高三数学试卷（理科）
2019年1月8日
第Ⅰ卷
1．已知全集U＝R，集合，B＝{x|x≤0}，则（A）∩B＝
A．（－1，0）
B．（－∞，－1）
C．（－1，0]
D．（－∞，0]
2．若复数z满足2z＋1＝2i，则
A．
B．
C．
D．
3．若向量，，则
A．
B．5
C．20
D．25
4．右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是
A．
B．
C．
D．
5．设x，y满足约束条件则z＝－2x－y的最小值是
A．－8
B．－7
C．－6
D．－4
6．在公差为2的等差数列{an}中，a3－2a5＝4，则a4－2a7＝
A．－4
B．－2
C．－6
D．－8
7．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为
A．
B．
C．
D．
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入
A．n是偶数，n≥100
B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100
D．n是奇数，n＞100
10．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是
A．甲、乙
B．乙、丙
C．丙、丁
D．甲、丁
11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．若f（x）在（，）上单调递减，则φ的取值范围为
A．[，]
B．[，]
C．[，]
D．[，]
12．设双曲线Ω：（a＞0，b＞0）的左顶点与右焦点分别为A，F，以线段AF为底边作一个等腰△AFB，且AF边上的高h＝|AF|．若△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e，则下列判断正确的是
A．存在唯一的e，且e∈（，2）
B．存在两个不同的e，且一个在区间（1，）内，另一个在区间（，2）内
C．存在唯一的e，且e∈（1，）
D．存在两个不同的P，且一个在区间（1，）内，另一个在区间∈（2，）内
第Ⅱ卷
二、填空题
13．若x＝1是函数的一个极值点，则a＝________．
14．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5－3（a4＋a5），则的最小值为________．
15．若的展开式中x3的系数为80，则a＝________．
16．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC＝2，点G为△ABC的重心，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD＝________．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝1，，3sinB＝2sinA．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
18．如图，三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．
（1）证明：平面ABE⊥平面ACD；
（2）求二面角A－EG－F的余弦值．
19．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系．某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州－福州－广州－海口－北海（广西）－河内－吉隆坡－雅加达－科伦坡－加尔各答－内罗毕－雅典－威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．
（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；
（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n（10≤n≤13，n∈N*），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
月需求量（单位：万件）
100
110
120
130
月份数
6
24
18
12
若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
20．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且C1过点，圆O是以线段F1F2为直径的圆，经过点A且倾斜角为30°的直线与圆O相切．
（1）求椭圆C1及圆O的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆O相切，与椭圆C1交于C，D两点，且满足？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
（1）求g（x）的单调区间与最大值；
（2）设f（x）＝x·g（x）在区间（0，e]（e为自然对数底数）上的最大值为－1－ln10，求a的值．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2sinθ－cosθ）＝m
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若l与曲线C相切，且l与坐标轴交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|，g（x）＝|4x－1|－|x＋2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
高三数学试卷参考答案（理科）
1．C
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．A
8．C
9．D
10．C
11．D
12．A
13．3
14．4
15．－2
16．2
17．解：（1）由，得cos2C＋cosC＝0，
所以2cos2C＋cosC－1＝0，
解得，cosC＝－1（舍去）．
从而．
（1）因为3sinB－2sinA，所以3b＝2a．
又a－b＝1，所以a＝3，b＝2．
根据余弦定理口可得，
所以．
18．（1）证明：因为BC＝BD，E是棱CD的中点，所以BE⊥CD．
又三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B，
所以AB⊥平面BCD，则AB⊥CD．
因为AB∩BE＝B，所以CD⊥平面ABE，
又平面ACD，所以平面ABE⊥平面ACD．
（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则A（0，0，），G（0，0，），E（1，1，0），F（0，1，），
，，
设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z），
则，即，
令，则．
由（1）知，平面AEG的一个法向量为，
所以．
由图可知，二面角A－EG－F为锐角，故二面角A－EG－F的余弦值为．
19．解：（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则，
所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为．
（2）设该产品每月的总利润为Y．
①当n＝10时，Y＝1000万元．
②当n＝11时，y的分布列为
Y
950
1100
P
0.1
0.9
所以E（Y）＝950×0.1＋1100×0.9＝1085万元．
③当n＝12时，y的分布列为
Y
900
1050
1200
P
0.1
0.4
0.5
所以E（Y）＝900×0.1＋1050×0.4＋1200×0.5＝1110万元．
④当n＝13时，Y的分布列为
Y
850
1000
1150
1300
P
0.1
0.4
0.3
0.2
所以E（Y）＝850×0.1＋1000×0.4＋1150×0.3＋1300×0.2＝1090万元．
综上①②③④可知，当n＝12时，E（Y）＝1110万元最大，
所以欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．
20．解：（1）易知F1（－c，0），F2（c，0），A（a，0），圆O的方程为x2＋y2＝c2．
由题可知，解得a＝2，，c＝1．
所以椭圆C1的方程，圆0的方程为x2＋y2＝1．
（2）假设存在直线l满足题意．
（i）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝±1．
当l：x＝1，C（1，），D（1，），，，所以．
同理可得，当l：x＝－1时，．
（ii）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，设C（x1，x2），D（x2，y2），
因为直线l与圆O相切，所以，即m2＝k2＋1①，
联立方程组，整理得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由根与系数的关系得．
因为，所以，则，
即x1x2＋y1y2＝0．
所以x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，
所，
整理得7m2－12k2－12＝0②，
联立①②，得k2＝－1，此时方程无解．
由（i）（ii）可知，不存在直线l满足题意．
21．解：（1）g（x）的定义域为（0，＋∞）．
因为，所以．令g′（x）＝0，得x＝e．
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，在（0，e）上g（x）是增函数；
当x∈（e，＋∞）时，g′（x）＜0，在（e，＋∞）上g（x）是减函数，
所以．
（2）因为f（x）＝x·g（x）＝ax＋lnx，所以，x∈（0，e]，则．
①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，
所以f（x）max＝f（e）＝ae＋1≥0，不合题意．
②若，则由f′（x）≥0，，得．
由，得，
从而f（x）在（0，]上为增函数，在[，e]为减函数，
所以．
由，得a＝－10．
22．解：（1）由y＝2t－1，得，
，即（y＋1）2＝2（x＋1），
故曲线C的普通方程为（y＋1）2＝2（x＋1）．
（2）由ρ（2sinθcosθ）＝m，得2y－x＝m，
联立，得y2－2y＋2m－1＝0，
因为l与曲线C相切，所以Δ＝4－4（2m－1）＝0，m＝1．
所以l的方程为2y－x＝1，不妨假设A（0，），则B（1，0），线段AB的巾点为（，）．
所以，又OA⊥OB，
故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
其对应的极坐标方程为．
23．解：（1）由题意可得，
当x≤－2时，－3x＋3＜6，得x＞－1，无解；
当，－5x－1＜6，得，即；
当，3x－3＜6，得．
综上，g（x）＜6的解集为．
（2）因为存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝－g（x2）成立，
所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝－g（x），x∈R}．
又f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|（3x－3a）－（3x＋1）|＝|3a＋1|，
由（1）可知g（x）∈[，＋∞]，则－g（x）∈（－∞，]．
所以，解得．
故a的取值范围为[，]．
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