第二十五章 概率初步
25．1 随机事件与概率
25．1.1 随机事件
01 基础题
知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定性事件．有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件．
1．(新疆中考)下列事件中，是必然事件的是(B)
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．(铁岭中考)下列事件中，是不可能事件的是(C)
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上
B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0
D．明天会下雨
3．下列事件中，是随机事件的是(D)
A．抛掷一块石头，石头终将落地
B．从装有黑球、白球的袋里摸出红球
C．太阳绕着地球转
D．打开数学课本时刚好翻到第127页
4．(泰州中考)“一个不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为4”，这个事件是不可能事件．(填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)
知识点2 事件发生的可能性大小
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的．
5．九年级(8)班共有学生54人，其中男生有30人，女生有24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性大．(填“大”或“小”)
6．若从一副扑克牌中任意抽出一张，则摸到红桃的可能性＝摸到黑桃的可能性．(填“>”“＝”或“，∴建议在答第一道题时使用“求助”．
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25.3 用频率估计概率
01 基础题
知识点1 频率与概率的关系
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(D)
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是(A)
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10 000次硬币与抛掷12 000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50 000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2 000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
知识点2 用频率估计概率
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性，因此，我们用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
3．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是(D)
试验种子
粒数n(粒)
50
200
500
1 000
3 000
发芽频数m
45
188
476
951
2 850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
A.0.8 B．0.85
C．0.9 D．0.95
4．(兰州中考)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为(D)
A．20 B．24
C．28 D．30
5．(营口中考)在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是15个．
6．(黔东南中考)黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800 kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是560kg.
7．在一个不透明的口袋里装有若干个质地相同的红球，为了估计袋中红球的数量，某学习小组做了摸球试验，他们将30个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，多次重复摸球．下表是多次活动汇总后统计的数据：
摸球的次数m
150
200
500
900
1 000
1 200
摸到白球的次数n
51
64
156
275
303
361
20
摸到白球的频率
0.34
0.32
0.312
0.306
0.303
0.301
(1)请估计：当摸球的次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.3；假如你去摸一次，你摸到红球的概率是0.7；(精确到0.1)
(2)试估算口袋中红球有多少个？
解：设口袋中红球有x个，由题意，得
0．7＝，
解得x＝70.
∴估计口袋中红球有70个．
02 中档题
8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是(D)
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量的摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量的摸球试验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中随机摸出一球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是(B)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
10．(教材9上P148习题T5变式)为了估计鱼池里有多少条鱼，先捕上100条做上记号，然后放回到鱼池里，过一段时间，待有记号的鱼完全混合鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带记号的鱼有20条，则可判断鱼池里大约有1__000条鱼．
11．(宿迁中考)如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是1m2.
12．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
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(1)这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9；
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵．
①估计这种树苗成活4.5万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
解：18÷0.9－5＝15(万棵)．
答：该地区还需移植这种树苗约15万棵．
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小专题13 概率的应用
1．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字－1、0、1的乒乓球(形状、大小一样)，先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个乒乓球，记下数字．
(1)请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率；
(2)求两次取出乒乓球上的数字之积等于0的概率．
解：(1)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次数字相同的有3种，
∴P(两次数字相同)＝＝.
(2)数字之积为0有5种情况，
∴P(两数之积为0)＝.
2．脸谱是中国戏曲男演员脸部的彩色化妆．这种脸部化妆主要用于净(花脸)和丑(小丑)，表现人物的性格和特征．如图是四张脸谱，其中有两张相同的表现忠勇侠义的净角姜维，一张表现直爽刚毅的净角包拯，一张表现阴险奸诈的丑角夏侯婴．随机抽取两张，求获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的概率．
解：分别用A，B，C表示姜维、包拯、夏侯婴的脸谱，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱的结果有4种，
∴P(获得一张姜维脸谱和一张包拯脸谱)＝＝.
3．(南京中考)全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；
(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中至少有一个孩子是女孩的结果有3种．
∴P(至少有一个孩子是女孩)＝.
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4．(衡阳中考)为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
解：(1)P(恰好抽中“三字经”)＝.
