【易错题解析】冀教版九年级数学上册第28章圆单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A. 23 π B. 83 π C. 6π D. 103 π
2.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 100° B. 130° C. 150° D. 160°
3.O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ）
A. 100° B. 120° C. 130° D. 160°
4.已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP=6，则过P点，且长度为整数的弦有（ ）
A. 5条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 80° D. 70°
6.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
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7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段AE的长为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
8.下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 梯形
9.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 BC 的中点，点D是优弧 BC 上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6 3cm ；③sin∠AOB= 32 ；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④
10.如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为( )
A. 74 B. 1 C. 或1 D. 74或1或94
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知弦AB与CD交于点E，弧 BC 的度数比弧 AD 的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB=________（用关于m的代数式表示）．
12.（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为________ cm2 ．
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13.如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于________．
14.如图，点C′与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC=40°，则∠CC′B=________°．
15.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为________ m．
16.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB=6cm．当油面宽AB为8cm时，油上升了________ cm．
17.如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，OA=6cm，则图中阴影部分的面积是________．
18.如图，在圆的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=220°，则∠CAD=________．
19.如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与 AB 交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作 CE 交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
20.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）
三、解答题（共9题；共60分）
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21.如图，已知AB是⊙O的弦，C是 AB 的中点，AB=8，AC= 25 ，求⊙O半径的长．
22.如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
23.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？
24.如图为桥洞的形状，其正视图是由 CD 和矩形ABCD构成．O点为 CD 所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求 CD 所在⊙O的半径DO．
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25.如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？
26.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC.
27.如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE=2，DE=4，求弦AB的长．
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28.同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=22 ．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
29.已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】m+102
12.【答案】
108π
13.【答案】18
14.【答案】70
15.【答案】4
16.【答案】1或7
17.【答案】（6π﹣9 3 ）cm2
18.【答案】40°
19.【答案】43 π+2 3
20.【答案】43 π﹣ 3
三、解答题
21.【答案】解：连接OC交AB于D，连接OA，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在△ACD中，CD2+AD2=AC2 ， CD=2，
在△OAD中，OA2=OD2+AD2 ， r2=（r-2）2+16，
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解得r=5，
∴☉O的半径为5.
22.【答案】证明：∵ =，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）
∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
23.【答案】解： l=240π×10180+240π×20180=403π+803π=40π ，AC=BD=20-10=10cm，
∴周长=( 40π+20 )cm
24.【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2 ， 则DO2=（DO﹣2）2+42 ， 解得：DO=5．
答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．
25.【答案】 解：3+2=5（厘米），
（3.14×52）÷（3.14×22）
=52÷22
=254，
（12×3.14×52﹣12×3.14×32﹣12×3.14×22）÷（3.14×32）
=[12×（52﹣32﹣22）]÷32
=6÷9
=23．
答：最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的254倍，阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的23．
26.【答案】解：（1）证明： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD，
∵AB为⊙O的直径，
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∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△BEC∽△ADC；
27.【答案】解：∵过弦AB的中点E作弦CD，CE=2，DE=4，
∴CE×DE=AE×BE，
∴2×4=AE2 ，
解得：AE=22，
∴弦AB的长为：AB=2AE=42．
28.【答案】（1）解：
∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=22，
∴∠DOE=24×2+4×22×360°=（ 2﹣1）•90°；∠EOF=2222×4+2×4×360°=（2﹣2）•90°
∴∠DOE+∠EOF=（2﹣1）•90°+（2﹣2）•90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）解：
如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°﹣2∠DEO）+（180°﹣2FEO）=360°﹣2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=22EF=22×22=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=22DF=22×25=10；即⊙O的半径为10；
（3）解：
如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
∴S△DOE=12DE•OP=12×2×3=3；
S△EOF=12×EF•OQ=12×22×22=4，
S扇形EOF=14πOD2=52π，
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∴S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4=[52π﹣（4+3）]×4=10π﹣28．
29.【答案】（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CBA=90°
又∵∠F=90°
∴∠CBA=∠F
∴AB‖EF
∴∠AMO=∠EDO
又∵D为弧AB的中点
∴弧BD=弧AD
∴OD⊥AB
∴∠AMO=∠EDO=90°
∴EF为⊙O的切线
（2）shan
解：在Rt△AEF中，∠ACB=60°
∴∠E=30°
又∵CF=6
∴CE=2CF=12
∴EF=CE2-CF2=63
在Rt△ODE中，∠E=30°
∴OD=12OE
又∵OA=12OE
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∴OA=AE=OC=13CE=4,OE=8
又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E
∴△ODE∽△CFE
∴ODFC=DEEF,即46=DE63
∴DE=43
又∵Rt△ODE中，∠E=30°
∴∠DOE=60°
∴ S阴影=S△ODE-S扇形OAD=12×4×43-60·π·42360=83-8π3
