【易错题】华师大九年级上《第23章图形的相似》单元试卷(教师用).docx

‎【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似 单元测试卷 一、单选题（共10题；共29分）‎ ‎1.如果xy=‎4‎‎3‎，那么x+yy的值是（   ） ‎ A. ‎3‎‎4‎                                          B. ‎7‎‎3‎                                          C. ‎3‎‎2‎                                          D. ‎‎2‎‎3‎ ‎【答案】B ‎ ‎【考点】比例的性质 ‎ ‎【解析】【分析】由xy‎=‎‎4‎‎3‎，根据比例的性质，即可求得x+yy的值． ∵xy‎=‎‎4‎‎3‎ ∴令x=4k,y=3k(k不为0）则x+yy‎=‎4k+3k‎3k=‎7k‎3k=‎‎7‎‎3‎. 故选B.‎ ‎2.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（   ） ‎ A. 都含有一个40°的内角                                         B. 都含有一个50°的内角 C. 都含有一个60°的内角                                         D. 都含有一个70°的内角 ‎【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A、B、D选项不符合题意； C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C选项符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据定义有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似判断。‎ ‎3.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上， DE∥BC，若AD:AB=3:4‎，AE=6‎，则AC等于 ‎ A. ‎3‎                                           B. ‎4‎                                           C. ‎6‎                                           D. ‎‎8‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】平行线分线段成比例 ‎ ‎【解析】【分析】因为DE//BC，根据平行线分线段成比例定理可知：ADAB‎=‎AEAC，所以‎3‎‎4‎‎=‎‎6‎AC，所以AC=24÷3=8. 故选D.‎ ‎4.如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B=62°，那么∠B′等于（　　） ‎ A. 28°                                     B. 118°                                       C. 62°                                     D. 54°‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】相似多边形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′， ∴∠B′与∠B是对应角， ∴∠B′=∠B=62°． 故选C． 【分析】由题意，六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′再根据相似多边形的性质，对应角相等可得∠B′．‎ ‎5.两个相似多边形的相似比是3：4，其中较小的多边形周长是36，则较大多边形的周长为（　　） ‎ A. 48                                         B. 54                                         C. 56                                         D. 64‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】相似多边形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：设较大多边形的周长为x， ∵两个相似多边形的相似比是3：4，其中较小的多边形周长是36， ∴‎36‎x‎=‎‎3‎‎4‎ 解得x=48． 故选A． 【分析】设较大多边形的周长为x，再根据相似多边形的性质即可得出结论．‎ ‎6.下列各种图形相似的是    （   ） ‎ A. （1）、（2）                 B. （3）、（4）                 C. （1）、（3）                 D. （1）、（4）‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】相似图形 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对选项一一分析，选出正确答案．‎ ‎【解答】（1)二者形状相同，大小不同，图形相似，故正确； （2)二者形状相同，大小不同，图形相似，故正确； （3)二者形状大小不同，图形不相似，故错误； （4)二者形状大小不同，图形不相似，故错误． （1)（2)正确； 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要根据实际情况，根据相似图形的定义得出 ‎7.△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（　　） ‎ A. 3：1                                   B. 1：3                                   C. 1：9                                   D. 1：27‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的性质 ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3， ∴△ABC和△A′B′C′的面积之比为1：9． 