(2)画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果有1种．
∴P(恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”)＝.
5.小励同学有面额10元、20元、50元和100元的纸币各一张，分别装入大小外观完全一样的四个红包中，每个红包里只装入一张纸币，若小励从中随机抽取两个红包．
(1)请用树状图或者列表的方法，求小励取出纸币的总额为70元的概率；
(2)求小励取出纸币的总额能购买一件价格为120元文具的概率．
解：(1)画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中取出纸币的总额为70元的结果有2种．
∴P(取出纸币的总额为70元)＝＝.
(2)∵其中取出纸币的总额大于或等于120元的结果有4种，
∴P(能购买一件价格为120元文具)＝＝.
6．(白银中考)在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
解：(1)列表如下：
乙
甲
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
20
5
11
12
13
14
由表格可知，共有12种等可能的结果．
(2)由表可知，两数之和小于12的结果有6种，两数之和大于12的结果有3种，
∴P(李燕获胜)＝＝， P(刘凯获胜)＝＝.
7．(遵义中考)如图，3×3的方格分为上、中、下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A，B，C中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格D，E，F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图．
(1)若乙固定在E处，移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是；
(2)若甲、乙均可在本层移动．
①用树状图或列表法求出黑色方块所构成的拼图是轴对称图形的概率；
②黑色方块所构成的拼图是中心对称图形的概率是．
解：画树状图如下：
由树状图可知，黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率为.
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章末复习(五) 概率初步
01 分点突破
知识点1 判断事件类型
1．(葫芦岛中考)下列事件是必然事件的是(D)
A．乘坐公共汽车恰好有空座
B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话
D．三角形内角和等于180°
2．(随州中考)“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件(从“必然”“随机”“不可能”中选一个)．
知识点2 概率计算
3．(黔西南中考)一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中有8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是(B)
A. B. C. D.
4．(辽阳中考)如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是(B)
A. B.
C. D.
知识点3 用列表法或树状图求概率
5．(大庆中考)将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为(C)
A. B. C. D.
6．(泰安中考)袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为(B)
A. B. C. D.
7．(河南中考)如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为(C)
A. B. C. D.
8．(黄石中考)甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a，b，则a＋b＝9的概率为.
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9．(遵义中考)有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3 cm、7 cm、9 cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2 cm、4 cm、6 cm、8 cm；盒子外有一张写着5 cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
(1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率．
解：(1)画树状图：
共有12种等可能的结果，其中能组成三角形的有7种，
∴P(能组成三角形)＝.
(2)∵能与5 cm组成直角三角形的有1种，
∴P(能组成直角三角形)＝.
知识点4 用频率估计概率
10．(贵阳中考)袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有3个．
02 中考题型演练
11．(南宁中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为(C)
A. B. C. D.
12．(赤峰中考)小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，那么飞镖落在阴影部分的概率为(B)
A. B.
C. D.
13．(淄博中考)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m－n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是(B)
A. B. C. D.
14．(仙桃中考)有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．
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15．(娄底中考)在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是．
16．(鞍山中考)为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生(3名男生，2名女生)获奖．
(1)若老师从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为；
(2)若老师从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中选出1名男生和1名女生的结果有12种．
∴P(恰好选出1名男生和1名女生)＝＝.
17．(贵阳中考)2017年5月25日，中国国际大数据产业博览会在贵阳会展中心开幕，博览会设了编号为1～6号展厅共6个，小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅：第一天从6个展厅中随机选择一个，第二天从余下的5个展厅中再随机选择一个，且每个展厅被选中的机会均等．
(1)第一天，1号展厅没有被选中的概率是；
(2)利用列表或画树状图的方法求两天中4号展厅被选中的概率．
解：列表如下：
第二天
第一天
1
2
3
4
5
6
1
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，5)
(4，6)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，6)
6
(6，1)
(6，2)
(6，3)
(6，4)
(6，5)
由表格可知，总共有30种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两天中4号展厅被选中的结果有10种，所以P(4号展厅被选中)＝＝.
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