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【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第28章 圆 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A. 23 π B. 83 π C. 6π D. 103 π
【答案】D
【考点】扇形面积的计算，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C ， ∠BCB′=∠ACA′=60°．
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C ，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′ ，
∴AB扫过的图形的面积= 16 ×π×36﹣ 16 ×π×16= 103 π．
故答案为：D．
【分析】由旋转的性质可得：△ABC≌△A′B′C，那么S△ABC=S△A′B′C，AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′。
2.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 100° B. 130° C. 150° D. 160°
【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
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在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=100°，
∴∠D= 12 ∠AOB=50°，
∴∠ACB=180°﹣∠D=130°．
故选B．
【分析】首先在优弧AB上取点D，连接AD，BD，然后由圆周角定理，求得∠D的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠ACB的度数．
3.O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ）
A. 100° B. 120° C. 130° D. 160°
【答案】D
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】如图所示：∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°
∠BOC=2∠A=160°。
【点评】本题难度较低，主要考查学生对圆的知识点中外心等综合运用的掌握。作图最直观。
4.已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP=6，则过P点，且长度为整数的弦有（ ）
A. 5条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
【答案】C
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】
【解答】如图，AB是直径，OA=10，OP=6，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．
由垂径定理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=8，CD=16，则CD是过点P最短的弦，长为16；AB是过P最长的弦，长为20．所以过点P的弦的弦长可以是17，18，19各两条．总共有8条长度为整数的弦．
故选：C．
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【分析】求出过P点的弦长的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解．本题利用了垂径定理和勾股定理求解．注意在最短和最长的弦中的弦长为某一整数时有两条．
5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 80° D. 70°
【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB， ∴ BC = BD ，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选B．
【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得： BC = BD ，然后由圆周角定理，即可求得答案．
6.如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【考点】坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，
∴CD=10，
∴EB=ED= 12 CD=5，OE=5﹣1=4，
∵AB⊥CD，
∴AO=BO= 12 AB，OB= EB2-OE2 = 52-42 =3，
∴AB=2OB=6；
故选：C．
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【分析】连接EB，由题意得出OD=1，OC=9，∴CD=10，得出EB=ED= 12 CD=5，OE=4，由垂径定理得出AO=BO= 12 AB，由勾股定理求出OB，即可得出结果．
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段AE的长为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE= 12 CD=8，
∴OE= OC2-CE2 =6，
则AE=OA﹣OE=4，
故选：D．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理计算即可．
8.下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 梯形
【答案】A
【考点】圆的认识
【解析】【解答】∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上．故选：A．
【分析】四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而B、C、D都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上．
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9.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 BC 的中点，点D是优弧 BC 上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6 3cm ；③sin∠AOB= 32 ；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④
【答案】B
【考点】菱形的判定，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】∵点A是劣弧 BC 的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵点A是劣弧 BC 的中点，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=6cm，
∴BE=AB•cos30°=6× 32 =3 3 cm，
∴BC=2BE=6 3 cm，故②正确；
∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°= 32 ，
故③正确；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵点A是劣弧 BC 的中点，
∴AC=AB，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
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故答案为：B．
【分析】 由利用垂径定理及其推论：平分弧的直径垂直平分弦可知①正确，由圆周角定理知∠AOB=60°，进而②正确，AB=BO=OC=CA，可得四边形ABOC是菱形.
10.如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为( )
A. 74 B. 1 C. 或1 D. 74或1或94
【答案】D
【考点】圆周角定理
【解析】
【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离，根据时间=路程÷速度即可求得t的值．
【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；
∴AB=2BC=4cm；
①当∠BFE=90°时；
Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；
故此时AE=AB-BE=2cm；
∴E点运动的距离为：2cm，故t=1s；
所以当∠BFE=90°时，t=1s；
②当∠BEF=90°时；
同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；
∴E点运动的距离为：3.5cm，故t=1.75s；
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③当E从B回到O的过程中，在运动的距离是：2（4-3.5)=1cm，则时间是：1.75+12=94 ．
综上所述，当t的值为1s或1.75s和94s时，△BEF是直角三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知弦AB与CD交于点E，弧 BC 的度数比弧 AD 的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB=________（用关于m的代数式表示）．
【答案】m+102
【考点】三角形的外角性质，圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧BC与AD的度数之差为20°，
∴∠CAB﹣∠C= 1 2 ×20°=10°，
∵∠CEB=∠CAB+∠C=m°，
∴∠CAB= m+102 ．
故答案为： m+102 ．
【分析】根据圆周角的度数等于所对弧度数的一半，可知∠CAB﹣∠C =10°，再利用三角形外角的性质即可。
12.（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为________ cm2 ．
【答案】
108π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】设AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，
∴120πR180=12π，
解得：R=18，
∴圆锥的侧面积为12lR=12×12π×18=108π，
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故答案为：108π．
【分析】首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
13.如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于________．
【答案】18
【考点】垂径定理
【解析】【解答】连接OB，
∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，
∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，
∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，
∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为：18.
