第16讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1.[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
[试做]
2.[2016·全国卷Ⅱ]已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
[试做]
3.[2013·全国卷Ⅱ]平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
[试做]
命题角度 圆锥曲线中的证明、范围与最值问题
(1)解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:
①证明两直线平行或垂直的方法:
a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有l1∥l2⇔k1=k2;
b.若两直线斜率均存在,则一定有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
②解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.
(2)求解范围问题的常见方法:
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤利用函数的值域求范围.
(3)求圆锥曲线面积的最值问题的方法:
①转化为面积与某参量的函数,利用函数的性质求最值;
②得到关于面积的关系式后,利用基本不等式或求导求最值;
③结合圆锥曲线的几何性质求最值.
解答1最值问题
1 已知P为椭圆C:+=1长轴上的一个动点,过点P的直线l与C交于M,N两点,点M在第一象限,且3+=0.
(1)若点N为C的下顶点,求点P的坐标;
(2)若O为坐标原点,当△OMN的面积最大时,求点P的坐标.
[听课笔记]
【考场点拨】
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:
(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等;
(2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;
(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式,利用基本不等式等求最值.
【自我检测】
已知抛物线C:y=-x2,点A,B在抛物线上,且横坐标分别为-,,点P在曲线段AB上(不包括点A,B),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP的斜率k的取值范围;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解答2范围问题
2 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为.
(1)求圆O与椭圆E的方程;
(2)设圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.
[听课笔记]
【考场点拨】
圆锥曲线的范围问题的常见解法:
(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围.
【自我检测】
已知抛物线y2=4x的焦点为F,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且+=.
(1)求B,C两点的纵坐标之积;
(2)设λ=·,求λ的取值范围.
解答3证明问题
3 已知椭圆G:+=1的左焦点为F,左顶点为A,离心率为e,点M(t,0)(t0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得
(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.
由x1·(-)=得x1=,
故|AM|=|x1+|=.
由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).
当k=时上式不成立,因此t=.
t>3等价于=
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