【易错题解析】浙教版九年级数学上册 第四章 相似三角形 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知 x3 = y4 ，则 xy 的值是（ ）
A. 43 B. 34 C. 37 D. 74
【答案】B
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ x3 = y4 ，
∴ xy = 34 ．
故选：B．
【分析】直接利用比例的性质将原式变形求出答案．
2.如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【考点】相似三角形的判定，等腰直角三角形
【解析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。
【解答】∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形
∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°
∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△EDA
△EDA∽△EAB
△ADC∽△EAB
∴共有3对．
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故选C．
3.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点P B. 点O C. 点M D. 点N
【答案】A
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A． 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
4.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°， ABAC=FDFE ，那么∠B的度数是（ ）
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABAC=FDFE ，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据题意，得知∠B与∠D为对应角，求出∠D的度数。
5.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）
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A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，易证△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可以得到结果．
【解答】∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，
∴△BDO∽△BEA，
∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，
∴△BDO∽△CEO，
∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，
∴△CEO∽△CDA，
∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．
故选B．
【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，连接BE交AC于点F，若△ABF和四边形CDEF的面积分别记为S1 ， S2 ， 则S1：S2为（ ）
A. 2：3 B. 4：9 C. 6：11 D. 6：13
【答案】C
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3， ∴ AEAD=23 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴ AEBC=AFCF=EFBF = 23 ，
∴S△BCF= 32 S1
∴S四边形ABCD=2（S1+ 32 S1）=5S1 ，
S△AEF= 23 S1 ，
∴S2= 12 S四边形ABCD﹣S△AEF= 116 S1 ，
∴S1：S2= 611 ．
故选C．
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【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，根据相似三角形的性质得到 AEBC=AFCF=EFBF = 23 ，求得S△BCF= 32 S1 ， S2= 32 S1 ， 即可得到结论．
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5
【答案】C
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= 12 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（ 12 ）2= 14 ；
故选：C．
【分析】证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= 12 BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
8.（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
A. 52 B. 83 C. 103 D. 154
【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质
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【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵ {∠DAE=∠HAEAE=AE∠ADE=∠AHE ，
∴△DAE≌△HAE（SAS），
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，
∵AC= AB2+AC2 = 62+82 =10，
∴6﹣x+8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ ADAB = DFBC ，即 46 = DF8 ，
解得：DF= 163 ，
则EF=DF﹣DE= 163 ﹣2= 103 ，
故答案为：C．
【分析】根据三角形角平分线的定理得出ED=EH=EG，再根据正方形的判定和性质得出全等三角形△DAE≌△HAE，同理△CGE≌△CHE，再根据勾股定理得出AD=4，再由△ADF∽△ABC得出EF的长.
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9.如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果 ADCD=13 ，那么 BDBC =（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 34
【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
如果 ADCD=13 ∴ ABAC=ADAB=BDBC
∵ ADCD=13 ，∴AD=x，CD=3x，
∴AB2=AC•AD，
∴AB=2x
∴ BDBC=12
故答案为：A
【分析】先证得△ABD∽△ACB，再利用对应线段成比例及所设出AD与CD的长，可表示出AB长，从而可求得BDBC的值.
10.如图，Rt△ABC中，BC=23 ， ∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1 ， 连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2 ， 连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3 ， …，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013 ， 分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013 ． 则S2013的大小为（ ）
A. 310063 B. 620133 C. 310073 D. 4671
【答案】C
【考点】相似三角形的判定与性质，探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】规律型．
【分析】首先由Rt△ABC中，BC=23 ， ∠ACB=90°，∠A=30°，求得△ABC的面积，然后由D1是斜边AB的中点，求得S1的值，继而求得S2、S3、S4的值，即可得到规律：Sn=1n+1S△ABC；继而求得答案．
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【解答】∵Rt△ABC中，BC=23 ， ∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AC=BCtan30°=3BC=6，
∴S△ABC=12AC•BC=63 ，
∵D1E1⊥AC，
∴D1E1∥BC，
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，
∵D1是斜边AB的中点，
∴D1E1=12BC，CE1=12AC，
∴S1=12BC•CE1=12BC×12AC=12×12AC•BC=12S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=13BE1 ，
∴D2E2=13BC，CE2=13AC，S2=13×12×AC•BC=13S△ABC ，
∴D3E3=14BC，CE2=14AC，S3=14S△ABC…；
∴Sn=1n+1S△ABC；
∴S2013=12013+1×63=310073 ．
故选：C．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意得到规律Sn=1n+1S△ABC是解此题的关键．注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为________．
【答案】83
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∥CD，∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，
∴OA= 83 ．
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故答案为： 83 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
12.如果两个相似三角形周长的比是 2:3 ，那么它们面积的比是________．
【答案】4:9
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3，
∴它们的面积比为4：9，
故答案为：4：9.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论。
13.如图，已知直线 l1∥l2∥l3 ，分别交直线m、n 于点 A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为________cm.
