2017-2018学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．cos30°＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
4．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（ ）
A．50（1+x）2＝60
B．50（1+x）2＝120
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120
D．50（1+x）+50（1+x）2＝120
5．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
7．对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线与x轴无交点
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
8．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG＝2：3，则下列结论正确的是（ ）
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“小于3”的概率为
12．如图，已知斜坡 AB 的坡度为 1：3．若坡长 AB＝10m，则坡高 BC＝ m．
13．如图，在▱ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
14．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣1）2017﹣（）﹣2•sin60°+|3﹣|
（2）解方程：2（x﹣2）2＝x2﹣4
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AE∥CD，CE∥AB．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
（2）连接BE，若∠BAC＝30°，CE＝1，求BE的长．
17．（8分）据新浪网调查，在第十二届全国人大二中全会后，全国网民对政府工作报告关注度非常高，大家关注的网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐、及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图l所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2所示，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求出图l中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；
（2）为了深入探讨政府工作报告，新浪网邀请成都市5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表，请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是甲和乙的概率．
18．（8分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
20．（10分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1、x2满足x12+x22＝14，则m＝
22．如图，由点P（14，1），A（a，0），B（0，a）（0＜a＜14）确定的△PAB的面积为18，则a的值为 ．
23．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
24．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝ ．
25．如图，已知正方形纸片ABCD的边是⊙O半径的4倍，点O是正方形ABCD的中心，将纸片保持图示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，则tan∠A1EF的值为 ．
二、解答题（共30分）
26．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．
27．（10分）如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝4S△EDF，求ED的长；
（2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝2，CE＝，求的值．
28．（12分）如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E
的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2017-2018学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．cos30°＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据cos30°＝解答即可．
【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，cos30°＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数，只要熟记cos30°＝便可轻松解答．
2．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
【分析】根据各知识点利用排除法求解．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
B、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
D、两条直径一定互相平分，但是不一定垂直，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定、正方形的判定、矩形的判定、垂径定理，关键是根据知识点进行判断．
4．某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（ ）
A．50（1+x）2＝60
B．50（1+x）2＝120
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120
D．50（1+x）+50（1+x）2＝120
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产120台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：50（1+x），
三月份生产机器为：50（1+x）2；
又知二、三月份共生产120台；
所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2＝120．
故选：D．
【点评】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
5．函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：3﹣x＞0，
解得x＜3．故选D．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据切线的性质可判断∠OBA＝90°，再由∠BAO＝40°可得出∠O＝50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠O＝50°，
∵OB＝OC（都是半径），
∴∠OCB＝（180°﹣∠O）＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出∠OBA为直角，△OBC是等腰三角形，难度一般．
7．对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线与x轴无交点
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断；
【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，
∵二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2），
∵抛物线顶点（1，2），开口向上，
∴抛物线与x轴没有交点，
故A、B、C正确
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k），解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵＝＜＜，
∴选择甲参赛，
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
10．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG＝2：3，则下列结论正确的是（ ）
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
【分析】位似是特殊的相似，相似图形对应边的比相等．
【解答】解：∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似，
∴DE：MN＝AB：FG＝2：3，
∴3DE＝2MN．
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例得DE：MN＝2：3．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“小于3”的概率为
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：根据题意可得：标号小于3有1，2，两个球，共3个球，
从中随机摸出一个小球，其标号小于3的概率为是：．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，难度适中．
12．如图，已知斜坡 AB 的坡度为 1：3．若坡长 AB＝10m，则坡高 BC＝ m．
【分析】设BC＝xm，根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设BC＝xm，
∵斜坡 AB 的坡度为 1：3，
∴AC＝3x，
由勾股定理得，x2+（3x）2＝102，
解得，x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、灵活运用勾股定理是解题的关键．
13．如图，在▱ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 47° ．
