第18讲 排列、组合与二项式定理
1.(1)[2017·全国卷Ⅱ]安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
(2)[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)
[试做]
命题角度 排列组合应用问题
①关键一:确定完成一件事需要分类还是分步;
关键二:在综合应用两个计数原理时,一般先分类再分步;
关键三:确定是排列问题还是组合问题.
②注意题目中是否有特殊条件限制.
2.(1)[2018·全国卷Ⅲ]的展开式中x4的系数为 ( )
A.10 B.20
C.40 D.80
(2)[2017·全国卷Ⅰ](1+x)6展开式中x2的系数为 ( )
A.15 B.20
C.30 D.35
(3)[2015·全国卷Ⅱ] (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
[试做]
命题角度 二项式定理
①解决二项式的有关问题,关键是熟练掌握二项式展开式的正用和逆用.
②在求特定项时,先准确写出通项公式,再把系数和字母分离出来(特别注意符号),列出方程或不等式求解即可.
小题1排列、组合的基本问题
1 (1)甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中,到东亚文化之都——泉州“二日游”,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有 ( )
A.16种 B.18种
C.20种 D.24种
(2)某校举办了主题为“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛,高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加比赛,且当甲、乙、丙都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么不同的朗诵顺序的种数为 ( )
A.320 B.324
C.410 D.416
[听课笔记]
【考场点拨】
排列、组合问题的失分点:(1)分类不能做到“不重不漏”;(2)分步不能做到“步骤完整”,即步与步之间不能做到连续独立;(3)对于既需要“分步”又需要“分类”的综合问题,理不清先后关系;(4)不熟悉一些计数技巧,如:插入法、捆绑法、特殊元素分析法、特殊位置分析法等.
【自我检测】
1.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A,B,C三个不同的社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.若甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法的种数为 ( )
A.8 B.7
C.6 D.5
2.六本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )
A.24种 B.36种
C.48种 D.60种
3.从2个不同的红球、2个不同的黄球和2个不同的蓝球中任取2个,放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中,每个袋子中至多放入1个球,且球的颜色与袋子的颜色不同,那么不同的放法有 ( )
A.42种 B.36种
C.72种 D.46种
小题2二项式定理及其应用
2 (1)在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为 ( )
A.-5 B.-15
C.-25 D.25
(2)在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则二项展开式中的常数项为 .
[听课笔记]
【考场点拨】
(1)对于“多项式乘二项式”型的二项式问题,通用的解法是系数配对法,即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xr-k的系数相乘,然后把所有这些满足条件的情况相加,即得到xr项的系数.
(2)常失分点:混淆“项的系数”与“二项式系数”概念,项的系数与a,b有关,可正可负,
二项式系数只与n有关,恒为正;注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念.
【自我检测】
1.在的展开式中,含x5项的系数为 ( )
A.6 B.-6
C.24 D.-24
2.已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3= ( )
A.-5 B.-20
C.15 D.35
3.在的展开式中,x-3的系数为 .
4.在的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和的比值为64,则x3的系数为 .
模块六 概率与统计
第18讲 排列、组合与二项式定理
典型真题研析
1.(1)D (2)16 [解析] (1)把4项工作分成3组,分法为种,再分配给3名志愿者,分配方法有种,故不同的安排方式共有·=36(种).
(2)方法一:分两种情况,即3人中1女2男的选法有种,3人中2女1男的选法有种.据分类加法计数原理知,不同的选法共有+=16(种).
方法二:从6人中任选3人有种选法,若3人均为男生有种选法,所以至少有1位女生入选的不同选法有-=16(种).
2.(1)C (2)C (3)3 [解析] (1)二项式的通项为Tr+1=(x2)5-r=2rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22=40.
(2)(1+x)6的展开式中x2的系数为,x4的系数为,所以(1+x)6展开式中x2的系数为+=30.
(3)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a,第二个因式取x及x3;另一部分来自第一个因式取x,第二个因式取x0,x2及x4.所以系数之和为a+a+++=8a+8=32,所以a=3.
考点考法探究
小题1
例1 (1)C (2)B [解析] (1)任意相邻两天组合在一起,一共有6种情况:①②,②③,③④,④⑤,⑤⑥,⑥⑦.
若甲选①②或⑥⑦,则乙有4种选择,
若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥,则乙有3种选择,
故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有2×4+4×3=20(种).
(2)方法一(直接法):分三种情况,一是甲、乙、丙中只有1人参加,不同的朗诵顺序有种;二是甲、乙、丙中有2人参加,不同的朗诵顺序有种;三是甲、乙、丙都参加,不同的朗诵顺序有种.综上可知不同的朗诵顺序共有++=324(种).