【分析】利用垂径定理结合30度角的直角三角形的性质进行计算即可。
14.如图，点C′与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC=40°，则∠CC′B=________°．
【答案】70
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
所以∠ABC= 12 ∠AOC=20°；
又AB⊥CC′，
所以有∠C′CB=90°﹣∠ABC=70°；
即∠CC′B=70°．
故答案为：70°．
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【分析】连接BC，即有∠AOC=2∠ABC，可得出∠ABC的度数，又AB⊥CC′，所以有∠C′CB=90°﹣∠ABC．根据轴对称的性质即可得出∠CC′B=∠C′CB．
15.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为________ m．
【答案】4
【考点】垂径定理
【解析】【解答】∵CD垂直平分AB，
∴AD=8，
又OA=10
∴OD==6m，
∴CD=OC-OD=10-6=4（m）
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
16.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB=6cm．当油面宽AB为8cm时，油上升了________ cm．
【答案】1或7
【考点】勾股定理，垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA．作OM⊥AB于M， 则在直角△OAM中，AM=4cm，
因为OA=5cm，根据勾股定理得到：OM=3cm，即弦AB的弦心距是3cm，
同理当油面为6时，弦心距是4cm，
当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；
当油面超过圆心O时，油上升了7cm．
因而油上升了1或7cm．
【分析】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
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17.（2016•鄂州）如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，OA=6cm，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】（6π﹣9 3 ）cm2
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OB=6，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAB﹣S△AOB= 60π⋅62360 ﹣ 34 •62=（6π﹣9 3 ）cm2 ．
故答案为（6π﹣9 3 ）cm2 ．
【分析】根据S阴=S扇形OAB﹣S△AOB即可计算．本题考查扇形面积公式、三角形面积公式，记住S扇形= nπR2360 = 12 LR（L是弧长，R是半径），等边三角形面积公式= 34 a2 ， 属于中考常考题型．
18.如图，在圆的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=220°，则∠CAD=________．
【答案】40°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OC，OD，
∵在圆的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=220°，
∴∠AOC+∠AOD=440°（两角为大于平角的角），
∴∠COD=440°﹣360°=80°，
则∠CAD=12∠COD=40°．
故答案为：40°
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【分析】连接OA，OC，OD，利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可．
19.（2017•贵港）如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与 AB 交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作 CE 交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
【答案】43 π+2 3
【考点】线段垂直平分线的性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接O、AD， ∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S扇形AOD= 60π×42360 = 83 π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）
= 120π⋅42360 ﹣ 120π⋅22360 ﹣（ 83 π﹣ 12 ×2×2 3 ）
= 163 π﹣ 43 π﹣ 83 π+2 3
= 43 π+2 3 ．
故答案为 43 π+2 3 ．
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．
20.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）
【答案】43 π﹣ 3
【考点】切线的性质，扇形面积的计算
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【解析】【解答】解： 如图，过O作OE⊥CD于点E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠COD=120°，
∵OC=OD=2，
∴∠ODE=30°，
∴OE=1，CD=2DE=2 3
∴S阴影=S扇形COD﹣S△COD= 120π×22360 ﹣ 12 ×1×2 3 = 43 π﹣ 3 ，
故答案为： 43 π﹣ 3 ．
【分析】由条件可求得∠COD的度数，过O作OE⊥CD于点E，则可求得OE的长和CD的长，再利用S阴影=S扇形COD﹣S△COD可求得答案．
三、解答题（共9题；共60分）
21.如图，已知AB是⊙O的弦，C是 AB 的中点，AB=8，AC= 25 ，求⊙O半径的长．
【答案】解：连接OC交AB于D，连接OA，
由垂径定理得OD垂直平分AB，
设⊙O的半径为r，
在△ACD中，CD2+AD2=AC2 ， CD=2，
在△OAD中，OA2=OD2+AD2 ， r2=（r-2）2+16，
解得r=5，
∴☉O的半径为5.
