基础过关
1.已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).
(1)求椭圆M的长轴长;
(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:·=-.
2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.
(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;
(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.
3.已知椭圆C:+=1的左焦点为F,点M(-4,0),过M作斜率不为零的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B'.
(1)求证:动直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);
(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.
4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.
(1)过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;
(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.
能力提升
5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.
(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;
(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-20)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知点P,直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.
限时集训(十六)
基础过关
1.解:(1)由题意,设椭圆M的标准方程为+=1(a>b>0),则c2=9-5=4,又由椭圆M过点(0,2),得b=2,
所以a=2,所以椭圆M的长轴长为4.
(2)证明:椭圆M的方程为+=1,由得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-,则A(0,2),B,
所以·=(0,2)·=-,故得证.
2.解:(1)由题意得kMN=-1,若MN⊥AB,则kAB=1,
所以直线l的方程为y-(-2)=1·(x-5),
即x-y-7=0.
(2)证明:由点M在抛物线上,得抛物线的方程为y2=4x.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m≠0).将直线方程与抛物线方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.又=(x1-1,y1-2),=(x2-1,y2-2),
所以·=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4=-m·4m-4m-10+1-(8m+20)-2×4m+4=0,所以⊥.
所以点M在以AB为直径的圆上.
3.解:(1)证明:易知F(-1,0).设直线l的方程为x=my-4,与+=1联立,得(3m2+4)y2-24my+36=0,由Δ>0,得|m|>2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),B'(x2,-y2),
则
直线AB'的方程为y-y1=(x-x1),令y=0,
得x==2m·-4=2m·-4=-1,
∴动直线AB'恒过定点F(-1,0).
(2)S=|MF||y1+y2|=×=,|m|>2.
令f(t)=3t+,t>2,则f'(t)=3->0在(2,+∞)上恒成立,
∴f(t)在(2,+∞)上单调递增,∴f(t)∈(8,+∞),∴S∈,即S的取值范围为.
4.解:(1)易知切线l的斜率存在,设切点为Qx0,,由x2=4y得y'=,
∴切线l的方程为y-=(x-x0).
∵切线l过点P,∴-=(a-x0),解得x0=2a或x0=0.
当a=0时,切线l的方程为y=0;
当a≠0时,切线l的方程为y=0或ax-y-a2=0.
(2)由题,直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.
由已知得kPA+kPB=+=0,
即+=0,∴2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,
整理得2ak2+2k+a=0.
当a=0时,上式有解,符合题意;
当a≠0时,由Δ=4-8a2≥0,得-≤a≤且a≠0.
综上,a的取值范围为-≤a≤.
能力提升
5.解:(1)证明:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,
由得x2-4kx-4m=0,
Δ=16(k2+m)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m.
∵kOA·kOB====-=-,∴m=1,
∴直线l的方程为y=kx+1,∴直线l过定点(0,1).
(2)设M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将(x0,y0)代入y=4-x2,得2k2+m=4-·(2k)2,∴m=4-3k2.
∵-2
微信/支付宝扫码支付