第15讲 圆锥曲线的方程与性质
1.[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[试做]
命题角度 考查圆锥曲线的定义
(1)定性:确定圆锥曲线的类型,确定焦点的位置,从而设出标准方程.
(2)列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于a,b,c或p的方程(组).
(3)得到结果.注意:要考虑到圆锥曲线的焦点无法确定的情况.
2.(1)[2018·全国卷Ⅲ]设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
(2)[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
(3)[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 ( )
A.1- B.2- C. D.-1
[试做]
命题角度 离心率
关键一:利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列出关于a,b,c的方程或不等式,求出的值或取值范围.
关键二:双曲线离心率的取值范围为(1,+∞),椭圆离心率的取值范围为(0,1).
3.(1)[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点,已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)[2013·全国卷Ⅱ]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
[试做]
命题角度 圆与抛物线的综合问题
关键一:利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离.
关键二:注意圆的相关性质的应用.
4.(1)[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ( )
A. B.3 C.2 D.4
(3)[2016·全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
[试做]
命题角度 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)问题一般为求点的坐标、斜率、弦长、方程及圆锥曲线的某个性质.
(2)关键一:圆锥曲线的定义.
关键二:构建直线与圆锥曲线的方程组.
关键三:用好平面几何性质.
小题1圆锥曲线的定义与标准方程
1 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点 (异于M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则椭圆C的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+y2=1
[听课笔记]
【考场点拨】
待定系数法求圆锥曲线的标准方程应紧扣“三步曲”:(1)定位:焦点在哪个坐标轴上.(2)设方程.(3)定量.易失分点有:双曲线定义中忽略“绝对值”致错,椭圆与双曲线的关系式弄混.
【自我检测】
1.设椭圆C:+y2=1的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是( )
A.2 B.2
C.4 D.4
2.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆交双曲线C的一条渐近线于点(3,),则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-y2=1
3.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为,则|AB|= .
4.双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为 .
小题2圆锥曲线的几何性质
2 (1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知F是椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
[听课笔记]
【考场点拨】
圆锥曲线性质的注意点:(1)椭圆离心率的取值范围为(0,1),双曲线离心率的取值范围为(1,+∞);(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;(3)由方程求解性质时,方程一定要化为标准形式.
【自我检测】
1.已知双曲线-=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.3
C.5
D.4
2.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|= ( )
A.4 B.6
C.8 D.16
3.设F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,若椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则m的取值范围是( )
A.∪[8,+∞)
B.(0,1]∪[8,+∞)
C.∪[4,+∞)
D.(0,1]∪[4,+∞)
4.已知焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F,右顶点为A,若线段FA的垂直平分线与双曲线C没有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是 .
小题3圆锥曲线与圆、直线的综合问题
3 (1)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线于A,B两点,若B为线段FA的中点,且OB⊥FA(O为坐标原点),则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
(2)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点(A在第一象限),与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则= .
[听课笔记]
【考场点拨】
圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点:(1)注意使用圆锥曲线的定义;(2)引入参数,注意构建直线与圆锥曲线的方程组;(3)注意用好平面几何性质.
【自我检测】
1.若双曲线-=1(a>0)的一条渐近线与直线y=x垂直,则此双曲线的实轴长为 ( )
A.2 B.4
C.18 D.36
2.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1,过点F1作倾斜角为30°的直线l与圆x2+y2=b2相交所得的弦长为b,则椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,其渐近线与圆(x-a)2+y2=相切,则该双曲线的方程为 .
4.已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,过点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线E交于A,B两点,过A,B向E的准线作垂线,垂足分别为C,D,设CD的中点为M,则|MF|= .
第15讲 圆锥曲线的方程与性质
典型真题研析
1.B [解析] (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴=①.
又∵椭圆+=1与双曲线有公共焦点,∴c=3,则a2+b2=c2=9②.
由①②解得a=2,b=,故双曲线C的方程为-=1.
2.(1)C (2)D (3)D [解析] 由题易知|PF2|=b,|OP|=a.过P向x轴作垂线,垂足为E,可知|PE|=,|F2E|=,所以|PF1|2=+=(|OP|)2=6a2,从而可得e=.
(2)由题意知A(-a,0),过A且斜率为的直线方程为y=(x+a),设P(x0,y0),则有 y0=(x0+a)①.又△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,所以==tan 30°=②,==tan 60°=③.联立①②③,消去x0,y0,得=,即C的离心率为.
(3)在直角三角形PF1F2中,∵PF1⊥PF2,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,∴|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义得c+c=2a, ∴C的离心率e===-1,故选D.