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【考点】垂径定理
【解析】【分析】利用垂径定理及勾股定理进行计算即可。
22.如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
【答案】证明：∵ =，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）
∵∠ACB=60°
∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。再根据∠ACB=60°可判定△ABC为等边三角形，所以AB=BC=CA。最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。
23.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？
【答案】解： l=240π×10180+240π×20180=403π+803π=40π ，AC=BD=20-10=10cm，
∴周长=( 40π+20 )cm
【考点】弧长的计算
【解析】【分析】根据弧长计算公式l=nπr180分别算出广告标志的两段弧长，再用大圆的半径减去小圆的半径，算出AC,BD的长，再相加即可得出答案。
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24.如图为桥洞的形状，其正视图是由 CD 和矩形ABCD构成．O点为 CD 所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求 CD 所在⊙O的半径DO．
【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2 ， 则DO2=（DO﹣2）2+42 ， 解得：DO=5．
答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．
【考点】垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得出EO垂直平分CD，DF=4m，然后利用勾股定理建立方程，求解即可得出OD的长。
25.如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？
【答案】 解：3+2=5（厘米），
（3.14×52）÷（3.14×22）
=52÷22
=254，
（12×3.14×52﹣12×3.14×32﹣12×3.14×22）÷（3.14×32）
=[12×（52﹣32﹣22）]÷32
=6÷9
=23．
答：最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的254倍，阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的23．
【考点】圆的认识
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【解析】【分析】大圆半径为3+2=5厘米，根据圆的面积公式分别得到最外侧大圆的面积和半径为2厘米的小圆面积，再相除即可求解；
阴影部分的面积=最外侧大圆的面积的12﹣半径为2厘米的小圆面积的12﹣半径为3厘米的小圆面积的12，列式计算可求阴影部分的面积，再除以半径为3厘米的圆的面积即可求解．
26.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC.
【答案】解：（1）证明： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△BEC∽△ADC；
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD；
（2）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可；
27.如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE=2，DE=4，求弦AB的长．
【答案】解：∵过弦AB的中点E作弦CD，CE=2，DE=4，
∴CE×DE=AE×BE，
∴2×4=AE2 ，
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解得：AE=22，
∴弦AB的长为：AB=2AE=42．
【考点】圆周角定理
【解析】【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE=AE×BE，求出即可
28.同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=22 ．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=22，
∴∠DOE=24×2+4×22×360°=（ 2﹣1）•90°；∠EOF=2222×4+2×4×360°=（2﹣2）•90°
∴∠DOE+∠EOF=（2﹣1）•90°+（2﹣2）•90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）解：
如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°﹣2∠DEO）+（180°﹣2FEO）=360°﹣2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=22EF=22×22=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=22DF=22×25=10；即⊙O的半径为10；
（3）解：
如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
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∴S△DOE=12DE•OP=12×2×3=3；
S△EOF=12×EF•OQ=12×22×22=4，
S扇形EOF=14πOD2=52π，
∴S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4=[52π﹣（4+3）]×4=10π﹣28．
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）求出∠DOE和∠EOF的度数，相加为90°即可；
（2）FM⊥DE的延长线于M，判断出△DOF是等腰直角三角形，求出OD的长，即为半径；
（3）分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，根据S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4，即可解答．
29.已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是弧AB的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线EF与⊙O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CBA=90°
又∵∠F=90°
∴∠CBA=∠F
∴AB‖EF
∴∠AMO=∠EDO
又∵D为弧AB的中点
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∴弧BD=弧AD
∴OD⊥AB
∴∠AMO=∠EDO=90°
∴EF为⊙O的切线
（2）shan
解：在Rt△AEF中，∠ACB=60°
∴∠E=30°
又∵CF=6
∴CE=2CF=12
∴EF=CE2-CF2=63
在Rt△ODE中，∠E=30°
∴OD=12OE
又∵OA=12OE
∴OA=AE=OC=13CE=4,OE=8
又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E
∴△ODE∽△CFE
∴ODFC=DEEF,即46=DE63
∴DE=43
又∵Rt△ODE中，∠E=30°
∴∠DOE=60°
∴ S阴影=S△ODE-S扇形OAD=12×4×43-60·π·42360=83-8π3
【考点】切线的判定，扇形面积的计算
【解析】【分析】：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥AB即可。
（2）先根据勾股定理求出EF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出DE，阴影部分的面积等于△ODE的面积减去扇形OAD的面积即可。
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