第24章 单元检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( C )
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
2．(2018·武汉元调)圆的直径是13 cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，那么直线和圆的位置关系是( D )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．如图，在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于( B )
A．130° B．140° C．145° D．150°
4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为( D )
A．2 B．4 C．8 D．4
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第7题图)
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，则∠DAC等于( C )
A．70° B．45° C．35° D．25°
6．已知圆锥的底面直径为6 cm，母线长为4 cm，那么圆锥的侧面积为( A )
A．12π cm2 B．24π cm2 C．36π cm2 D．48π cm2
7．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC等于( A )
A．130° B．100° C．50° D．65°
8．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为( C )
A．1－ B．1－ C．1－ D．1－
,第8题图) ,第9题图)
6
,第10题图)
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( A )
A. B. C. D．22
10．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，AB是⊙O的直径．点M，N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( B )
A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为__50°__．
12．小明制作一个圆锥模型，这个圆锥的侧面是一个半径为9 cm，圆心角为120°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底面，则这块圆形铁皮的半径为__3__ cm.
13．如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为____________．
,第11题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图)
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为__6.25__．
15．如图，⊙O的半径为3 cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为__1或5__ s时，BP与⊙O相切．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，2)，以AB为斜边在右上方作Rt△ABC.连接OC，则OC的最大值为__2__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC＝BD，
求证：△OCD为等腰三角形．
6
【解析】如图，过点O点作OM⊥AB，垂足为M.∵OM⊥AB，∴AM＝BM.∵AC＝BD，∴CM＝DM.又∵OM⊥AB，∴OC＝OD.∴△OCD为等腰三角形．
18．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求证：AE是⊙O的切线．
【解析】(1)∵∠ABC与∠ADC都是所对的圆周角，∴∠ADC＝∠B＝60°.
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＝30°.∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即 BA⊥AE.∴AE是⊙O的切线．
19．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E.
(1)当AC＝2时，求⊙O的半径；
(2)设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
6
【解析】(1)连接OE，OD，OC.在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，∵AC＝2，∴BC＝6.∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，设OD＝OE＝r，则×2·r＋×6·r＝×2×6，解得r＝，∴圆的半径为.
(2)∵AC＝x，BC＝8－x，由x·y＋(8－x)·y＝x(8－x)，得y＝－x2＋x.
20．(8分)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【解析】(1)如图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴AB＝10 cm.∴OB＝5 cm.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°.∴∠BOD＝90°.∴BD＝＝5 cm.
(2)S阴影＝S扇形DOB－S△OBD＝π·52－×5×5＝ cm2.
21．(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
【解析】(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
(2)∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.∵∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
22．(10分)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接⊙O于点E，连接BE，CE.
(1)若点I，O重合，AD＝6，求CD的长；
(2)求证：C，I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上．
6
【解析】(1)∵I，O重合，∴点I是△ABC的外心．∵点I是△ABC的内心，∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝2CD＝2x，则AD＝x＝6，∴CD＝x＝2.
(2)如图，连接IB.∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.∴＝.则BE＝CE.∴∠BIE＝∠BAD＋∠ABI＝∠IBD＋∠CAD＝∠IBD＋∠CBE＝∠IBE.∴IE＝BE＝CE，即C，I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上．
23．(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF.
(1)若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；(结果保留π)
(2)求证：OD＝OE；
(3)求证：PF是⊙O的切线．
【解析】(1)∵AC＝12，∴CO＝6.∴＝＝2π.
(2)∵PE⊥AC，OD⊥AB，∴∠PEA＝90°，∠ADO＝90°.在△ADO和△PEO中，∴△POE≌△AOD(AAS)．∴OD＝OE.
(3)设⊙O的半径为r.∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF.∴∠ODE＝∠CFE.又OD＝OE，∴∠CEF＝∠CFE.∴FC＝EC＝r－OE＝r－OD＝r－BC.∴BF＝BC＋FC＝r＋BC.∵PD＝r＋OD＝r＋BC，∴PD＝BF.又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形．∴∠OPF＝90°，OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线．
24．(12分)如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．
(1)若AB是⊙O的切线，求∠BMC；
(2)在(1)的条件下，若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE＋CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
6
【解析】(1)如图①，连接OB，OD，OC.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝90°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠OCB＝∠OBC＝30°.∴∠BOC＝120°.∴∠BMC＝∠BOC＝60°.
(2)BE＋CF的值为定值．理由：如图②，过点D作DH⊥AB于点H，DN⊥AC于点N，连接AD，如图②.∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC＝60°.∴DH＝DN，∠HDN＝120°，∵∠EDF＝120°，∴∠HDE＝∠NDF.在△DHE和△DNF中，∴△DHE≌△DNF.∴HE＝NF.∴BE＋CF＝BH－EH＋CN＋NF＝BH＋CN.在Rt△DHB中，∵∠DBH＝60°，∴BH＝BD.同理可得CN＝DC.∴BE＋CF＝BD＋DC＝BC＝BD.∵∠BOC＝120°，D为BC中点，⊙O半径为2，∴OD⊥BC，∠BOD＝60°.∴BD＝.∴BE＋CF的值是定值，定值为.
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