方法二(间接法):6名学生中选派4名参加,不同的朗诵顺序共有=360(种),当甲、乙、丙都参加且甲、乙朗诵顺序相邻时,不同的朗诵顺序共有=36(种),所以所求的不同的朗诵顺序的种数为360-36=324.
【自我检测】
1.B [解析] 据题意,因为乙不去B社区,所以乙有两种去法.若乙去A社区,则丙、丁就去B,C社区,有种方法;若乙去C社区,则丙、丁一个去A社区一个去B社区或都去B社区或一个去B社区一个去C社区,有(+1+)种方法.所以共有++1+=7(种)方法.
2.A [解析] 第一步:甲、乙两本书必须摆放在两端,有种排法;
第二步:丙、丁两本书必须相邻,可视为整体与其他两本书全排列,有种排法.
所以不同的摆放方法共有=24(种).
3.A [解析] 分以下两种情况:
①取出的2个球同色,有3种可能,取出球后只能将2个球放在不同颜色的袋子中,有种不同的放法,故不同的放法有3=6(种).
②取出的2个球不同色时,取球的方法数为=12,取球后将2个球放在袋子中的放法有3种,故不同的放法有12×3=36(种).
综上可得不同的放法有42种,故选A.
小题2
例2 (1)B (2)112 [解析] (1)依题意有x4+(-x)3·2x=-15x4,故含x4项的系数为-15,故选B.
(2)∵的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,∴n=8,∴展开式的通项为Tr+1=(-2)r,令=0,得r=2,故所求常数项为·(-2)2x0=112.
【自我检测】
1.B [解析] 展开式中含x5的项为x5··(-1)1=-6x5,故选B.
2.A [解析] 在(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7中,令x=1,得2(a-1)6=a0+a1+…+a7=0,∴a=1.∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6,又(1-x)6的展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,
∴a3=(-1)3×+(-1)2×=-5.故选A.
3.160 [解析] 展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r·=·26-r·x6-3r,令6-3r=-3,得r=3,所以x-3的系数为×23=160.
4.135 [解析] 在的展开式中,令x=1,得各项系数的和为4n,
又展开式的二项式系数的和为2n,
∴=64,
解得n=6.
∴二项式的展开式的通项为Tr+1=·3r·,
令6-r=3,得r=2,故展开式中含x3项的系数为×32=135.
[备选理由] 例1为涉及立体几何图形的染色问题,需要分类分析,容易出现计数的重复与遗漏,要能结合图形掌握分类与分步的标准;例2是一道常见的组合问题,可直接求解或用间接法求解;例3考查二项展开式的赋值法;例4为三项展开式的指定项的系数问题,有难度,要学会转化为两个二项式来处理.
例1 [配例1使用]用6种不同的颜色对正四棱锥P-ABCD的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有 ( )
A.14 400种 B.28 800种
C.38 880种 D.43 200种
[解析] C 从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有=360(种)不同的方案,接下来底面4条棱的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数.
①不使用新的颜色,有2种颜色方案.
②使用1种新的颜色,分为两类:
第一类,染1条棱,有2×4×4=32(种)方案;第二类,染2条对棱,有2×2×4=16(种)方案.
③使用2种新的颜色,分为四类:
第一类,染2条相邻的棱,有4×2×3=24(种)方案;第二类,染2条对棱,有2×2×4=16(种)方案;第三类,染3条棱,有4×2×2=16(种)方案;第四类,染4条棱,有2种方案.
因此不同的染色方案总数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38 880,故选C.
例2 [配例1使用]某医院响应国家精准扶贫号召,准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作,要求医疗小组中既有医生又有护士,则不同的选择方案种数是 .(用数字作答)
[答案] 120
[解析] 根据题意可知从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组,有=126(种)
选取方法,其中只有医生的选取方法有=6(种),则医疗小组中既有医生又有护士的选取方法有126-6=120(种).
例3 [配例2使用]设(4x-1)9=+a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a0+++…+= .
[答案] 5
[解析] 由题易知,b=×(-1)9=-1,
令x=,可得3=2b+a0+++…+,
所以a0+++…+=5.
例4 [配例2使用] (2x-1)n的展开式中,二项式系数的和为32,则(2x2+x-1)n的展开式中x3的系数为 .
[答案] -30
[解析] 由(2x-1)n的展开式中,二项式系数的和为32,可得2n=32,解得n=5.(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5,
所以(2x2+x-1)5的展开式中,含x3的项为x3··(-1)5+x2··2x·(-1)4+x·(2x)2·(-1)3+··(2x)3·(-1)2=-30x3,
所以所求系数为-30.
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