2018年秋九年级数学上册第二十三章旋转练习（新版）新人教版.doc

第二十三章　旋转 ‎23．1　图形的旋转 第1课时　认识图形的旋转 ‎01　　基础题 知识点1　认识旋转现象 ‎　‎ 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．‎ 如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：‎ ‎(1)点B的对应点是点B′；‎ ‎(2)旋转中心是点O，旋转角为∠BOB′或∠AOA′；‎ ‎(3)∠A的对应角是∠A′，线段OB的对应线段是OB′．‎ ‎1．下列运动形式属于旋转的是(C)‎ A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车 C．拧开水龙头 D．运动员掷出的标枪 ‎2. (广州中考)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)‎ ‎3．下列图案中能由其中一个图形通过旋转而构成的有①②.‎ 知识点2　图形旋转的性质 ‎　‎ 26‎ 旋转的性质：‎ ‎(1)对应点到旋转中心的距离相等；‎ ‎(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；‎ ‎(3)旋转前、后的图形全等．‎ 如图，△CBD经旋转后到达△CAE的位置，则CD＝CE，∠ACB＝∠ECD，△CBD是(填“是”或“不是”)全等于△CAE.‎ ‎4．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是(C)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎ ‎ 第4题图 　　第5题图 ‎5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若AC＝3，DE＝1，则线段BD的长为(A)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎6. (邵阳中考)将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°.‎ ‎7．如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.‎ ‎(1)写出旋转角的度数；‎ ‎(2)求证：∠A1AC＝∠C1.‎ 解：(1)旋转角的度数为60°.‎ ‎(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，‎ ‎∴∠ABC1＝180°.‎ ‎∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，‎ ‎∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°.‎ ‎∴∠A1BC＝60°.‎ 又∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形．‎ ‎∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°.‎ ‎∴AA1∥BC.‎ ‎∴∠A1AC＝∠C.‎ ‎∵△ABC≌△A1BC1，‎ 26‎ ‎∴∠C＝∠C1.‎ ‎∴∠A1AC＝∠C1.‎ ‎02　　中档题 ‎8．(遵义汇川区月考)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为()‎ A．35° B．40°‎ C．50° D．65°‎ ‎ ‎ 第8题图　　 　第9题图 ‎9．(黔东南中考)如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝，∠B＝60°，则BD的长为(D)‎ A．0.5 B．1.5 ‎ C. D．1‎ ‎10．(黄冈中考)如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝1.5cm.‎ ‎11．(遵义期中)如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.‎ ‎(1)线段A1B1的长是6，∠AOA1的度数是90°；‎ ‎(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．‎ 解：由旋转的性质，得A1B1＝AB＝6，OA1＝OA＝6，∠OA1B1＝∠OAB＝90°，∠AOA1＝90°，‎ ‎∴∠OA1B1＝∠AOA1，A1B1＝OA.‎ ‎∴B1A1∥OA.‎ ‎∴四边形OAA1B1是平行四边形．‎ ‎12．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.‎ ‎(1)旋转中心为点A，旋转角度为90°；‎ ‎(2)求DE的长度；‎ ‎(3)指出BE与DF的关系如何？并说明理由．‎ 26‎ 解：(2)∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，‎ ‎∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7.‎ ‎∴DE＝AD－AE＝7－4＝3.‎ ‎(3)BE、DF的关系为BE＝DF，BE⊥DF.‎ 理由如下：延长BE并交DF于点G.‎ ‎∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF.‎ ‎∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF.‎ ‎∵∠ADF＋∠F＝180°－90°＝90°，‎ ‎∴∠ABE＋∠F＝90°.‎ ‎∴BE⊥DF.‎ ‎∴BE与DF的关系为BE＝DF且BE⊥DF.‎ ‎03　　综合题 ‎13. (贵港中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针方向旋转得到△A′B′C′，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是(B)‎ 　　　　　　‎ 26‎ 第2课时　旋转作图 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　基础题 知识点1　旋转作图 ‎　‎ ‎(1)旋转作图的依据是旋转的性质；‎ ‎(2)旋转作图的步骤：‎ ‎①原图上找到关键点；‎ ‎②作出关键点的对应点；‎ ‎③顺次连接对应点．‎ ‎1．将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是(A)‎ ‎2．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是(B)‎ A．72°‎ B．108°‎ C．144°‎ D．216°‎ ‎3．如图，已知△ABC，请画出以C为旋转中心，顺时针旋转90°后的△A′B′C.‎ 解：如图所示．‎ ‎4．