高三数学试卷（文科）
2019年1月8日
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2≤1），B＝{x|x≤0），则A∪B＝
A．（－∞，1]
B．[－1，＋∞）
C．[－1，0]
D．[0，1]
2．已知复数z满足，则z＝
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
3．若向量，，则
A．
B．5
C．20
D．25
4．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是
A．
B．
C．
D．
5．若，则
A．
B．
C．
D．
6．设变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为
A．－1
B．－2
C．3
D．4
7．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为
A．
B．
C．
D．
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”
的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“◇”中，可以先后填入
A．n是偶数，n≥100
B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100
D．n是奇数，n＞100
10．已知倾斜角为135°的直线l交双曲线C：（a＞0，b＞0）于A，B两点，若线段AB的中点为P（2，－l），则C的离心率是
A．
B．
C．
D．
11．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是
A．甲、乙
B．乙、丙
C．甲、丁
D．丙、丁
12．已知函数f（x）＝x3－3x，且函数g（x）＝f（f（x）－a）恰有9个零点，则a的取值范围为
A．（，）
B．（－2，）
C．（－2，2）
D．（，）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．
13．设函数，则f（f（－4））＝________．
14．在△ABC中，，则C＝________．
15．若曲线关于直线x＝t（t＞π）对称，则t的最小值为________．
16．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC
＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE＝________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：
17．已知公差不为零的等差数列{an）满足a1＝5，且a3，a6，a11成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an·3n－1，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．如图，三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．
（1）证明：平面ABE⊥平面ACD；
（2）若四面体BEFG的体积为，且F在平面ABE内的正投影为M，求线段CM的长．
19．某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱．活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；
④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；
⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包．
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图．
（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；
（2）求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率．
20．已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点F与抛物线N：y2＝4x的焦点重合，且M经过点（1，）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|＝8，求|AB|－|CD|．
21．已知函数f（x）＝ex－x2－ax．
（1）证明：当a≤2－2ln 2时，函数f（x）在R上是单调函数；
（2）当x＞0时，f（x）≥l－x恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：请考生从22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t
为参数）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2sinθ－cosθ）＝m．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若l与曲线C相切，且l与坐标轴交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|，g（x）＝|4x－1|－|x＋2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
高三数学试卷参考答案（文科）
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A
13．2
14．（或45°）
15．
16．
17．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3，a6，a11成等比数列，
所以，即（a1＋5d）2＝（a1＋2d）（a1＋10d），
化简得5d－2a1＝0．
又a1＝5，所以d＝2，从而an＝2n＋3．
（2）因为bn＝（2n＋3）·3n－1，
所以Sn＝5×30＋7×31＋9×32＋…＋（2n＋3）3n－1，
所以3Sn一5×31＋7×32＋9×33＋…＋（2n＋3）3n，
以上两个等式相减得，
化简得Sn＝（n＋1）3n－1．
18．（1）证明：因为BC＝BD，E是棱CD的中点，所以BE⊥CD．
又三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B，
所以AB⊥平面BCD，则AB⊥CD．
因为AB∩BE＝B，所以CD⊥平面ABE，
又，所以平面ABE⊥平面ACD．
（2）解：由（1）知CD⊥平面ABE，因为MF⊥平面ABE，
所以MF∥CD．
又F为AD的中点，所以M为AE的中点．
因为，，，
所以四面体BEFG的体积为，
则BG＝3．
在Rt△ABE中，AB＝2BG＝6，，
在Rt△CEM中，，．
19．解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5＋3＋2＋1＝11．
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会．
（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为．
（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1，红2），（红1，蓝），（红1，黄），（红2，蓝），（红2，黄），（蓝，黄），共有6个基本事件．
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为，
获得5元的概率为
获得2元的概率为．
20．解：（1）易知F的坐标为（1，0），所以c＝1，
所以，解得a2＝4，b2＝3．
所以椭圆M的方程为．
（2）设直线l的方程为y＝k（x－1）（k＞0），代人y2＝4x，得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设A（x1，y1），C（x2，y2），则，
因为，k＞0，所以k＝1．
将y＝x－1代入，得7x2－8x－8＝0．
设B（x3，y3），D（x4，y4），则，，
所以，
故．
21．解：（1）f′（x）＝ex－2x－a，
令g（x）＝ex－2x－a，则g′（x）＝ex－2．
则当x∈（－∞，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，＋∞）时，g′（x）＞0．
所以函数g（x）在x＝ln2取得最小值，g（1n2）＝2－21n2－a≥0．
故f′（x）≥o，即函数f（x）在R上是单调递增函数．
（2）当x＞0时，ex－x2－ax≥1－x，即．
令（x＞0），则．
令φ（x）＝ex－x－1（x＞0），则φ′（x）＝ex－1＞0．
当x∈（0，＋∞）时，φ（x）单调递增，φ（x）＞φ（0）＝0．
则当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，所以h（x）单调递减．
当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）单调递增．
所以h（x）min＝h（1）＝e－1．所以a∈（－∞，e－1]．
22．解：（1）由y＝2t－1，得，
，即（y＋1）2＝2（x＋1），
故曲线C的普通方程为（y＋1）2＝2（x＋1）．
（2）由ρ（2sinθ－cosθ）＝m，得2y－x＝m，
联立，得y2－2y＋2m－1＝0，
因为l与曲线C相切，所以△＝4－4（2m－1）＝0，m＝1．
所以l的方程为2y－x＝1，不妨假设A（0，），则B（－1，0），线段AB的中点为（，）．
所以，又OA⊥OB，
故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
其对应的极坐标方程为．
23．解：（1）由题意可得
当x≤－2时，－3x＋3＜6，得x＞－1，无解；
当时，－5x－1＜6，得，即
当时，3x－3＜6，得．
综上，g（x）＜6的解集为．
（2）因为存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝－g（x2）成立，
所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝－g（x），x∈R}≠∅．
又f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|（3x－3a）－（3x＋1）|＝|3a＋1|，
由（1）可知g（x）∈[，＋∞），则－g（x）∈（－∞，]．
所以，解得．
故a的取值范围为[，]．
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