【答案】6
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵ l1∥l2∥l3 ，∴ ABBC=DEEF ，即 5AC-AB=510=3EF ，解得，EF=6.【分析】根据平行线分线段成比例，结合题中所给的数据建立比例关系，即可得到EF的长度。
14.已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为________.
【答案】10
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：5，△ABC的周长为6，
∴6：△DEF的周长=3：5，
∴△DEF的周长=10．
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形行的性质来求解.相似三角形周长的比等于相似比.
15.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
【答案】1：9
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故答案为：1：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比和相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
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16.若两个相似三角形的周长之比为2：3，较小三角形的面积为8cm2 ， 则较大三角形面积是________ cm2 ．
【答案】18
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3， ∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较小三角形的面积为8cm2 ，
∴较大三角形的面积为18cm2 ，
故答案为：18．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
17.如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F ，若 AB=4 ， AD=3 ，则 CF 的长为________．
【答案】103
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB=CD=4 ， AB ∥ CD ， ∠ADC=90° ，
在 Rt△ADC 中， ∠ADC=90° ，∴ AC=AD2+CD2=5 ，
∵ E 是 AB 中点，∴ AE=12AB=12CD ，
∵ AB ∥ CD ，∴ AFCF=AECD=12 ，∴ CF=23AC=103 ．
故答案为： 103 .
【分析】首先根据矩形的性质得出AB=CD=4 ， AB∥CD ， ∠ADC=90° ，然后根据勾股定理算出AC的长，根据平行线分线段成比例定理得出AF∶CF=AE∶CD=1∶2,从而得出CF=23AC=103。
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18.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M，N在边OB上，PM=PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN=3，则 CDDE 值为 ________ ．
【答案】76
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：过P作PQ⊥MN，垂足为Q，
∵PM=PN，MN=3，∴MQ=NQ= 32 ，
在Rt△OPQ中，OP=10，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，OQ=5，则OM=OQ-QM= 72 ，
∵CD//ON，∴ CDOM=PDPM=DEMN ，
∴ CDDE=OMMN=723=76 .
故答案为 76 .
【分析】由CD//ON，可得△CDP~△OMP，△PDE~△PMN，则 CDOM=PDPM=DEMN ，则 CDDE=OMMN ，因为MN已知，所以要求出OM，过P作PQ⊥MN，构造直角三角形，由特殊角求出OQ，则OM=OQ-MQ.
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19.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是________ .
【答案】30、48
【考点】一元二次方程的解，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图，延长DA，过B作BM⊥DA，交其延长线于M．
∴四边形DCBM是正方形，
∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋转到△BMN的位置，
∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN.
∵∠ABE=45°
∴∠EBC+∠ABM=90°﹣45°=45°
∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共
∴△ABN≌△ABE
∴AN=AE=10，设CE=x，那么MN=x，DE=CD﹣CE=12﹣x，AM=10﹣x，AD=12﹣AM=2+x，
在Rt△ADE中：AD2+DE2=AE2
∴（2+x）2+（12﹣x）2=102
∴x1=4，x2=6，
当x=4时，CE=4，DE=8，AD=6
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE，
∴ADCF=DECE
∴CF=3，
∴S△ADE+S△CEF=30；
当x=6时，CE=6，DE=6，AD=8
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∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE
∴ADCF=DECE
∴CF=8
∴S△ADE+S△CEF=48．
综上所述，S△ADE+S△CEF的值是30或48．
故答案为：30或48．
【分析】如图，首先把梯形补成正方形，然后把△BEC旋转到△BMN的位置，根据它们条件容易证明：△ANB和△ABE全等，故AE=AN=10，设CE=x，然后用x表示AM，AD，DE在根据△ADE是直角三角形利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x，就可以求出S△ADE+S△CEF的值．
20.如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S△ABM= 32 ，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为________．
【答案】655
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，S△ABM= 32 ，
∴BM= 12 ．
∵AB=3，BM=1，
∴AM= 10 ，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN= 91010 ，MN= 1010 ，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3 2 ，
∴AO= 323 ，
∵ AOAM = 3510 ， ANAC = 3510 ，
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∴ AOAM = ANAC ，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴ ONMC = AOAM = 3510 ，
∴ON= 655 ．
故答案为： 655
【分析】先根据三角形的面积公式求出BM的长，利用勾股定理求出AM的长，再证明△ABN∽△BNM∽△AMB，得出对应边成比例，求出AN、MN的长然后利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证明△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质，可求出ON的长。
三、解答题（共10题；共60分）
21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的A、B、C三点坐标为A（2，0）、B（2，2）、C（6，3）。
（1）请在图中画出一个△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC是以坐标原点为位似中心，相似比为2的位似图形。
（2）求△A′B′C′的面积。
【答案】（1）解：∵A（2，0）、B（2，2）、C（6，3），△A′B′C′与△ABC是以坐标原点为位似中心，相似比为2的位似图形，∴A′（4，0），B′（4，4），C′（12，6），如图：
（2）解：S△A′B′C′= 12 ×4×8=16．
【考点】位似变换，作图﹣位似变换
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【解析】【分析】（1）先根据相似比为2，原来坐标的横纵坐标都乘以2可得新的坐标，在坐标系中确定三个点的位置，顺次连接即可；
（2）利用三角形的面积公式确定底和高，代入公式计算即可.