(厦门中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)‎ 解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，‎ ‎∴AC＝＝3.‎ ‎∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，‎ ‎∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.‎ ‎∴AD＝＝3.‎ 知识点2　在平面直角坐标系中的图形旋转 26‎ ‎5．(烟台中考)如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是(B)‎ A．(1，1) B．(1，2)‎ C．(1，3) D．(1，4)‎ ‎ ‎ 第5题图 　　第6题图 ‎6．(河池中考)如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5)的对应点A′的坐标是(5，2)．‎ ‎7．(遵义三十一中期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，‎ ‎(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；‎ ‎(2)画出△ABC绕原点O旋转180°后的△A2B2C2.‎ 解：(1)如图，△A1B1C1为所作．‎ ‎(2)如图，△A2B2C2为所作．‎ 易错点　旋转方向未确定 ‎8．(邵阳中考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O旋转90°到OA′，则点A′的坐标是(－4，3)或(4，－3)．‎ ‎02　　中档题 ‎9. (遵义桐梓县期末)下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是(B)‎ A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形 ‎10．(阜新中考)如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为(D)‎ A．(2，2) B．(－2，4)‎ C．(－2，2) D．(－2，2)‎ ‎11．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1.则其旋转中心一定是点B．‎ 26‎ ‎ ‎ 第11题图 　　第12题图 ‎12．(钦州中考)如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是(－1，－2)或(5，2)．‎ ‎13. (遵义仁怀市期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点A，B的坐标分别为A(0，4)，B(－3，0)，按要求解答下列问题．‎ ‎(1)在图中，先将△AOB向上平移6个单位长度，再向右平移3个单位，画出平移后的△A1O1B1；(其中点A，O，B的对应点为A1，O1，B1)‎ ‎(2)在图中，将△A1O1B1绕点O1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2O1B2；(其中点A1，B1的对应点为A2，B2)‎ ‎(3)直接写出点A2，B2的坐标．‎ ‎ ‎ 解：(1)如图，△A1O1B1为所作．‎ ‎ (2)如图，Rt△A2O1B2为所作．‎ ‎ (3)点A2，B2的坐标分别为(7，6)，(3，9)．‎ ‎03　　综合题 ‎14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．‎ ‎(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(0，4)，画出平移后对应的△A2B2C2；‎ ‎(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；‎ ‎(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．‎ 解：(1)△A1B1C如图所示，△A2B2C2如图所示．‎ ‎(2)旋转中心坐标为(1.5，3)．‎ ‎(3)如图所示，点P的坐标为(－2，0)．‎ 26‎ ‎23.2　中心对称 ‎23．2.1　中心对称 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　基础题 知识点1　认识中心对称 ‎　‎ 把一个图形绕着某一点旋转__180°，如果它能够与另一个图形__重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做__对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．‎ 如图，成中心对称的图形是__②．(填序号)‎ ‎　　　　　 　①　　　　　　②　　　　　　③‎ ‎1．下列说法中正确的是(C)‎ A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须重合 C．成中心对称的两个图形全等 D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称 ‎2．如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有__(1)(2)(3)．‎ 知识点2　中心对称的性质 ‎　‎ 中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心，并且被对称中心所__平分．中心对称的两个图形是__全等图形．‎ 如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则线段AA′，BB′，CC′必经过点__O，OA＝__OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．‎ ‎3．如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是(D)‎ A．AB＝A′B′，BC＝B′C′‎ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′‎ C．S△ABC＝S△A′B′C′‎ D．△ABC≌△A′OC′‎ ‎4．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称．ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线．已知BC＝4，则E′D′＝(A)‎ 26‎ A．2‎ B．3‎ C．4‎ D．1.5‎ 知识点3　画中心对称的图形 ‎5．如图所示，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心．‎ ‎ 解：如图所示．‎ ‎6．如图，已知△ABC和点O，在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称．‎ ‎ 解：如图所示．