ‎(2)因为==-,所以Tn=++…+=-=.‎ 因为存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,所以存在n∈N*,使得-λ(n+2)≥0成立,即存在n∈N*,使得λ≤成立.‎ 又=≤(当且仅当n=2时取等号),‎ 所以λ≤,即实数λ的取值范围是.‎ 例4　解:(1)∵Sn=n2-n,∴an=Sn-Sn-1=2(n-1)(n≥2),当n=1时,a1=0,满足上式,‎ ‎∴an=2(n-1).‎ 设数列{bn}的公比为q.∵数列{bn}为等比数列,且b2=a2=2,b4=a5=8,‎ ‎∴=q2=4,又bn>0,∴q=2,∴bn=2n-1.‎ ‎(2)由(1)得cn=(n-1)·2n,‎ ‎∴Tn=0+(2-1)×22+(3-1)×23+…+(n-1)×2n=1×22+2×23+…+(n-1)×2n,‎ ‎∴2Tn=1×23+2×24+…+(n-2)×2n+(n-1)×2n+1,‎ 两式相减,得-Tn=22+23+24+…+2n-(n-1)·2n+1‎ ‎=-(n-1)·2n+1=2n+1-(n-1)·2n+1-4,‎ ‎∴Tn=(n-2)·2n+1+4.‎ ‎【自我检测】‎ ‎1.解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0).由题意得即两式相除,得4q2-9q-9=0,解得q=3或q=-.‎ ‎∵q>0,∴q=3,∴a1=3,∴an=a1qn-1=3n.‎ ‎(2)证明:由(1)得bn=log33n=n,∴cn==,‎ ‎∴Tn=++…+==-,‎ ‎∴Tn