3.(1)B (2)C [解析] 设抛物线方程为y2=2px(p>0),点A在第一象限,点D在第二象限.根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2,代入抛物线方程得x=,即点A,2.易知点D-,,由于点A,D都在以坐标原点为圆心的圆上,所以+8=+5,解得p=4,此即为抛物线的焦点到准线的距离.
(2)抛物线焦点为F,0 ,由抛物线的定义,设M5-,,设N点坐标为(0,2).
因为圆过点N(0,2),故NF⊥NM⇒×=-1,①
设=t,则①式可化为t2-4t+8=0⇒t=2⇒p2-10p+16=0⇒p=2或p=8.
4.(1)D (2)B (3)A [解析] (1)过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(x+2),由解得或不妨记M(1,2),N(4,4),抛物线的焦点为F(1,0),所以·=(0,2)·(3,4)=8.
(2)由双曲线方程知a=,b=1,则F(2,0).不妨设过点F的直线垂直渐近线x-y=0于M,交渐近线x+y=0于N.在Rt△OMF中,∠MOF=30°,|OF|=2,所以|OM|=.在Rt△OMN中,∠MON=60°,|OM|=,所以|MN|=3.
(3)设M(-c,y0),则AM所在直线方程为y=(x+a),令x=0,得E0,.BM所在直线方程为y=(x-a),令x=0,得y=.由题意得=×,解得a=3c,故离心率e==.
考点考法探究
小题1
例1 (1)C (2)C [解析] (1)∵双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是y=x,
且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线x=-6上,
∴解得
∴双曲线的方程为-=1.
(2)由△AF1B的周长为4及椭圆的定义,可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,
解得a=,则M(-,0),N(,0).
设点A(x0,y0),由直线AM与AN的斜率之积为-,可得·=-.
即=-(-3)①,
又因为+=1,所以=b2②,
由①②得b2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
【自我检测】
1.C [解析] 设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,
因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,
所以|BF|=|AF2|,
所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.
2.C [解析] 由以线段F1F2为直径的圆交C的渐近线于点(3,),
得c==2,所以a2+b2=12①.
由点(3,)在双曲线的渐近线上,得双曲线的渐近线的方程为y=±x,即=②.
由①②得a2=9,b2=3,所以双曲线C的方程为-=1,故选C.
3. [解析] 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,则|AB|=xA+xB+2=.
4.9 [解析] 由双曲线的定义知|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥+4a=2×+8=9,故|AF2|+|BF2|的最小值为9.
小题2
例2 (1)B (2)C [解析] (1)设A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=3x,得2p=3,即p=,则F.
由题知直线AB的方程为y=,
即x=y+.
联立得4y2-12y-9=0,
则y1+y2=3,y1y2=-,
∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1-y2|=
=×=.
(2)在△PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),设椭圆的右焦点为F2,易知四边形PFQF2是平行四边形,所以∠FPF2=60°.在△PF2F中,由余弦定理得
|F2F|2=(2t)2+t2-2×2t×t×cos 60°=3t2=4c2.由椭圆定义得|PF|+|PF2|=2a=3t,则a2=3c2,所以椭圆E的离心率e=.
【自我检测】
1.A [解析] 因为抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),
所以4+b2=9,解得b2=5,
所以双曲线的方程为-=1,
所以其渐近线方程为y=±x,
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=,故选A.
2.C [解析] ∵抛物线方程为y2=8x,
∴焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,
∵直线AF的斜率为-,∴直线AF的方程为y=-(x-2),
由可得点A的坐标为(-2,4).
∵PA⊥l,
∴点P的纵坐标为4,代入抛物线方程,得点P的坐标为(6,4),
∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8.
3.A [解析] 根据椭圆的性质可知,当点M在短轴的顶点时,∠F1MF2最大,设椭圆的一个短轴的顶点为A,
要使得椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则∠F1AF2≥120°,即∠OAF2≥60°(O为坐标原点),
当m>2时,=cos∠OAF2≤cos 60°,即≤,解得m≥8;
当0b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:5x-12y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=6,且点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
[解析] A 如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,
所以6=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,所以a=3.
取M(0,b),因为点M到直线l的距离不小于,所以≥,
解得b≥1,所以e==≤=,
所以椭圆E的离心率的取值范围是,故选A.
例4 [配例3使用] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,其一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截得的弦长为2,则实数m的值为 ( )
A.3 B.1
C. D.2
[解析] D 由题可知c=a,则a=b,故渐近线方程为y=±x.圆(x-m)2+y2=4(m>0)的圆心为(m,0),半径为2,可得圆心到渐近线的距离d=,则渐近线被圆截得的弦长为2=2,解得m=2(-2舍去),故选D.
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