基础过关
1.已知直线l与抛物线y2=2x交于A,B(异于坐标原点O)两点.
(1)若直线l的方程为y=x-2,求证:OA⊥OB.
(2)若OA⊥OB,则直线l是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
2.已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程.
(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点0,,问在y轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=∠NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请说明理由.
3.如图X17-1所示,已知椭圆Γ:+=1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在x轴上方),点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交直线l:x=4于M,N两点,记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN.
(1)求直线PB的斜率(用k表示).
(2)求点M,N的纵坐标yM,yN(用x1,y1表示),并判断yM·yN是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
图X17-1
4.如图X17-2所示,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-的直线与抛物线交于A,B两点.
(1)求弦AB的中点M的纵坐标;
(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|·|QF|-|QP|·|QB|为定值.
图X17-2
能力提升
5.已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心.过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.
(1)求抛物线E的方程.
(2)是否存在直线l使得2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作x轴的垂线l1,D为l1上异于点B的一点,以BD为直径作圆E.若过点F2的直线l2(异于x轴)与圆E相切于点H,且l2与直线AD相交于点P,试判断|PF1|+|PH|是否为定值,并说明理由.
限时集训(十七)
基础过关
1.解:(1)证明:由得x2-6x+4=0,解得x=3±,不妨取A(3-,1-),B(3+,1+),
∴·=0,∴OA⊥OB.
(2)显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得y2-2ty-2m=0,
∴y1y2=-2m,x1x2=·=m2,
由OA⊥OB,得·=x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m=2,
直线l的方程为x=ty+2,∴直线l恒过定点,且定点坐标为(2,0).
2.解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连接OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y轴的对称点F',连接F'P,故|F'P|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4>|FF'|=2.
所以点P的轨迹是以F',F为焦点,长轴长为4的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),
则a=2,c=1,b=,所以曲线C的方程为+=1.
(2)假设存在满足题意的定点Q,设Q(0,m).当直线MN的斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为y=kx+(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0,
则x1+x2=,x1·x2=.
由∠MQO=∠NQO,得直线MQ与NQ的斜率之和为0,即+=+==0,
即2kx1x2+(x1+x2)=2k·+·==0,得m=6,
所以存在定点Q(0,6)满足题意.
当MN的斜率不存在或斜率为0时定点Q(0,6)也符合题意.
综上,存在定点Q(0,6)满足题意.
3.解:(1)由题,设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则
又P(-x1,-y1),所以kPB===-.
(2)直线PA的方程为y=x,所以yM=.
由题意可知,k=,所以直线PB的方程为y+y1=-(x+x1),
则yN=--y1.
因为+=1,所以yM·yN=--=-=-9,
所以,yM·yN为定值-9.
4.解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),则=xA,=xB,两式相减得(yA-yB)(yA+yB)=xA-xB,所以kAB===-,
所以yA+yB=-2,所以弦AB的中点M的纵坐标yM==-1.
(2)证明:设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0),
由得y2-t1y+t1y0-x0=0,
所以yE+yF=t1,yE·yF=t1y0-x0,
|QE|·|QF|=|yE-y0|·|yF-y0|=(1+)|-x0|.
同理设直线PB:x-x0=t2(y-y0),则|QP|·|QB|=(1+)|-x0|.
因为t1===yA+yP,t2==yB+yP,
所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0,即t1=-t2,即=,
所以|QE|·|QF|=|QP|·|QB|,即|QE|·|QF|-|QP|·|QB|=0,为定值.
能力提升
5.解:(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,
∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.
根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),
由=2,得p=4,∴抛物线E的方程为y2=8x.
(2)假设存在直线l满足题意,若2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,
则|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8,
则|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.
若直线l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.
此时|AD|=8,不满足题意.
若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),
由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.
设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=.
∵拋物线E的准线方程为x=-2,
∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,
即+4=10,解得k=±2.
当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,
∵(-6)2-4×1×4>0,
∴x2-6x+4=0有两个不相等实数根,
∴k=±2满足题意.
综上,存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或直线l:2x+y-4=0.
6.解:(1)由题意可知解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)可知A(-2,0),B(2,0),F2(1,0).
因为过F2与圆E相切的直线分别切于B,H两点,所以|F2H|=|F2B|=1,
所以|PF1|+|PH|=|PF1|+|PF2|-|F2H|=|PF1|+|PF2|-1.
设点E(2,t)(t≠0),则D(2,2t),圆E的半径为|t|,
则直线AD的方程为y=(x+2).
设l2的方程为x=ky+1,则=|t|,
化简得k=.
由得
所以点P.
因为+==1,
所以点P在椭圆C上,
所以|PF1|+|PF2|=4,即|PF1|+|PH|=4-1=3,为定值.
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