第17讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
1.[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
[试做]
2.[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
3.[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求.
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
[试做]
命题角度 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
(1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路:
①从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
(2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路:
①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点;
②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意.
(3)存在性问题的求解方法:先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立.
解答1定点问题
1 已知抛物线C:x2=2y,直线l:y=x-2,设P为直线l上的动点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B.
(1)当点P在y轴上时,求线段AB的长;
(2)求证:直线AB恒过定点.
[听课笔记]
【考场点拨】
解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.
【自我检测】
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,M为焦点坐标是的抛物线上一点,H为直线y=-a上一点,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.
解答2定值问题
2 已知椭圆E:+=1,点A,B,C都在椭圆E上,O为坐标原点,D为AB中点,且=2.
(1)若点C的坐标为,求直线AB的方程;
(2)求证:△ABC的面积为定值.
[听课笔记]
【考场点拨】
求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【自我检测】
已知抛物线E:y2=2px(p>0),直线x=my+3与E交于A,B两点,且·=6,其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:+-2m2为定值.
解答3存在性问题
3 已知点A(0,-1),B(0,1),P为椭圆C:+y2=1上异于点A,B的任意一点.
(1)求证:直线PA,PB的斜率之积为-.
(2)是否存在过点Q(-2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,使得|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
[听课笔记]
【考场点拨】
存在性问题的求解策略:(1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.
【自我检测】
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,且椭圆C的短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,且满足·=2(O为坐标原点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
第17讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
典型真题研析
1.解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.
又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此解得
故C的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
而k1+k2=+
=+
=.
由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
即(2k+1)·+(m-1)·=0,
解得k=-.
当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).
2.解:(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.
又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.
由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.
联立又+mx2-2=0,
可得
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.
故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
3.解:(1)由已知得M(0,t),P,t.
又N为M关于点P的对称点,故N,t,则直线ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H,2t,
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t),
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
考点考法探究
解答1
例1 解:(1)设A,B.
由y=x2,得y'=x,
∴以A为切点的切线方程为y-=x1(x-x1),即y=x1x-,
同理以B为切点的切线方程为y=x2x-.
∵点P(0,-2)在切线上,
∴-=-2,-=-2,
∴==4(x1x20,
∴x1+x2=-m,x1x2=1-.
∴|AB|=
=
=,
O到AB的距离d=,∵=2,
∴S△ABC=3S△OAB=3×××=.综上可知,S△ABC为定值.
【自我检测】
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由整理得y2-2pmy-6p=0,
∴y1+y2=2pm,y1·y2=-6p,
则x1·x2==9.
由·=x1·x2+y1·y2=+y1·y2=9-6p=6,解得p=,
∴抛物线E的方程为y2=x.
(2)证明:由题知,k1==,
k2==,
∴=m+,=m+,
∴+-2m2=+-2m2
=2m2+12m+36-2m2
=2m2+12m×+36×-2m2.
由(1)可知,y1+y2=2pm=m,y1·y2=-6p=-3,
∴+-2m2=2m2+12m×+36×-2m2=24,
∴+-2m2为定值.
解答3
例3 解:(1)证明:设点P(x,y)(x≠0),则y2=1-,
∴kPA·kPB=·===-,
故得证.
(2)假设存在直线l满足题意.
显然当直线l的斜率不存在时,直线与椭圆C不相交.
①当直线l的斜率k≠0时,设直线l的方程为y=k(x+2),
由化简得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0,
由Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得-0.
∴存在符合题意的直线l,此时直线l的方程为y=±x+2.
[备选理由] 所给三道例题,都是围绕定点、定值及存在性问题展开,综合性强,运算量大,
解题时要注意分类讨论,避免出现解题不全,遗漏等情况.
例1 [配例1使用] 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.已知以F为圆心,半径为4的圆与l交于A,B两点,E是该圆与抛物线C的一个交点,∠EAB=90°.
(1)求p的值;
(2)已知点P的纵坐标为-1且在C上,Q,R是C上异于点P的两点,且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为-1,证明:直线QR过定点.
解:(1)由题意及抛物线定义知,|AF|=|EF|=|AE|=4,所以△AEF为边长为4的正三角形,设准线l与x轴交于点D,则|FD|=p=|AE|=×4=2.
(2)证明:设直线QR的方程为x=my+t,
由得y2-4my-4t=0,Δ=16m2+16t>0,设Q(x1,y1),R(x2,y2),则y1+y2=4m,y1·y2=-4t.
因为点P在抛物线C上,直线PQ,PR的斜率存在,所以kPQ====,同理可得kPR=.
因为kPQ+kPR=-1,所以+===-1,解得t=3m-.
由解得m∈∪∪(1,+∞).
所以直线QR的方程为x=m(y+3)-,则直线QR过定点.
例2 [配例2使用] 已知椭圆C1:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点.
(1)若M,N为椭圆C1上两点,且线段MN的中点坐标为(1,1),求直线MN的斜率;
(2)若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点A,B和点C,D,设线段AB,CD的长分别为m,n,证明:+是定值.
解:因为抛物线C2:y2=8x的焦点坐标为(2,0),所以8-b2=4,故b=2.
所以椭圆C1的方程为+=1.
(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则
两式相减得+=0,
又MN的中点坐标为(1,1),所以x1+x2=2,y1+y2=2,
所以=-,
所以直线MN的斜率为-.
(2)证明:椭圆的右焦点为F2(2,0).
当直线AB的斜率不存在或为0时,+=+=.
当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-2)(k≠0),
设A(x3,y3),B(x4,y4),由
消去y并化简得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-8=0,
Δ=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-8)=32(k2+1)>0,
x3+x4=,x3x4=,
所以m==.
同理可得n=,
所以+==.
综上可得,+为定值.
例3 [配例3使用] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程.
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵e=,∴=,即a2=3b2,则椭圆方程为+=1(b>0).
设椭圆C上任一点P(x0,y0),则=3b2-3,∴|PQ|===,-b≤y0≤b.
当-b≤-1,即b≥1时,|PQ|max==3(此时y0=-1),解得b=1;
当-b>-1,即0
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