故选C． 【分析】由△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．‎ ‎8.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC的长为（　　）‎ ‎ ‎ A. 10‎ ‎                                           B. 8‎ ‎                                           C. 6‎ ‎                                           D. 5‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AE：EC=2：3，‎ ‎∴AE：AC=2：5，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴ DEBC‎=‎AEAC=‎2‎‎5‎ ， ‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=10．‎ 故选A．‎ ‎【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到DEBC‎=‎AEAC，即可求BC的长．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.如图，在△ABC中，点P为AB上一点，给出下列四个条件： ①∠ACP=∠B； ②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；④AB·CP=AP·CB．其中能满足△APC和△ACB相似的条件是 (     ) ‎ A. ①②④                                B. ①③④                                C. ②③④                                D. ①②③‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】相似三角形的判定 ‎ ‎【解析】【解答】 解：当∠ACP=∠B， ∠A公共， 所以△APC∽△ACB； 当∠APC=∠ACB， ∠A公共， 所以△APC∽△ACB； 当AC2=AP•AB， 即AC：AB=AP：AC， ∠A公共， 所以△APC∽△ACB； 当AB•CP=AP•CB，即 PCBC‎=‎APAB ， 而∠PAC=∠CAB， 所以不能判断△APC和△ACB相似． 故答案为：D． 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．‎ ‎10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB= ‎1‎‎2‎ BC=1，则下列结论： ①∠CAD=30°   ②BD= ‎7‎    ③S平行四边形ABCD=AB•AC     ④OE= ‎1‎‎4‎ AD     ⑤S△APO= ‎3‎‎12‎ ，正确的个数是（   ） ‎ A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5‎ ‎【答案】D ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考点】勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确； ②∵BE=EC，OA=OC， ∴OE= ‎1‎‎2‎ AB= ‎1‎‎2‎ ，OE∥AB， ∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°， Rt△EOC中，OC= ‎1‎‎2‎‎-‎‎(‎1‎‎2‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°， Rt△OCD中，OD= ‎1‎‎2‎‎+‎‎(‎3‎‎2‎)‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎ ， ∴BD=2OD= ‎7‎ ，故②正确； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确； ④由②知：OE是△ABC的中位线， 又AB= ‎1‎‎2‎ BC，BC=AD，， ∴OE= ‎1‎‎2‎ AB= ‎1‎‎4‎ AD，故④正确； ⑤∵‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= ‎3‎‎2‎ ， ∴S△AOE=S△EOC= ‎1‎‎2‎ OE•OC= ‎1‎‎2‎ × ‎1‎‎2‎ × ‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎8‎ ， ∵OE∥AB， ∴ EPAP‎=OEAB=‎‎1‎‎2‎ ， ∴ S‎△POES‎△AOP‎=‎‎1‎‎2‎ ， ∴S△AOP= ‎2‎‎3‎  S△AOE= ‎2‎‎3‎‎×‎‎3‎‎8‎ = ‎3‎‎12‎ ，故⑤正确； 本题正确的有：①②③④⑤，5个， 故答案为：D． 【分析】①根据角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，根据平行线的性质得出∠DAE=∠BEA，故∠BAE=∠BEA，根据等角对等边得出AB=BE=1，判断出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AE=BE=1，根据线段的和差及等量代换得出AE=EC，根据等边对等角得出∠EAC=∠ACE，根据三角形的外角定理得出∠ACE=30°，根据平行线的性质得出∠CAD=∠ACE=30°；  ②根据三角形的中位线定理得出OE= ‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎ ，OE∥AB，根据平行线的性质得出∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中利用勾股定理得出OC的长，Rt△OCD中利用勾股定理得出OD根据平行四边形的性质得出的长，BD=2OD=‎7‎；③由②知：∠BAC=90°，故S▱ABCD=AB•AC；④由②知：OE是△ABC的中位线，又AB= ‎1‎‎2‎BC，BC=AD，故OE= ‎1‎‎2‎AB= ‎1‎‎4‎AD；⑤根据平行四边形的性质得出OA=OC= ‎3‎‎2‎ ， S△AOE=S△EOC= ‎1‎‎2‎OE•OC，根据平行线分线段成比例定理得出EP ∶AP=OE∶ AB =1∶2，根据同高两三角形面积之比就是两底之比，得出S△POE ∶S△AOP=1 ∶2 ，根据S△AOP= ‎2‎‎3‎S△AOE得出答案。