2017-2018学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21
3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为（ ）
A．I＝ B．I＝ C．I＝ D．I＝
4．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（ ）米．
A．1 B．2 C．3 D．5
5．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．若关于x的方程x2+3x+k＝0的一个根是1，则k的值为 ．
8．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 ．
9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 ．
10．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足 ．
11．如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是 ．（填序号即可）
①△BEF∽△CHE
②AG＝1
③EH＝
④S△BEF＝3S△AGH
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形．
15．如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，原方程总有实数根；
（2）若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值．
17．小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别．
（1）小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少？
（2）请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置；
（2）求路灯OC的高．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（3，0），C（1，﹣1），AC交x轴于点P．
（1）∠ACB的度数为 ；
（2）P点坐标为 ；
（3）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形．
20．某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若AB＝6，BC＝8，求AF．
22．如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 ，k的值为 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围．
六、解答题（本大题共12分）
23．阅读下列材料，并按要求解答．
【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．
【性质探究】
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．
（1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．
2017-2018学年江西省九江市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论．
【解答】解：从上往下看该几何体的俯视图是D．
故选：D．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，熟知俯视图的作法是解答此题的关键．
2．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（ ）
A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21
【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2+4x＝5，
∴x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为（ ）
A．I＝ B．I＝ C．I＝ D．I＝
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（6，2）代入可得k的值，进而可得函数解析式．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，
∵过（6，2），
∴k＝6×2＝12，
∴I＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
4．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（ ）米．
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
5．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y＝的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE＝，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得出BF＝BE＝，然后证明△ADF≌△ABF，即可得出DF＝BF＝．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD中点，
∴∠BAE＝90°，AE＝AD＝AB＝1，
∴BE＝＝．
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝＝，
∴BF＝2EF，
∵BF+EF＝BE，
∴BF＝BE＝．
在△ADF与△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF＝BF＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出BF＝BE＝是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．若关于x的方程x2+3x+k＝0的一个根是1，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x＝1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+3x+k＝0得到1+3+k＝0，解得k＝﹣4．
故本题答案为k＝﹣4．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
8．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 5 ．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5个；
故答案为：5．
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 10% ．
【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论．
【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足 a≥1 ．
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；
（2）当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
所以a的取值范围为a≥1．
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
11．如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为 8 ．
【分析】过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，由矩形的性质可知：S△AOC＝S矩形OABC＝16，从而可求出△ODE的面积，利用反比例函数中k的几何意义即可求出k的值．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，
由矩形的性质可知：S△AOC＝S矩形OABC＝16，
又∵ED是△ACO的中位线，
∴ED＝CO，
∴S△ODE＝S△ACO＝4
∴|k|＝4，
∵k＞0
∴k＝8，
故答案为：8
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出△ODE的面积，本题属于中等题型．
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是 ①②③ ．（填序号即可）
①△BEF∽△CHE
②AG＝1
③EH＝
④S△BEF＝3S△AGH
【分析】依据∠B＝∠ECH＝60°，∠BEF＝CHE，即可得到△BEF∽△CHE；依据△AGH∽△CEH，可得，即可得出AG＝CE＝1；过F作FP⊥BC于P，依据EF＝，，即可得到EH＝EF＝；依据S△CEH＝9S△AGH，S△CEH＝S△BEF，可得9S△AGH＝S△BEF，进而得到S△BEF＝4S△AGH．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∠FEG＝60°，
∴∠B＝∠ECH＝60°，∠BEF＝CHE＝120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，故①正确；
∴＝，
又∵BC＝6，E为BC中点，BF＝2，
∴，即CH＝4.5，
又∵AC＝BC＝6，
∴AH＝1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴，
∴AG＝CE＝1，故②正确；
如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP＝30°，
∴BP＝BF＝1，PE＝3﹣1＝2，PF＝，
∴Rt△EFP中，EF＝＝，
又∵，
∴EH＝EF＝，故③正确；
∵AG＝CE，BF＝CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH＝9S△AGH，S△CEH＝S△BEF，
∴9S△AGH＝S△BEF，
∴S△BEF＝4S△AGH，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵△＝49﹣48＝1，
∴x＝，
则x1＝2，x2＝1.5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理推知△ACD为等边三角形，则平行四边形ACDE是菱形．
【解答】证明：∵AE∥CD，AC∥ED，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC＝CD，