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠A＝43°，根据直角三角形的两个锐角互余得到∠AED＝47°，再利用对顶角相等即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝43°．
∵DF⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣43°＝47°，
∴∠BEF＝∠AED＝47°．
故答案是：47°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等的性质，利用平行四边形的对角相等得出∠A＝43°是解题的关键．
14．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为 10m ．
【分析】根据平行的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．
【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，BC＝3m，EF＝6m
∴＝
∴
∴DE＝10（m）
故答案为10m．
【点评】本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出灯泡离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣1）2017﹣（）﹣2•sin60°+|3﹣|
（2）解方程：2（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】（1）根据实数的运算解答即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣4；
（2）2（x﹣2）2＝x2﹣4
（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
解得：x1＝2，x2＝6．
【点评】（1）考查了特殊三角函数值；（2）本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
16．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AE∥CD，CE∥AB．
（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．
（2）连接BE，若∠BAC＝30°，CE＝1，求BE的长．
【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质，得出CD＝AB＝AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）依据∠ABC＝60°，DB＝DC，可得△BCD是等边三角形，依据∠BAE＝60°，∠ABE＝30°，可得△ABE是直角三角形，最后根据CE＝1＝AE，即可得到BE的长．
【解答】解：（1）∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）∵∠BAC＝30°，四边形ADCE为菱形，
∴∠BAE＝60°＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝60°，而DB＝DC，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DCB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
又∵BC＝CD＝CE，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴△ABE中，∠AEB＝90°，
又∵AE＝CE＝1，
∴AB＝2，
∴BE＝＝．
【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形ADCE是菱形是解决问题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
17．（8分）据新浪网调查，在第十二届全国人大二中全会后，全国网民对政府工作报告关注度非常高，大家关注的网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐、及其它共五类，且关注五类热点问题的网民的人数所占百分比如图l所示，关注该五类热点问题网民的人数的不完整条形统计如图2所示，请根据图中信息解答下列问题．
（1）求出图l中关注“反腐”类问题的网民所占百分比x的值，并将图2中的不完整的条形统计图补充完整；
（2）为了深入探讨政府工作报告，新浪网邀请成都市5名网民代表甲、乙、丙、丁、戊做客新浪访谈，且一次访谈只选2名代表，请你用列表法或画树状图的方法，求出一次所选代表恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据单位“1”，求出反腐占的百分比，得到x的值；根据环保人数除以占的百分比得到总人数，求出教育与反腐及其他的人数，补全条形统计图即可；
（2）画出树状图列出所有等可能结果，找到一次所选代表恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：（1）1﹣15%﹣30%﹣25%﹣10%＝20%，所以x＝20，
总人数为：140÷10%＝1400（人）
关注教育问题网民的人数1400×25%＝350（人），
关注反腐问题网民的人数1400×20%＝280（人），
关注其它问题网民的人数1400×15%＝210（人），
如图2，补全条形统计图，
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能结果，其中一次所选代表恰好是甲和乙的有2种结果，
所以一次所选代表恰好是甲和乙的概率为＝．
【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及列表法与树状图法，解题的关键是读懂题意，从统计图上获得信息数据来解决问题．
18．（8分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）
【分析】本题要求的实际是BC和DF的长度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函数求出BC、DF的长．
【解答】解：Rt△ABC中，斜边AB＝200米，∠α＝16°，BC＝AB•sinα＝200×sin16°≈54（m），
Rt△BDF中，斜边BD＝200米，∠β＝42°，
DF＝BD•sinβ＝200×sin42°≈132，
因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF＝186（米）．
答：缆车垂直上升了186米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法可求出直线l的解析式，根据点A为线段MN的中点可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可求出S△OBC的面积，设点P的坐标为（a，﹣ a+4），根据三角形的面积公式结合S△ONP的面积即可求出a值，进而即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（0，4）代入y＝mx+n，
得，解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+4．
∵点A为线段MN的中点，
∴点A的坐标为（，2）．
将A（，2）代入y＝，
得k＝×2＝3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵S△OBC＝|k|＝，
∴S△ONP＝3S△OBC＝．
∵点N（0，4），
∴ON＝4．
设点P的坐标为（a，﹣ a+4），则a＞0，
∴S△ONP＝ON•a＝2a，
∴a＝，
则﹣a+4＝﹣×+4＝1，
∴点P的坐标为（，1）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
20．（10分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；
（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．
【分析】（1）如图1中，先判断出∠A+∠BOF＝90°，再判断出∠COD＝∠EOD＝∠BOF，即可得出∠A+∠COD＝90°；
（2）如图2中，连接OC，首先证明FC＝FH，再证明点K在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题；
（3）先求出CH＝2CG＝8，进而用tan∠CMH＝＝tan∠HDC＝，得出，求出MH＝，进而CM＝，即可得出OD＝OF＝，再求出OG＝MH＝，进而得出FG＝OF﹣OG＝3，再根据勾股定理得，CF＝5，借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠BOF＝90°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠COD＝∠EOD＝∠BOF，
∴∠A+∠COD＝90°，
∴∠ACO＝9°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线，
（2）证明：如图2中，连接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG＝GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC＝FH，
∵∠CFP＝∠COE，
∵∠COD＝∠DOE，
∴∠CFP＝∠COD，
∵∠CHP＝∠COD，
∴∠CHP＝∠CFP，
∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，
∴FC＝FP＝FH，
∵DO＝OF，
∴DO+OP＝OF+OP＝FP＝CF，
即CF＝OP+DO；
（3）解：如图3，
连接CO并延长交⊙O于M，连接MH，
∴∠∠CMH＝∠CDH，∠CHM＝90°，
∵OF⊥CH于G，
∴CH＝2CG＝8，
在Rt△CHM中，tan∠CMH＝＝tan∠HDC＝，
∴，
∴MH＝，
∴CM＝＝，
∴OD＝OF＝
∵∠CGO＝∠CHM＝90°，
∴OG∥MH，
∵OC＝OM，
∴OG＝MH＝，
∴FG＝OF﹣OG＝3，
在Rt△CGF中，根据勾股定理得，CF＝＝5，
由（2）知，OP＝CF﹣OD＝5﹣＝．
【点评】本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作出辅助线是解答本题的关键．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1、x2满足x12+x22＝14，则m＝ ﹣2