‎ 二、填空题（共10题；共28分）‎ ‎11.如下图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样白棋②的位置可记为（E，3），则白棋⑥的位置应记为________． ‎ ‎【答案】（G，5） ‎ ‎【考点】点的坐标 ‎ ‎【解析】【解答】白棋②的位置及坐标（E，3），可知点的坐标为先表示横线再表示纵线，所以白棋⑥的位置应记（G，5）． ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：（G，5）．【分析】已知坐标系，求点的坐标.白棋②的坐标（E，3），横轴为字母，数轴是数字.直接读出⑥的坐标即可.‎ ‎12.等边三角形ABC的两顶点A、B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），则点C的坐标为________． ‎ ‎【答案】（0，4 ‎3‎ ）或（0，﹣4 ‎3‎ ） ‎ ‎【考点】坐标与图形性质，等边三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC的两顶点A、B的坐标分别为（﹣4，0），（4，0）， ‎ ‎∴点C在y轴上，AB=AC=2AO=8，‎ 在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC= AC‎2‎-OA‎2‎ = ‎8‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎ =4 ‎3‎ ，‎ ‎∴C点坐标为（0，4 ‎3‎ ）或（0，﹣4 ‎3‎ ），‎ 故答案为：（0，4 ‎3‎ ）或（0，﹣4 ‎3‎ ）．‎ ‎【分析】利用等边三角形的性质可求得OC的长，可求得C点坐标．‎ ‎13.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE=4，EC=2，则AD：AB的值为________． ‎ ‎【答案】2：3 ‎ ‎【考点】平行线分线段成比例 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AE=4，EC=2， ∴AC=AE+EC=4+2=6； 又∵DE∥BC，AE=4， ∴AD：AB=AE：AC=4：6=2：3． 故答案为：2：3． 【分析】平行线分线段的基本事实应用时一定要确定好对应线段。由图可得，若AD与AB是对应边，则AE与AC为对应边。由对应边的比相等，最后可得为2:3‎ ‎14.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4,0），点P为边AB上一点，， 沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B’处，则点B’的坐标是________  ‎ ‎【答案】‎2,4-2‎‎3‎ ‎ ‎【考点】坐标确定位置，坐标与图形变化﹣对称，翻折变换（折叠问题） ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】过点B′作B′D⊥y轴于D，B′E⊥x轴于E， ∵OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4）， ∴BC=OC=4， ∵∠BPC=60°， ∴由折叠的性质求得B′C=BC=4，∠B′CP=∠BCP=30° ∴∠DCB′=90°﹣∠B′CP﹣∠BCP=30°， ∴B′D=‎1‎‎2‎B′C=‎1‎‎2‎CB=2，CD=‎3‎‎2‎BC=‎2‎‎3‎， ∴OD=OC﹣CD=4﹣2， ∴B’点的坐标为‎2,4-2‎‎3‎． 【分析】此题考查了图形的翻折变换性质。‎ ‎15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为________． ‎ ‎【答案】2+2 ‎2‎ ‎ ‎【考点】坐标与图形性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大， 在Rt△A1OB1中，∵A1B1=AB=4，点OE为斜边中线， ∴OE=B1E= ‎1‎‎2‎ A1B1=2， 又∵B1C1=BC=2， ∴C1E= B‎1‎C‎1‎‎2‎‎+‎B‎1‎E‎2‎ =2 ‎2‎ ， ∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E=2+2 ‎2‎ ． 故答案为：2+2 ‎2‎ ． ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】根据题意首先取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，进而求出答案．‎ ‎16.（2016•黄冈）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=________． ‎ ‎【答案】‎4‎‎3‎ ‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形， ∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4， ∴ ABBI = ‎2‎‎4‎ = ‎1‎‎2‎ ， BCAB = ‎1‎‎2‎ ， ∴ ABBI = BCAB ， ∵∠ABI=∠ABC， ∴△ABI∽△CBA； ∴ ACAI = ABBI ， ∵AB=AC， ∴AI=BI=4； ∵∠ACB=∠FGE， ∴AC∥FG， ∴ QIAI = GICI = ‎1‎‎3‎ ， ∴QI= ‎1‎‎3‎ AI= ‎4‎‎3‎ ． 故答案为： ‎4‎‎3‎ ． 【分析】题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．由题意得出BC=1，BI=4，则 ABBI = BCAB ，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得 ACAI = ABBI ，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式 QIAI = GICI = ‎1‎‎3‎ ，即可得到结果．本 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17.