∴平行四边形ACDE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形ACDE是平行四边形是解决问题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．
【分析】（1）连接AC、BD交于点O，作直线OM交AD于点P，点P即为所求；
（2）在（1）的基础上，连接PB交AC与K，作直线DK交AB于点Q，点Q即为所求；
【解答】解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，三角形的中线交于一点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，原方程总有实数根；
（2）若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值．
【分析】（1）利用根的判别式证明即可；
（2）利用因式分解法求出两个解，然后根据k为正整数写出k的值即可．
【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac，
＝（k+2）2﹣4×1×2k，
＝k2+4k+4﹣8k，
＝k2﹣4k+4，
＝（k﹣2）2，
∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何值，原方程总有实数根；
（2）解：因式分解得，（x﹣2）（x﹣k）＝0，
于是得，x﹣2＝0，x﹣k＝0，
x1＝2，x2＝k，
∵原方程的两实根都小于4，
∴k＜4，
∵k为正整数，
∴k＝1、2、3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，难点在于（2）求出方程的两个根．
17．小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别．
（1）小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少？
（2）请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率；
（2）直接列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵有豆沙包、肉包各1个，蜜枣包2个，
∴随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉包的概率是：；
（2）如图所示：
，
一共有12种可能，取出的两个都是萝卜包的有2种，
故取出的两个都是萝卜包概率为：＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置；
（2）求路灯OC的高．
【分析】（1）作射线PE，AF交于点O，点O即为所求；
（2）设OC＝x．由AE∥OC，可得＝，推出PC＝x，AC＝x﹣1.5，再由BF∥OC
，可得＝，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）光源O的位置如图所示；
（2）设OC＝x．
∵AE∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝x，
∴AC＝x﹣1.5，
∵BF∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4.5，
答：路灯OC的高为4.5米．
【点评】本题考查相似三角形的应用、中心投影、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（3，0），C（1，﹣1），AC交x轴于点P．
（1）∠ACB的度数为 45° ；
（2）P点坐标为 （，0） ；
（3）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形．
【分析】（1）由题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，即可确定出所求角度数；
（2）利用待定系数法求出直线AC解析式，即可确定出P坐标；
（3）以为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，画出相应图形，如图所示．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°；
（2）由题意得：A（2，2），C（1，﹣1），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
把A与C坐标代入得：，
解得：，即直线AC解析式为y＝3x﹣4，
令y＝0，得到x＝，
则P的坐标为（，0）；
故答案为：（，0）；
（3）如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2为所求三角形．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元∕件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得，
解得：，
则y＝﹣10x+800；
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF＝BE，AF与BE交于点G，∠AGB＝60°．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若AB＝6，BC＝8，求AF．
【分析】（1）欲证明AF＝DE，只要证明四边形ADEF是平行四边形即可；
（2）连接BD．利用勾股定理求出BD，再证明△BDE是等边三角形即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF＝DE．
（2）连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，
∵BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB＝∠BED＝60°，
∵AF＝DE＝BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴AF＝BE＝BD＝10．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）填空：n的值为 3 ，k的值为 12 ；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y＝，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB＝，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
（3）根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y＝x﹣3，
可得n＝×4﹣3＝3；
把点A（4，3）代入反比例函数y＝，
可得3＝，
解得k＝12．
故答案为：3，12．
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴相交于点B，
∴x﹣3＝0，
解得x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE＝4，AE＝3，OB＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝4﹣2＝2，
在Rt△ABE中，
AB＝＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF＝BE＝2，DF＝AE＝3，
∴OF＝OB+BC+CF＝2++2＝4+，
∴点D的坐标为（4+，3）．
（3）当y＝﹣3时，﹣3＝，
解得x＝﹣4．
故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．
六、解答题（本大题共12分）
23．阅读下列材料，并按要求解答．
【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A＝∠B＝∠ECF＝90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图．
【性质探究】
性质1：如图①，若EC＝FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1．
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，BC＝2，AB＝5．求BD．
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF．交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点．
（1）请你完成性质1的证明过程；
（2）请分别解答应用1，应用2提出的问题．
【分析】（1）根据AAS即可证明；
（2）①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．首先证明符合“k模型”，利用性质2根据相似三角形的性质即可解决问题；
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM＝AH，AH＝EN，推出FM＝EN，再证明△FKN≌△EKN即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠A＝∠ECF＝∠B＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠F＝90°，
∴∠ACE＝∠F，∵EC＝CF，
∴△ACE≌△BFC．
（2）①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H．
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠CHB＝90°，
∴符合“K”型图，
∴△ACD∽△CBH，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵CH＝2，BH＝4，
∴DH＝4，
在Rt△BDH中，BD＝＝4．
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N．
由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，
∴FM＝AH，AH＝EN，
∴FM＝EN，
∵∠FKM＝∠EKN，∠M＝∠ENK＝90°，
∴△FKN≌△EKN，
∴FK＝KE，
∴K为EF中点．
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造模型解决问题，属于中考压轴题．
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