第21章 单元检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2018·武汉元调)方程x(x－5)＝0化成一般形式后，它的常数项是( C )
A．－5 B．5 C．0 D．1
2．如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( C )
A．±3 B．3 C．－3 D．都不对
3．m是方程x2＋x－1＝0的根，则式子2m2＋2m＋2017的值为( D )
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
4．若x＝0是关于x的一元二次方程(a＋2)x2－x＋a2＋a－6＝0的一个根，则a的值是( B )
A．a≠－2 B．a＝2 C．a＝－3 D．a＝－3或a＝2
5．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )
A.x(x－1)＝45 B.x(x＋1)＝45 C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
6．若方程x2－4x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x＋x的值为( C )
A．6 B．－6 C．18 D．－18
7．若关于x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，那么m的取值范围是( D )
A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2
8．将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 m的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15 m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2 m．求该矩形铁皮的长和宽各是多少 m？若设该矩形铁皮的宽是x m，则根据题意可得方程为( B )
A．(x＋2)(x－2)×1＝15 B．x(x－2)×1＝15
C．x(x＋2)×1＝15 D．(x＋4)(x－2)×1＝15
9．若(a＋b)(a＋b＋2)＝8，则a＋b的值为( D )
A．－4 B．2 C．4 D．－4或2
10．若A＝x2＋4xy＋y2－4，B＝4x＋4xy－6y－25，则A－B的最小值为( B )
A．7 B．8 C．9 D．无法确定
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．定义新运算“”，对于非零的实数a，b，规定ab＝b2，若2(x－1)＝3，则x＝__1±__．
12．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋6＝0的一个根为x＝2，则代数式2a＋b＋6的值为__3__．
13．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__a＜2，且a≠1__．
14．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润30万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加3.3万元，假设该产品利润每月增长的百分率都为x，则列出的方程为__30(1＋x)2－30(1＋x)＝3.3__．(不要求化简)
15．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，
4
若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1 600元，则每件应降价__4__元．
16．若关于x的方程x2＋(2a－1)x＋a2－1＝0的两根是x1，x2，且(3x1－x2)(x1－3x2)＋21＝0，则a的值为__－5__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)解方程：(1)2x2－5x－1＝0; (2)6x2－3x－1＝2x－2.
【解析】(1)x1＝，x2＝. (2)x1＝，x2＝.
18．(8分)已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－3＝0的两个根，求：
(1)x＋x； (2)－.
【解析】由已知可得x1＋x2＝5，x1·x2＝－3.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝31.
(2)∵(x2－x1)2＝x＋x－2x1x2＝37，∴x2－x1＝±，∴－＝＝±.
19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为x1，x2，且满足x＋x＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，求m的值．
【解析】(1)Δ＝8m－16＞0，得m＞2.
(2)x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5.∵m＞2，∴x1＋x2＞0，x1·x2＞0，∴x1＞0，x2＞0.∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝|x1|＋|x2|＋2x1x2，∴4(m＋1)2－2(m2＋5)＝2(m＋1)＋2(m2＋5)，即6m－18＝0，解得m＝3.
20．(8分)已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根，且其中一根为定值；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)．若y是关于m的函数，且y＝7x1－mx2，求这个函数的解析式；并求出当自变量m的取值满足什么条件时，y≤3m.
【解析】(1)Δ＝(m＋2)2.∵m＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∵x＝，∴x1＝1，x2＝，∴方程有一个根为1.
(2)∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2＋，∴y＝7x1－mx2＝－2m＋5.令y≤3m，即－2m＋5≤3m，解得m≥1.∴当m≥1时，y≤3m.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于2 cm?
4
(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于7 cm2？说明理由．
【解析】(1)设经过x s后，(5－x)×2x＝4，解得x＝1或x＝4(舍去)．故经过1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)设经过t s，PQ的长度为2 cm，则PQ2＝40＝BP2＋BQ2，即40＝(5－t)2＋(2t)2，解得t＝－1(舍去)或t＝3.故经过3 s后，PQ＝2 cm.
(3)令S△PQB＝7，即BP·＝7，(5－t)×＝7，∵Δ＝－3＜0，∴原方程没有实数根．∴在(1)中，△PQB的面积不能等于7 cm2.
22．(10分)如图是一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【解析】(1)设条纹的宽度为x m，则有2x×5＋2x×4－4x2＝×5×4，解得x1＝(不符合实际，舍去)，x2＝.
(2)条纹造价：×5×4×200＝850(元)，其余部分造价：(1－)×4×5×100＝1 575(元)，所以总造价为850＋1 575＝2 425(元)．
23．(10分)某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16 800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．
(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
(2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑
4
m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14 400顶，求m的值．
【解析】(1)设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送(x＋200)顶．依题意列方程为2[2(x＋200)＋8x]＝16 800，解得x＝800.∴x＋200＝1 000.∴大货车原计划每辆每次运1 000顶．
(2)由题意，得2×(1 000－200m)(1＋m)＋8×(800－300)(1＋m)＝14 400，解得m1＝2，m2＝21(舍去)．
24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上(OA＜OB)，且OA，OB的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求直线CD的解析式；
(3)在坐标平面内是否存在点M，使以点C，P，Q，M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)解x2－14x＋48＝0，得x1＝6，x2＝8.∴A(6，0)，B(0，8)．
(2)C(3，4)．设OD＝a，∴CD2＝(a＋3)2＋42.又AC＝×＝5，AD2＝(a＋6)2，∴(a＋3)2＋42＋52＝(a＋6)2，解得a＝.∴D(－，0)．∴易求得直线CD的解析式为y＝x＋.
(3)∵AC＝BC＝AB＝5，∴正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．
①当点Q与点B重合时，直线BM：y＝x＋8，设M(x，x＋8)，∵B(0，8)，BM＝5，∴(x＋8－8)2＋x2＝52，解得x＝±4.∴M1(4，11)，M2(－4，5)；
②当点Q与点A重合时，直线AM：y＝x－，设M(x，x－)，∵A(6，0)，AM＝5，∴(x－)2＋(x－6)2＝52，解得x1＝2，x2＝10，∴M3(2，－3)，M4(10，3)．综上，M1(4，11)，M2(－4，5)，M3(2，－3)，M4(10，3)．
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