（2017•葫芦岛）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是________． ‎ ‎【答案】（2 ‎5‎ +2，4）或（12，4） ‎ ‎【考点】坐标与图形性质，勾股定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵点A（0，8），点B（4，0）， ∴OA=8，OB=4， ∴AB=4 ‎5‎ ， ∵点M，N分别是OA，AB的中点， ∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2 ‎5‎ ， ①当∠APB=90°时， ∵AN=BN， ∴PN=AN=2 ‎5‎ ， ∴PM=MN+PN=2 ‎5‎ +2， ∴P（2 ‎5‎ +2，4）， ②当∠ABP=90°时，如图， 过P作PC⊥x轴于C， 则△ABO∽△BPC， ∴ ABPB‎=‎OBPC = ‎4‎‎4‎ =1， ∴BP=AB=4 ‎5‎ ， ∴PC=OB=4， ∴BC=8， ∴PM=OC=4+8=12， ∴P（12，4）， 故答案为：（2 ‎5‎ +2，4）或（12，4）． ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【分析】△ABP是直角三角形由于AP不可能与AB垂直，因此可分为两类：∠APB=90°与∠ABP=90°；当∠APB=90°时，由直角三角形的斜边中线性质可求出，当∠ABP=90°时，由相似三角形的性质列出对应边成比例式可求出.‎ ‎18.（2017•辽阳）如图，△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1．以OB为直角边向外作等腰直角三角形OBB1 ， 以OB1为直角边向外作等腰直角三角形OB1B2 ， 以OB2为直角边向外作等腰直角三角形OB2B3 ， …，连接AB1 ， BB2 ， B1B3 ， …，分别与OB，OB1 ， OB2 ， …交于点C1 ， C2 ， C3 ， …，按此规律继续下去，△ABC1的面积记为S1 ， △BB1C2的面积记为S2 ， △B1B2C3的面积记为S3 ， …，则S2017=________． ‎ ‎【答案】‎1‎‎3‎ ×22015 ‎ ‎【考点】平行线分线段成比例，等腰直角三角形 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵AB∥OB1 ， ∴ ABOB‎1‎ = BC‎1‎OC‎1‎ = ‎1‎‎2‎ ， ∴S1= ‎1‎‎3‎ S△AOB= ‎1‎‎3‎ × ‎1‎‎2‎ ， 易知 S‎△OBB‎1‎ =1，S2= ‎1‎‎3‎S‎△OBB‎1‎ = ‎1‎‎3‎ ，S3= ‎1‎‎3‎ ×2，S4= ‎1‎‎3‎ ×22 ， …Sn= ‎1‎‎3‎ ×2n﹣2 ， ∴S2017= ‎1‎‎3‎ ×22015 ． 故答案为 ‎1‎‎3‎ ×22015 ． 【分析】由AB∥OB1得到比例，再根据等腰直角三角形的性质，得到第一个三角形的面积，探索规律得出第2017个三角形的面积.‎ ‎19.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是边BC上一点，AP与BD交于点M，DP与AC交于点N． ①若点P为BC的中点，则AM：PM=2：1； ②若点P为BC的中点，则四边形OMPN的面积是8； ③若点P为BC的中点，则图中阴影部分的总面积为28； ④若点P在BC的运动，则图中阴影部分的总面积不变． ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中正确的是________．（填序号即可） ‎ ‎【答案】①③ ‎ ‎【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AD∥BC， ∴AM：PM=AD：BP， ∵点P为BC的中点， ∴BP= ‎1‎‎2‎ BC= ‎1‎‎2‎ AD， ∴AM：PM=2：1； ②不正确；作MG⊥BC于G，如图所示： 则MG∥AB， ∴△PMG∽△PAB， ∴MG：AB=PM：PA=1：3， ∴MG= ‎1‎‎3‎ AB=2， ∴四边形OMPN的面积=△BOC的面积﹣△MBP的面积﹣△NCP的面积= ‎1‎‎4‎ ×8×6﹣ ‎1‎‎2‎ ×4×2﹣ ‎1‎‎2‎ ×4×2=4；③正确； ∵图中空白部分的面积=△DBP的面积+△ACP的面积﹣四边 形OMPN的面积= ‎1‎‎2‎ ×4×6+ ‎1‎‎2‎ ×4×6﹣4=20， ∴图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积﹣图中空白部分的面积=8×6﹣20=28；④错误； ∵P在B时，阴影部分的面积= ‎1‎‎2‎ ×6×8=24≠28； 正确的有①③； 故答案为：①③． 【分析】 点P为BC的中点，由已知可知AD∥BC，抽象出“8”字基本图形，平行得线段成比例，或证三角形相似，可知道①正确；求四边形OMPN的面积，将此四边形转化到△BOC中去，S四边形OMPN=S△BOC-S△BMP-S△PNC=4，②不正确；求出空白部分的面积，再用矩形的面积减去空白部分的面积即可，③‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 正确；先求出点P在B、C之间运动时空白部分的面积的面积，就可以知道阴影部分的面积，在求出当点P运动到B点或C点时空白部分的面积，就可以知道阴影部分的面积，可知④错误。‎ ‎20.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直角∠MPN的顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________． ①EF= ‎2‎ OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ‎3‎‎4‎ ；④OG•BD=AE2+CF2 ． ‎ ‎【答案】①②④ ‎ ‎【考点】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∴∠BOF+∠COF=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠BOF+∠COE=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE和△COF中， ‎{‎‎∠BOE=∠COFOB=OC‎∠OBE=∠OCF ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF，BE=CF， ∴EF= ‎2‎ OE；故正确； ②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= ‎1‎‎4‎ S正方形ABCD ， ∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确； ③过点O作OH⊥BC， ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵BC=1， ∴OH= ‎1‎‎2‎ BC= ‎1‎‎2‎ ， 设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x， ∴S△BEF+S△COF= ‎1‎‎2‎ BE•BF+ ‎1‎‎2‎ CF•OH= ‎1‎‎2‎ x（1﹣x）+ ‎1‎‎2‎ （1﹣x）× ‎1‎‎2‎ =﹣ ‎1‎‎2‎ （x﹣ ‎1‎‎4‎ ）2+ ‎9‎‎32‎ ， ∵a=﹣ ‎1‎‎2‎ ＜0， ∴当x= ‎1‎‎4‎ 时，S△BEF+S△COF最大； 即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ‎1‎‎4‎ ；故错误； ④∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB=OG：OE， ∴OG•OB=OE2 ， ∵OB= ‎1‎‎2‎ BD，OE= ‎2‎‎2‎ EF， ∴OG•BD=EF2 ， ∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2 ， ∴EF2=AE2+CF2 ， ∴OG•BD=AE2+CF2 ． 故正确． 故答案为：①②④． 【分析】①根据全等三角形的定义，通过ASA判定得出△BOE≌△COF， 以此得出结论。 ②求证S四边形OEBF=S△BOC=‎1‎‎4‎S正方形ABCD，得出结论。 ③设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，表示出S△BEF+S△COF，求出S△BEF+S△COF最大时的x值。 ④证出△OEG∽△OBE，由相似三角形的对应边成比例，求证出OG•BD=AE2+CF2。‎ 三、解答题（共8题；共63分）‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.如图，已知：AP2=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC． ‎ ‎【答案】证明：∵AP2=AQ•AB， ‎∴APAQ=‎ABAP   ∵∠A=∠A，∴△APQ∽△ABP，∴∠APB=∠AQP， 又∵∠ABP=∠C，∴△QPB∽△PBC ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质 ‎ ‎【解析】【分析】由AP2=AQ•AB得出AP∶AQ=AB∶AP,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△APQ∽△ABP，根据相似三角形的对应角相等得出∠APB=∠AQP，根据等角的补角相等得出∠CPB=∠BQP,又∠ABP=∠C，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出△QPB∽△PBC。‎ ‎22.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长． ‎ ‎【答案】解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD）， ∴AD= AB=10 ﹣10， ∵EC+CD=AC+CD=AD， ∴EC+CD=（10 ﹣10）cm ‎ ‎【考点】黄金分割 ‎ ‎【解析】【分析】根据D为AB的黄金分割点（AD＞BD），求出AD，再由五角星的性质可得EC=AC，继而求出EC+CD的长．‎ ‎23.已知：如图，△ABC中，AB=4，AC=6，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于D，交AC于F，E是BC的中点，连接DE．求：DE的长度． ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠FAD． ∵BD⊥AD于D， ∴∠BDA=∠FDA=90°， ∴△ABF是等腰三角形， ∴AB=AF，BD=FD． ∵AB=4，AC=6， ∴CF=AC﹣AF=6﹣4=2． ∵E是BC的中点， ∴DE= CF=1 ‎ ‎【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理 ‎ ‎【解析】【分析】先根据题意判断出△ABF是等腰三角形，再由三角形中位线定理即可得出结论．‎ ‎24.要测量旗杆高CD ， 在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1.5m．求旗杆的高度． ‎ ‎【答案】解答：过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H ． ​ 因为EF∥AB∥CD ， 所以EF=GB=HD ． 所以AG=AB-GB=AB-EF=2.5-1.5=1m EG=FB=2.2m，GH=BD=3.6m CH=CD-1.5m 又因为 ＝ ， 所以 ＝ 所以CD=4 m，即旗杆的高4 m ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【分析】过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H ， 根据EF∥AB∥CD可求出AG、EG、GH ， 再根据相似三角形的判定定理可得△EAG∽△ECH ， 再根据三角形的相似比解答即可．‎ ‎25.古城黄州以其名胜古迹吸引了不少游客，从地图上看，较有名的六外景点在黄州城内的分布是∶东坡赤壁在市政府以西2km再往南3km处，黄冈中学在市政府以东1km处，宝塔公园在市政府以东3km处，鄂黄大桥在市政府以东7km再往北8km处，遗爱湖在市政府以东4km再往北4km处，博物馆在市政府以北2km再往西1km处．请画图表示出这六个景点的位置，并用坐标表示出来． ‎ ‎【答案】解：如下图所示： 其坐标分别为∶东坡赤壁为（－2，－3），黄冈中学为（1，0），宝塔公园为（3，0），鄂黄大桥为（7，8），遗爱湖为（4，4），博物馆为（－1，2） ‎ ‎【考点】坐标确定位置 ‎ ‎【解析】【分析】考查建立平面直角坐标系，主要考查用坐标表示位置考点的理解.首先确定原点市政府 ， 然后画出x，y轴，定单位长度为1km.根据题意描点即可.‎ ‎26.