【分析】由根与系数的关系可用m表示出x1+x2和x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，则可求得m的值，再代入方程进行判断求解．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），
∵x12+x22＝14，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，
当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣
、两根之积等于是解题的关键．
22．如图，由点P（14，1），A（a，0），B（0，a）（0＜a＜14）确定的△PAB的面积为18，则a的值为 3或12 ．
【分析】当0＜a＜14时，作PD⊥x轴于点D，由P（14，1），A（a，0），B（0，a）就可以表示出△ABP的面积，建立关于a的方程求出其解即可．
【解答】解：当0＜a＜14时，
如图，作PD⊥x轴于点D，
∵P（14，1），A（a，0），B（0，a），
∴PD＝1，OD＝14，OA＝a，OB＝a，
∴S△PAB＝S梯形OBPD﹣S△OAB﹣S△ADP＝×14（a+1）﹣a2﹣×1×（14﹣a）＝18，
解得：a1＝3，a2＝12；
故答案为：3或12
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，点的坐标的运用，解答时运用三角形和梯形的面积建立方程求解是关键．
23．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 4 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y＝﹣x+6时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝6，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝﹣x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣2，0），
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B（0，6），C（8，0），
∴OB＝6，AC＝，10，
∴BC＝＝10，
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP＝OB＝6，
∴PQ＝＝4．
故答案为4
【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝ ．
【分析】由题意得出BC＝1，BI＝4，则＝，再由∠ABI＝∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得＝，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB＝∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式＝＝，即可得到结果．
【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，BI＝4BC＝4，
∴＝＝，＝，
∴＝，
∵∠ABI＝∠ABC，
∴△ABI∽△CBA；
∴＝，
∵AB＝AC，
∴AI＝BI＝4；
∵∠ACB＝∠FGE，
∴AC∥FG，
∴＝＝，
∴QI＝AI＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．
25．如图，已知正方形纸片ABCD的边是⊙O半径的4倍，点O是正方形ABCD的中心，将纸片保持图示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，则tan∠A1EF的值为 ．
【分析】在RT△FMO中利用勾股定理得出AF与r的关系，设r＝6a，则x＝7a，AM＝MO＝12a，FM＝5a，AF＝FA1＝7a，利用A1N∥OM得到求出AN，NA1，再证明∠1＝∠2即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA1，EO，作OM⊥AB，A1N⊥AB，垂足分别为M、N．
设⊙O的半径为r，则AM＝MO＝2r，设AF＝FA1＝x，
在RT△FMO中，∵FO2＝FM2+MO2，
∴（r+x）2＝（2r﹣x）2+（2r）2，
∴7r＝6x，
设r＝6a则x＝7a，AM＝MO＝12a，FM＝5a，AF＝FA1＝7a，
∵A1N∥OM，
∴，
∴，
∴A1N＝a，FN＝a，AN＝a，
∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠3＝90°，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，用设未知数列方程的数学思想是解决问题的关键．
二、解答题（共30分）
26．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W＝1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，100）、（60，80）代入，得：
，
解得：，
∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；
（2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当x＝70时，W取得最大值为1800，
答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
（3）当W＝1350时，得：﹣2x2+280x﹣8000＝1350，
解得：x＝55或x＝85，
∵该抛物线的开口向下，
所以当55≤x≤85时，W≥1350，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，
∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
27．（10分）如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝4S△EDF，求ED的长；
（2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝2，CE＝，求的值．
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF＝S△DEF，则易得S△ABC＝5S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）首先判断四边形AEMF为菱形；再连结AM交EF于点O，设AE＝x，则EM＝x，CE＝8﹣x，先证明△CME∽△CBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到，设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣2，BH＝6﹣（7x﹣2）＝8﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x的值，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四边形ECBF＝4S△EDF，
∴S△ABC＝5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴＝（）2，即（）2＝，
∴AE＝2，
由折叠知，DE＝AE＝2
（2）连结AM交EF于点O，如图2，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝EM＝MF＝AF，
∴四边形AEMF为菱形，
设AE＝x，则EM＝x，CE＝8﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴＝＝，
即，
解得x＝，CM＝，
在Rt△ACM中，AM＝＝，
∵S菱形AEMF＝EF•AM＝AE•CM，
∴EF＝2×＝；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴，
∴
∴
设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣2，BH＝6﹣（7x﹣2）＝8﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴x＝
∴FH＝4x＝，BH＝8﹣7x＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6，
∴＝＝．
【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
28．（12分）如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（，0），
∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣2x+3），
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣（﹣2x+3）＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM•OC
＝×（﹣2x2+3x）×
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，即点E的坐标是（，）时，△BEC的面积最大，最大面积是．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由（2），可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣（﹣1）＝﹣
解得x＝﹣，
此时P（﹣，﹣3）；
②如图3，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣（﹣1）＝x﹣
解得x＝2，
此时P（2，﹣3）；
③如图4，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣（﹣1）＝﹣，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，2）；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣，2）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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