‎ ‎7．在如图所示的网格中作出△ABC关于点P成中心对称的图形△A′B′C′.‎ ‎ 解：如图所示．‎ ‎02　　中档题 ‎8．下列说法中，正确的是(B)‎ A．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段不一定都经过对称中心 B．在成中心对称的图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 C．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称 D．以上说法都正确 ‎9．如图，△ABC和△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为(D)‎ 26‎ A．4 B. C. D. ‎ ‎ 第9题图 　　第10题图 ‎10．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是__(3，－1)．‎ ‎11．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长都是单位1.‎ ‎(1)画出△ABC 关于点O成中心对称的△DEF，并写出△DEF各顶点的坐标；‎ ‎(2)已知点P(m，n)是△ABC中BC边上的任意一点，则点P关于点O的对称点的坐标为(－m，－n)．(含有m，n的代数式表示)‎ ‎ 解：如图，结合图形可得：D(5，－4)，E(3，0)，F(2，－2)．‎ ‎12．(齐齐哈尔中考)如图所示，在四边形ABCD中．‎ ‎(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；‎ ‎(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；‎ ‎(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心．‎ ‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图所示．‎ ‎(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2对称，对称轴为图中的直线EF.‎ ‎03　　综合题 ‎13．已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△CEF关于点C成中心对称．‎ ‎(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积；‎ ‎(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．‎ 26‎ ‎ 解：(1)∵△ABC与△CEF关于点C成中心对称，‎ ‎∴ACF、BCE共线且AC＝CF，BC＝CE，‎ ‎∴四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴AE∥BF且AE＝BF.‎ ‎(2)过点A作AD⊥BC于点D，‎ 则S△ABC＝BC·AD＝3 cm2.‎ ‎∵▱ABFE中，BC＝CE，S△ABC＝S△AEC，S△FBC＝S△FEC，AC＝CF，‎ ‎∴S△AEC＝S△FBC，‎ ‎∴四个三角形面积相等，‎ ‎∴S四边形ABFE＝4×S△ABC＝12 cm2.‎ ‎(3)∠ACB＝60°时，四边形ABEF是矩形，‎ 理由：∵当∠ACB＝60°时，AB＝AC＝BC，‎ ‎∴AF＝BE，‎ ‎∴四边形ABEF是矩形．‎ 26‎ ‎23.2.2　中心对称图形 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　基础题 知识点　认识中心对称图形 ‎　‎ 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．‎ 如：线段是中心对称图形，它的对称中心是线段的中点．‎ ‎1．(遵义期中)下列安全标志图中，是中心对称图形的是(B)‎ ‎2．(柳州中考)下列图形中是中心对称图形的是(B)‎ A．正三角形 B．正方形　 C．等腰梯形　 D．正五边形 ‎3．(遵义桐梓县期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(C)‎ ‎4．(六盘水中考)国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形(D)‎ A．B B．J ‎ C．4 D．0‎ ‎5．下列图形中，中心对称图形有(C)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎02　　中档题 ‎6．(桂林中考)下列图形中，不是中心对称图形的是(B)‎ ‎7．(庆阳中考)在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是(C)‎ A．(4n－1，)‎ 26‎ B．(2n－1，)‎ C．(4n＋1，)‎ D．(2n＋1，)‎ ‎8．你能否画出一条直线，同时把如图所示的两个图形分成形状、大小都相同的两个部分？你还有什么发现？‎ 解：能，如图．直线经过两图形的对称中心．‎ ‎9．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上．‎ ‎(1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；‎ ‎(2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；‎ ‎(3)在丙图中作出的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．‎ 解：(1)如甲图：平行四边形．‎ ‎(2)如乙图：等腰梯形．‎ ‎(3)如丙图：正方形．‎ 26‎ ‎23.2.3　关于原点对称的点的坐标 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　基础题 知识点1　求关于原点对称的点的坐标 ‎　‎ 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．‎ 如：已知点A的坐标为(1，2)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(1，－2)，关于y轴对称的点的坐标为(－1，2)，关于原点对称的点的坐标为(－1，－2)．‎ ‎1．(遵义期中)平面直角坐标系内的点A(－2，3)关于原点对称的点的坐标是(B)‎ A．(3，2) B．(2，－3)‎ C．(2，3) D．(－2，－3)‎ ‎2．(来宾中考)将点P(－2，3)向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是(C)‎ A．(－5，－3) B．(1，－3) ‎ C．(－1，－3) D．(5，－3)‎ ‎3．已知点P1(－4，3)和P2(4，－3)，则P1和P2(A)‎ A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．