第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质
24．1.1 圆
01 基础题
知识点1 圆的有关概念
圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
如图，在圆O中，弦有AC，AB，半径有OA，OB，OC，直径是AB，，是优弧，劣弧有，，半圆是，OA＝OB＝OC．
1．下列条件中，能确定一个圆的是(C)
A．以点O为圆心
B．以2 cm长为半径
C．以点O为圆心，以5 cm长为半径
D．经过点A
2．下列命题中正确的有(B)
①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．如图所示，在⊙O中，弦有AC，AB，直径是AB，优弧有，，劣弧有，.
第3题图 第4题图
4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为5．
知识点2 圆中的半径相等
5．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是(A)
A．40° B．30° C．20° D．10°
第5题图 第6题图
6．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD等于(D)
A．45° B．60°
70
C．90° D．30°
7．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE，求证：B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
证明：∵BD，CE是两条高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵△BEC为直角三角形，点O为BC的中点，
∴OE＝OB＝OC＝BC.
同理：OD＝OB＝OC＝BC.
∴OB＝OC＝OD＝OE.
∴B，C，D，E在以O为圆心的同一个圆上．
8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA)．
∴OE＝OF.
∵CE＝CO＋OE，BF＝BO＋OF，
∴CE＝BF.
70
02 中档题
9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)
A.r
B.r
C．r
D．2r
12．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0CD
B．AB＝CD
C．ABr；(2)点P在圆上⇨d＝r；(3)点P在圆内⇨d＜r．
1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C)
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
2．(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知⊙O半径为3 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上．
4．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6__cm．
5．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
解：(1)在圆内．(2)在圆上．(3)在圆外．
知识点2 三角形的外接圆与外心
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点；一个三角形的外接圆有1个，一个圆的内接三角形有无数个．
6．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是(C)
A．三角形的外心在三角形外
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．等腰三角形的外心在三角形内
7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
第7题图 第8题图
8．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．
知识点3 反证法
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
70
10．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
易错点 概念不清
11．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是②(填序号)．
02 中档题
12．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P(D)
A．在⊙O的内部
B．在⊙O的外部
C．在⊙O上
D．在⊙O上或⊙O的内部
13．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)
A．两条直线相交至少有两个交点
B．两条直线相交没有两个交点
C．两条直线平行时也有一个交点
D．两条直线平行没有交点
14．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．
15．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．
16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．
解：由勾股定理，得AB＝＝5，
由面积公式，得CD＝2.4，
∴d＝CD＝2.4.
∴d>R1，d＝R2，d
微信/支付宝扫码支付