【易错题】华师大九年级上《第24章解直角三角形》单元试卷(教师用).docx

‎【易错题解析】华师大版九年级数学上册 第24章 解直角三角形 单元测试卷 一、单选题（共10题；共29分）‎ ‎1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（   ） ‎ A. ‎3‎‎4‎                                          B. ‎4‎‎3‎                                          C. ‎3‎‎5‎                                          D. ‎‎4‎‎5‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】如图所示： ∵AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴cosα=BCAB‎=‎‎4‎‎5‎． 故选：D．‎ ‎2.如图，在 RtΔABC 中， ‎∠C=‎‎90‎‎∘‎ ， AB=10‎ ， AC=8‎ ，则 sinA 等于（   ） ‎ A. ‎3‎‎5‎                                          B. ‎4‎‎5‎                                          C. ‎3‎‎4‎                                          D. ‎‎4‎‎3‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC= AB‎2‎-AC‎2‎‎=‎10‎‎2‎‎-‎‎8‎‎2‎=6‎ ， ∴sinA= BCAB‎=‎6‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎ . 故答案为：A． 【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。‎ ‎3.若点B在点A的北偏东30度，则点A在点B的（　　） ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ A. 南偏西30度                       B. 北偏东60度                       C. 南偏西60度                       D. 西南方向 ‎【答案】A ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：如图， 则点A在点B的南偏西30度． 故选A． 【分析】此题是对方向角的考查，若点B在点A的北偏东30度，要求点A在点B的方向，则以点B为原点建立直角坐标系即可求解．‎ ‎4.在正方形网格中，‎△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（   ） ‎ A. ‎1‎‎2‎                                       B. ‎2‎‎2‎                                       C. ‎3‎‎2‎                                       D. ‎‎3‎‎3‎ ‎【答案】B ‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】根据格点的特征可得∠B=45°，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果. 由图可得cosB=cos45°=‎2‎‎2‎，故选B. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.‎ ‎5.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是 AB 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（   ） ‎ A. （sinα，sinα）            B. （cosα，cosα）            C. （cosα，sinα）            D. （sinα，cosα）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】坐标与图形性质，解直角三角形 ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】【解答】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα= PQOP ，cosα= OQOP ，即PQ=sinα，OQ=cosα， 则P的坐标为（cosα，sinα）， 故答案为：C． 【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，然后依据锐角三角函数的定义可求得OQ、PQ的长，从而可得到点P的坐标.‎ ‎6.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= ‎1.7‎ 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=‎3‎‎10‎ ， 则点D到地面的距离CD是（    ）‎ A. 2.7米                                   B. 3.0米                                   C. 3.2米                                   D. 3.4米 ‎【答案】C ‎ ‎【考点】矩形的判定与性质，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 ‎ ‎【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形 ∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90° ∴tan∠α=DEAE‎=‎‎3‎‎10‎ ∴DE‎5‎‎=‎‎3‎‎10‎ 解之：DE=1.5 ∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2 故答案为：C ‎【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=‎2‎‎3‎，BD=1，则边AB的长度是（  ） ‎ A. ‎9‎‎10‎                                         B. ‎10‎‎9‎                                         C. 2                                         D. ‎‎9‎‎5‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】解直角三角形 ‎ ‎【解析】【分析】在直角三角形中解题，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理求出三角形的边长。 【解答】∵cos∠BCD=‎2‎‎3‎，则设CD=2x，BC=3x， 根据勾股定理得，12+（2x)2=（3x)2， ∴x=‎5‎‎5‎． 由于∠BCD=∠BAC， 所以设AC=2y，AB=3y，根据勾股定理得， （3y)2-（2y)2=（3×‎5‎‎5‎)2，可得y=‎3‎‎5‎。所以AB=‎3‎‎5‎×3=‎9‎‎5‎． 故选D． 【点评】图中的三个三角形两两相似，于是∠CAD的余弦就是∠BCD的余弦，据此结合根据勾股定理解答。‎ ‎8.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°,∠A＝30°, E为AB上一点，且AE︰EB＝4︰1，EF⊥AC于F ， 连结FB ， 则tan∠CFB的值等于（　　） ‎ A. ‎3‎‎3‎                                     B. ‎2‎‎3‎‎3‎                                     C. ‎5‎‎3‎‎3‎                                     D. ‎‎5‎‎3‎ ‎【答案】C ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．‎ ‎【解答】根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BC， ∴CFAC‎=‎BEAB ∵AE：EB=4：1， ∴‎ABEB 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=5， ∴AFAC‎=‎‎4‎‎5‎， 设AB=2x，则BC=x，AC=‎3‎x． ∴在Rt△CFB中有CF=‎3‎‎5‎x，BC=x． 则tan∠CFB=BCCF=‎5‎‎3‎‎5‎． 故选：C．‎ ‎ 【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎9.（2017•绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（   ） ‎ A. 10m                                  B. 12m                                  C. 12.4m                                  D. 12.32m ‎【答案】B ‎ ‎【考点】相似三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m， △ABC∽△EDC， 则 ABED = BCDC ， 即 ‎1.5‎DE = ‎0.5‎‎4‎ ， 解得：DE=12， 故选：B． 【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．‎ ‎10.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF ， ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ 上述结论中正确的个数是（　　） ‎ A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 ‎【答案】C ‎ ‎【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．‎ ‎【解答】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误； ②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知) ∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°， 在Rt△AOB和Rt△COB中，‎ AB＝CB BO＝BO ‎∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL)， 则全等三角形共有4对，故②正确； ③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠， ∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF， ∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误； ④∵OB⊥AC，且AB=CB， ∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°， 由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°， 又∵∠BFD为三角形ABF的外角， ∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°， 易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠BFD=∠BDF， ∴BD=BF，故④正确． ⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高， ∴S△AOF=S△COF ， ∵∠AEF=∠ACD=45°， ∴EF∥CD， ‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴S△EFD=S△EFC ， ∴S四边形DFOE=S△COF ， ∴S四边形DFOE=S△AOF ， 故⑤正确； 正确的有3个， 故选：C．‎ ‎【点评】综合考查了有折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等 二、填空题（共11题；共33分）‎ ‎11.计算‎3‎tan30°tan45°=________  ‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【解答】解：原式=‎3‎×‎3‎‎3‎​×1=1， 故答案为：1． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．‎ ‎12.计算（﹣1）2005﹣| ‎3‎ ﹣2|+（﹣ ‎1‎‎3‎ ）﹣1﹣2sin60°的值为________． ‎ ‎【答案】﹣6 ‎ ‎【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 ‎ ‎【解析】【解答】解：原式=﹣1﹣（2﹣ ‎3‎ ）﹣3﹣2× ‎3‎‎2‎ =﹣1﹣2+ ‎3‎ ﹣3﹣ ‎3‎ =﹣6． 故答案为：﹣6． 【分析】-1的奇数次幂是它本身，负数的绝对值是它的相反数，一个数的-1次幂等于它的倒数，记住特殊锐角值，注意运算顺序。‎ 第 21 页 共 21 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB=________． ‎ ‎【答案】10cm ‎ ‎【考点】直角三角形斜边上的中线 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴AB=2CD=10cm， 故答案为：10cm． 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．‎ ‎14.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________． ‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形 ‎ ‎【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， 根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4. 故答案为：4. 【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求BB′的长。‎ ‎15.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为________． ‎ ‎【答案】22 ‎ ‎【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】当4为底时，其它两边都为9， ∵9、9、4可以构成三角形， ∴三角形的周长为22； 当4为腰时，其它两边为9和4， ∵4+4=8