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)‎ ‎【答案】解：依题可得：AM=AE=1.75m， 设CD长为x m， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA， ∴MA∥CD，BN∥CD， ∴△AME是等腰直角三角形， ∴∠AEM=45°， ∴EC=CD=x m. ∴△ABN∽△ACD. ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ BNCD‎=‎ABAC , 即 ‎1.75‎x‎=‎‎1.25‎x-1.75‎ ， 解得：x=6.125≈6.1. 答：路灯的高CD约为6.1 m. ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ ‎【解析】【分析】设CD长为x m，依题可得△AME是等腰直角三角形，从而可得EC=CD=x m，根据相似三角形的判定得△ABN∽△ACD，由相似三角形的性质对应边成比例可得一个关于x的方程，解之即可得出答案.‎ ‎27.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点． （1）求证：四边形EGFH是菱形； （2）若AB=‎5‎‎4‎ ， 则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积． ‎ ‎【答案】（1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点， ∴EG∥AB，EG=‎1‎‎2‎AB，HF∥AB，HF=‎1‎‎2‎AB， ∴EG∥HE，EG=HE， ∴四边形EGFH是平行四边形． 又EH=‎1‎‎2‎CD，AB=CD， ∴EG=EH， ∴平行四边形EGFH是菱形； （2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点， ∴GF∥DC，HF∥AB． ∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC． ∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°． ∴∠GFH=90°． ∴菱形EGFH是正方形． ∵AB=‎5‎‎4‎， ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴EG=‎1‎‎2‎AB=‎5‎‎8‎． ∴正方形EGFH的面积=（‎5‎‎8‎）2=‎25‎‎64‎． ‎ ‎【考点】三角形中位线定理 ‎ ‎【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理可以证得四边形EGFH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． （2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．‎ ‎28.把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6‎2‎cm,CE=5cm, CD=10cm． （1）图1中线段AO的长=          cm；DO=         cm                 图1 （2）如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D1CE1,D1C与AB相交于点F,若△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．                        图2 ‎ ‎【答案】解：(1)如图,过点A作AF∥DE, ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵∠ACB与∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=‎6‎‎2‎ , ∴AC=BC=6, ∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10． ∴ED=‎5‎‎5‎ , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4, ∵AF∥DE ∴△AFC∽△DEC ∴ACCD‎=‎AEDE ,即AF=‎3‎‎5‎ , ∴EFCE‎=‎ADCD ,即EF=2, ∴BF=EF+BE=2+1=3, ∵AF∥DE ∴△BOE∽△BAF ∴AOAB‎=‎EFBF,即AO=‎4‎‎2‎  OEAF‎=‎BEBF,即OE=‎5‎  ∴DO=DE-OE=‎4‎‎5‎  (2) 连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H, ∵△DCE绕着点C 逆时针旋转α度 ∴∠E1CG=α, ∵△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形, ∴E1G是线段BC的中垂线 ∵E1C=5,BC=6 ∴CG=BH=3,E1G=CE‎1‎‎2‎-CG‎2‎‎=‎25-9‎=4‎, ∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°, ∴BH=FH,令BH=FH=x, 则：CH=6-x 在△FHC与△CG E1中 ∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°, ∴∠E1CG =∠CFH, ∵∠FHC=∠CG E1=90°, ∴△FHC∽△CG E1, ∴‎FHCH‎=‎CGGE‎1‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,即：x‎5-x‎=‎‎3‎‎4‎ ,解得x=‎18‎‎7‎ , ∴FH=‎18‎‎7‎, ∵∠FHB=90°,∠BAC=45°, ∴BF=‎2‎FH=‎‎18‎‎7‎‎2‎ ∴AF=AB-BF=‎6‎2‎-‎18‎‎7‎‎2‎=‎‎24‎‎7‎‎2‎ . ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质，图形的旋转 ‎ ‎【解析】【分析】 （1）作,利用三角形相似来求出线段AO ,DO的长；  （2）连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,根据三角形相似求出BF,即可得到答案.‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