不存在对称关系 ‎4．(教材9上P70习题T4变式)(遵义期中)点A(a－1，－4)与点B(－3，1－b)关于原点对称，则a＋b的值为1.‎ ‎5．(宁夏中考)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)．‎ ‎(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1并写出B1的坐标；‎ ‎(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.‎ 解：(1)△A1B1C1如图所示．点B1(－3，3)．‎ ‎(2)△A2B2C2如图所示．‎ 知识点2　平面直角坐标系中的中心对称 ‎6．(聊城中考改编)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于原点对称，则点A1，B1，C1的坐标分别为(－2，－4)，(－1，－1)，(－3，1)．‎ ‎7. (遵义三十一中期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，‎ ‎(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；‎ ‎(2)画出△ABC绕原点O旋转180°后的△A2B2C2.‎ 26‎ ‎ 解：(1)如图，△A1B1C1为所求．‎ ‎ (2)如图，△A2B2C2为所求．‎ 易错点　旋转中心不一定是原点 ‎8．(济宁中考)如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为(D)‎ A．(－a，－b)‎ B．(－a，－b－1)‎ C．(－a，－b＋1)‎ D．(－a，－b＋2)‎ ‎02　　中档题 ‎9．(教材9上P69练习T3变式)如图，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标为(A)‎ A．(－3，－2)‎ B．(－3，2)‎ C．(－2，3)‎ D．(2，3)‎ ‎10．(贵港中考)在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(－2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在(A)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎11．(杭州中考)在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)．若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为(－5，－3)．‎ ‎12．(毕节中考)在下列的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.‎ ‎(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；‎ ‎(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；‎ ‎(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．‎ 26‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图所示，点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，1)．‎ ‎(3)如图所示，点B2的坐标为(3，－5)，点C2的坐标为(3，－1)．‎ ‎03　　综合题 ‎13．(南宁中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．‎ ‎(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；‎ ‎(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；‎ ‎(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．‎ ‎ ‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图所示．‎ ‎(3)如图所示，P(2，0)．作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点．‎ 26‎ 小专题6　旋转的相关计算与证明 ‎①等腰(等边)三角形旋转模型图 如图，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，‎ AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.‎ 结论：△BAD≌△CAE.　　②等腰直角三角形旋转模型图(共顶点旋转，伴随全等)‎ 如图，△ABC，△ADE是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.‎ 结论：△ACD≌△ABE.　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为(C)‎ A．44 B．43 C．42 D．41‎ ‎ ‎ 第1题图 　　第2题图 ‎2．(青海中考)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，Rt△OEF绕点O旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的(A)‎ A. B. C. D. ‎3．(遵义中考)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为(C)‎ A．2－　　　　　 B. C.－1 D．1‎ ‎ ‎ 第3题图 　　第4题图 26‎ ‎4．(黔西南中考)如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于点F，若AB＝1，BC＝，则AF的长度为(A)‎ A．2－ B. C. D.－1‎ ‎5．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝．‎ ‎6. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.若AB＝3，BC＝4，则BD＝5.‎ ‎ ‎ 第6题图 　　第7题图 ‎7．(遵义汇川区月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°，得到等腰Rt△AD1E1，连接BD1，CE1.‎ ‎(1)∠CAD1＝45°；‎ ‎(2)求证：BD1＝CE1.‎ 解：在△ACE1和△ABD1中，‎ ‎∴△ACE1≌△ABD1(SAS)．‎ ‎∴BD1＝CE1.‎ ‎8．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.