22.已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证:AC2=AD·AB
【答案】证明：∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD•AB.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论.
23.如图,在Rt△ABC中,∠A=90º,AB=6,BC=10,D是AC上一点,CD=5,DE⊥BC于E.求线段DE的长.
【答案】解：∵∠C=∠C ， ∠A=∠DEC ，
∴△DEC∽△BAC ，
∴DEAB=DCBC，
则 DE6=510，
解得：DE=3.
【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】有两个角相等的两个三角形相似，可得比例式，问题得解。
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24.要测量旗杆高CD ， 在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1.5m．求旗杆的高度．
【答案】解答：过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H ．
因为EF∥AB∥CD ， 所以EF=GB=HD ．
所以AG=AB-GB=AB-EF=2.5-1.5=1m
EG=FB=2.2m，GH=BD=3.6m
CH=CD-1.5m
又因为 ＝ ，
所以 ＝
所以CD=4 m，即旗杆的高4 m
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H ， 根据EF∥AB∥CD可求出AG、EG、GH ， 再根据相似三角形的判定定理可得△EAG∽△ECH ， 再根据三角形的相似比解答即可．
25.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．
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【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=12（180°﹣36°）=72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=12∠ACB=12×72°= 36°，
∴∠BCE=∠A=36°，
∴AE=BC，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴ABBC=BCBE，
∴BC2=AB•BE，
即AE2=AB•BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，
∴BC=CE，
由（1）已证AE=CE，
∴AE=CE=BC，
∴BC=5-12•AB=5-12×4=25﹣2．
【考点】黄金分割
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可．
26.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ．
【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ， 即∠DAE=∠BAC ．
又∵∠B=∠D ，
∴△ABC∽△ADE ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“两角法”来证：△ABC∽△ADE ．
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27.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S△DCE：S△DCB=1：3，求S△DCE：S△ABD ．
【答案】解：∵S△DCE：S△DCB=1：3 ∴DE：BD=1：3，即DE：BE=1：2
∵CD∥AB，∴ =
∴S△DCE：S△AED=1：2，S△DCE：S△ABE=1：4
∴S△DCE：S△ABD=1：6
【考点】梯形，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】已知△DCE和△DCB的面积比，由于这两个三角形等高，因此它们的面积比等于底边的比；因此DE：BE=CE：AE=1：2．由此可求出△CDE和△ADE的面积比，以及△DCE和△ABE的面积比．也就求出了△DCE和△ABD的面积比．
28.对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO=BOCO ．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
【答案】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则BDDC=ADDE，又BD=2DC，AD=2，
∴DE=1，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，
∠ACE=75°，
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∴AC=AE=3．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到BDDC=ADDE ， 由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可．
29.（2017•株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【答案】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF， ∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
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∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形
【解析】【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
30.把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=62cm,CE=5cm, CD=10cm．
（1）图1中线段AO的长= cm；DO= cm
图1
（2）如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D1CE1,D1C与AB相交于点F,若△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．
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图2
【答案】解：(1)如图,过点A作AF∥DE,
∵∠ACB与∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=62 ,
∴AC=BC=6,
∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10．
∴ED=55 , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,
∵AF∥DE
∴△AFC∽△DEC
∴ACCD=AEDE ,即AF=35 ,
∴EFCE=ADCD ,即EF=2,
∴BF=EF+BE=2+1=3,
∵AF∥DE
∴△BOE∽△BAF
∴AOAB=EFBF,即AO=42
OEAF=BEBF,即OE=5
∴DO=DE-OE=45
(2) 连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,
∵△DCE绕着点C
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逆时针旋转α度
∴∠E1CG=α,
∵△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,
∴E1G是线段BC的中垂线
∵E1C=5,BC=6
∴CG=BH=3,E1G=CE12-CG2=25-9=4,
∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,
∴BH=FH,令BH=FH=x,
则：CH=6-x
在△FHC与△CG E1中
∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,
∴∠E1CG =∠CFH,
∵∠FHC=∠CG E1=90°,
∴△FHC∽△CG E1,
∴FHCH=CGGE1 ,即：x5-x=34 ,解得x=187 ,
∴FH=187,
∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,
∴BF=2FH=1872
∴AF=AB-BF=62-1872=2472 .
【考点】相似三角形的判定与性质，图形的旋转
【解析】【分析】
（1）作,利用三角形相似来求出线段AO ,DO的长；
（2）连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,根据三角形相似求出BF,即可得到答案.
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