‎ ‎(1)求证：AD＝DE；‎ ‎(2)求∠DCE的度数；‎ ‎(3)若BD＝1，求AD，CD的长．‎ 解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE.‎ 26‎ ‎∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°.‎ ‎∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°.‎ ‎∴∠DAE＝60°.∴△ADE为等边三角形．‎ ‎∴AD＝DE.‎ ‎(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，‎ ‎∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°.‎ ‎(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°.‎ ‎∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°.‎ 又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2.‎ ‎∴AD＝DE＝2.‎ 在Rt△DCE中，DC＝＝＝.‎ ‎9．请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边△ABC的边长．‎ 李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图2)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．‎ 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．‎ 解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，‎ 则△BPC≌△BP′A.‎ ‎∴AP′＝PC＝1，BP′＝BP＝.‎ 连接PP′，在Rt△BP′P中，‎ ‎∵BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，‎ ‎∴PP′＝2，∠BP′P＝45°.‎ 在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP＝，‎ ‎∵12＋22＝()2，即AP′2＋PP′2＝AP2.‎ ‎∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°.‎ ‎∴∠AP′B＝135°.‎ ‎∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.‎ 过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EP′B＝45°.‎ ‎∴EP′＝BE＝1.‎ ‎∴AE＝2.‎ ‎∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝.‎ ‎∴∠BPC＝135°，正方形ABCD边长为.‎ ‎10．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB、BC分别交于点M、H.‎ 26‎ ‎　‎ ‎(1)求证：CF＝CH；‎ ‎(2)如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．‎ 解：(1)证明：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠ACF＋∠ECB＝∠DCH＋∠ECB, ‎ ‎∴∠ACF＝∠DCH.‎ 又∵AC＝CE＝CB＝CD，‎ ‎∴∠A＝∠D＝45°.‎ ‎∴△ACF≌△DCH.‎ ‎∴CF＝CH.‎ ‎(2)四边形ACDM是菱形．‎ 证明： ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∠BCE＝45°，‎ ‎∴∠ACF＝45°，∠DCH＝45°.‎ 又∵∠E＝∠B＝45°， ‎ ‎∴∠ACF＝∠E, ∠DCH＝∠B.‎ ‎∴AC∥MD，CD∥AM .‎ ‎∴四边形ACDM是平行四边形．‎ 又∵AC＝CD，‎ ‎∴四边形ACDM是菱形．‎ 26‎ ‎23.3　课题学习　图案设计 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　基础题 知识点1　分析图案 ‎1．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是(B) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．如图所示，这个图案可以看作是以“基本图案”——原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过________变换得到(C)‎ A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．对称和旋转 ‎3．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为(C)‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ 知识点2　设计图案 ‎4．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中设计符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．‎ ‎(1)是轴对称图形又是中心对称图形；‎ ‎(2)是轴对称图形但不是中心对称图形；‎ ‎(3)是中心对称图形但不是轴对称图形．‎ 26‎ ‎　(1)‎ ‎　(2)‎ ‎　(3)‎ 解：答案不唯一，图略．‎ ‎02　　中档题 ‎5．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°，180°，270°，并画出它在各象限内的图形．‎ 解：如图所示．‎ ‎6．如图1是由2个白色和2个黑色全等正方形组成的“L”型图案．请你分别在图2，图3上按下列要求画图：‎ ‎(1)在图2中，添1个白色或黑色正方形，使它成中心对称图案；‎ ‎(2)在图3中，先改变1个正方形的位置，再添1个白色或黑色正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案．‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图所示．‎ ‎03　　综合题 ‎7．山西民间建筑的门窗图案中，隐含着丰富的数学艺术之美．图1是其中一个代表，该窗格图案是以图2为基本图案经过图形变换得到的．图3是图2放大后的一部分，虚线给出了作图提示．请用圆规和直尺画图．‎ ‎(1)根据图2将图3补充完整；‎ ‎(2)在图4的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称或中心对称图形．‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图所示．‎ 26‎ 章末复习(三)　旋转 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎01　　分点突破 知识点1　中心对称与中心对称图形(遵义2016T23、2014T2)‎ ‎1. (遵义汇川区月考)下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(B)‎ ‎2．(遵义仁怀市期末)既是轴对称，又是中心对称图形的是(A)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．正三角形 D．等腰梯形 知识点2　平面直角坐标系与旋转 ‎3．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点 O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(C)‎ A．30°‎ B．45°‎ C．90°‎ D．135°‎ ‎ 4.点P(ac2，)在第二象限，点Q(a，b)关于原点对称的点在(A)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．‎ ‎(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；‎ ‎(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2.‎ 解：(1)如图．A1(2，－4)．‎ ‎(2)如图．‎ 知识点3　旋转中的计算问题(遵义2017T26、2015T12、2014T10)‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是(B)‎ 26‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎ ‎ 第6题图 　　第7题图 ‎7．(天津中考)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(C)‎ A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC ‎8．(徐州中考)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.‎ ‎(1)线段DC＝4；‎ ‎(2)求线段DB的长度．‎ 解：过点D作DE⊥BC于点E.‎ ‎∵AC绕点A逆时针旋转60°到AD，‎ ‎∴AC＝AD＝4，∠CAD＝60°.‎ ‎∴△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD＝60°，DC＝4.‎ 又∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°.‎ ‎∴在Rt△CDE中，DE＝DC＝2.‎ ‎∴CE＝＝＝2.‎ ‎∴BE＝BC－CE＝3－2＝.‎ ‎∴在Rt△BDE中，‎ BD＝＝＝.‎ ‎02　　中考题型演练 ‎9．(聊城中考)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是(C)‎ A．∠BCB′＝∠ACA′‎ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′‎ ‎10．(河南中考)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，‎ 26‎ 则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)‎ A．(1，－1) B．(－1，－1)‎ C．(，0) D．(0，－)‎ ‎ ‎ 第10题图　　 　第11题图 ‎11．(辽阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C，连接A1A，则△A1B1A的面积为1．‎ ‎12．(威海中考)如图，A点的坐标为(－1，5)，B点的坐标为(3，3)，C点的坐标为(5，3)，D点的坐标为(3，－1)，小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．‎ ‎ ‎ 第12题图 　　第13题图 ‎13．(福州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是＋1．‎ ‎14．(金华中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．‎ ‎(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；‎ ‎(2)作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．‎ 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．‎ ‎(2)∵点A′坐标为(－2，2)，‎ ‎∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位长度，最多平移6个单位长度，‎ 即4＜a＜6.‎ ‎15．(莱芜中考)已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．‎ ‎(1)如图1所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)如图2所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．‎ 26‎ 解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.延长DB交AE于点H.‎ 证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝BC，EC＝DC.‎ 在Rt△ACE和Rt△BCD中，‎ ‎∴Rt△ACE≌Rt△BCD.‎ ‎∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC.‎ ‎∵∠BCD＝90°，∴∠DHE＝90°.‎ ‎∴AE⊥DB.‎ ‎(2)DE＝AF，DE⊥AF.‎ 证明：设DE与AF交于点N，‎ 由题意得，BE＝AD，‎ ‎∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，‎ ‎∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，‎ ‎∴∠EBD＝∠ADF.在△EBD和△ADF中，‎ ‎∴△EBD≌△ADF(SAS)．‎ ‎∴DE＝AF，∠E＝∠FAD.‎ ‎∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠FAD＝45°.‎ ‎∴∠AND＝90°，即DE⊥AF.‎ 26‎