华师大版九年级数学下册期末综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.要得到y＝(x－3)2－2的图象，只要将y＝x2的图象（ ）
A. 由向左平移3个单位，再向上平移2个单位； B. 由向右平移3个单位，再向下平移2个单位；
C. 由向右平移3个单位，再向上平移2个单位； D. 由向左平移3个单位，再向下平移2个单位.
2.为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：
由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
4.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=63°，则∠BCD为（ ）
A. 37° B. 47° C. 27° D. 63°
5.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是
A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝1，x2＝3
6.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为（-1，0），（2，0），（0，2），则当y＞2时，自变量x的取值范围是（ ）
A. 0＜x＜12 B. 0＜x＜1 C. 12＜x＜1 D. -1＜x＜2
7.二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是﹣2 D. 抛物线的对称轴是x=﹣ 52
8.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于( ).
A. 2 B. 1 C. D.
9.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（ ）
A. 43 B. 4 C. 23 D. 2
10.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
二、填空题（共10题；共30分）
11.圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于________（结果保留π）．
12.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是________．
13.在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为________人．
14.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=________度．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为________
16.（2017•莱芜）圆锥的底面周长为 2π3 ，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为________．
17.在同圆中，若， 则AB ________2CD（填＞，＜，=）．
18.已知函数y=（k+2）xk2+k-4是关于x的二次函数，则k=________ ．
19.如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，连接AB、AC、OC，若∠COD=60°，则∠BAD=________ ．
20.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________。
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．
22.近年来，由于乱砍滥伐，掠夺性使用森林资源，我国长江、黄河流域植被遭到破坏，土地沙化严重，洪涝灾害时有发生，沿黄某地区为积极响应和支持“保护母亲河”的倡议，建造了长100千米，宽0.5千米的防护林．有关部门为统计这一防护林共有多少棵树，从中选出10块防护林（每块长1km、宽0.5km）进行统计．
（1）在这个问题中，总体、个体、样本各是什么？
（2）请你谈谈要想了解整个防护林的树木棵数，采用哪种调查方式较好？说出你的理由．
23.已知AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，连接OB，OC．
（1）如图1，求∠BOC的度数；
（2）如图2，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N，当OB=6，OC=8时，求⊙O的半径及MN的长．
24.某九年级制学校围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）该校对多少学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？
（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
25.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，交y轴于点A．
（1）根据图象确定a，b，c的符号；
（2）如果OC=OA=13OB，BC=4，求这个二次函数的解析式．
26.如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣32 ．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
27.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
28.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线．
故答案为：B．
【分析】原抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），新抛物线y=（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），根据平移的特点由点（0，0）到点（3，﹣2）只需将原抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线 。
2.【答案】C
【考点】用样本估计总体，折线统计图
【解析】【解答】解：由图可知，10天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有4天，频率为： 410 =0.4，
所以估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为：30×0.4=12（天）．
故答案为：C．
【分析】由图可知，10天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有4天，从而根据概率公式求出概率，然后利用样本估计总体的方式算出估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数。
3.【答案】B
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
4.【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB是圆的直径，
∴∠BCA=90°，
又∠ACD=∠ABD=63°，
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣63°=27°．
故答案为：C．
【分析】连接AC，利用直径上的圆周角是直角可得∠BCA=90°，再由圆周角定理可得∠ACD=∠ABD=63°，继而求出∠BCD的度数.
5.【答案】B
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，
∴12-3+m=0⇒m=2。∴x2-3x+m=0⇒x2-3x+2=0⇒x-1x-2=0,所以x1=1,x2=2
故选B。
6.【答案】B
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式（组）
【解析】
【分析】先根据抛物线与x轴的交点求出其对称轴方程，再根据抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称性即可进行解答．
【解答】∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（-1，0)、（2，0)，
∴其对称轴方程为：x=-1+22=12，
∵抛物线与y轴的交点为（0，2)，
∴此点关于对称轴的对称点横坐标为：2×12=1，
∵0＜x＜1时函数的图象的纵坐标大于2，
∴当y＞2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1．
故选B．
7.【答案】D
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=x2+5x+4=（x+ 52 ）2﹣ 14 ， 二次项系数是1＞0，则函数开口向上，故A错误；
函数的对称轴是x=﹣ 52 ，顶点是（﹣ 52 ，﹣ 14 ），B错误；
则D正确，函数有最小值是﹣ 14 ，选项C错误．
故选D．
【分析】首先利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，然后利用二次函数的性质判断．
8.【答案】C
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA•cos30°=
则正六边形的边心距是
故选C．
【分析】根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
9.【答案】B
【考点】含30度角的直角三角形，切线的性质，解直角三角形
【解析】【分析】由于直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB=90°，而OA=2，∠OBA=30°，根据三角函数定义即可求出OB．
【解答】∵直线AB与⊙O相切于点A，
则∠OAB=90°．
∵OA=2，
∴OB=OAsinB=OAsin30°=212=4．
故选B．
【点评】本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形问题
10.【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①∵抛物线开口向下，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x=- b2a =h，且-2＜h＜-1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a-b＜0，
又∵h＜0，
∴- b2a ＜1
∴2a+b＜0，
∴（4a-b）（2a+b）＞0，
故②错误；
③由②知：b＞4a，
∴2b-8a＞0①．
当x=-2时，4a-2b+c＞0②，
由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．
故③正确；
④∵当x=-1时，a-b+c＞0，
∵OC=OB，
∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=-b-1，
则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故,b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0；由抛物线的对称轴直线-2＜h＜-1，根据对称轴公式及不等式的性质得出4a＜b＜2a，进而得出4a-b＜0，2a+b＜0，故（4a-b）（2a+b）＞0；由于b＞4a，根据不等式的性质得出2b-8a＞0，又当x=-2时，4a-2b+c＞0，故4a-8a+c＞0，即4a-c＜0；当x=-1时，a-b+c＞0，又OC=OB，当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，根据等式的性质得出ac+b+1=0，即ac=-b-1，故（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0。
二、填空题
11.【答案】10π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，
故答案为：10π．
【分析】由已知根据圆锥的侧面积公式面积公式进行计算即可得到答案.
12.【答案】a＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】根据二次函数的图像，由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，知a＞0，
故答案为a＞0．
【分析】由题意可知，函数图像有最低点，则函数图像开口向上，所以a＞0。
13.【答案】480．
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图
【解析】【解答】解：总人数是：10÷20%=50（人），
第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，
所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是： 10+6+450 ×1200=480，
故答案为：480．
14.【答案】70
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故答案为：70．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．
15.【答案】2
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，OM⊥AC，
∴∠AOM=60°，∠OMA=90°，OA=4，
∴∠OAM=30°，
∴OM=12OA=2，
即这个正三角形的边心距OM为2；
故答案为：2．
【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°，OA=4，求出∠OAM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OM=12OA=2即可．
16.【答案】3
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图，连接AA′，
∵底面周长为 2π3 ，
∴弧长= nπ×2180 = 2π3 ，
∴n=60°即∠AOA′=60°，
∴∠A=60°，
作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，
∵OA=2，
∴OB=1，
∴AB= 3 ，
∴AA′=2 3 ，
∵PP′是△OAA′的中位线，
∴PP′= 12 AA′= 3
故答案是： 3 ．
【分析】根据弧长公式计算出∠A=60°，通过辅助线得到PP′是△OAA′的中位线，从而求出PP′的最短长度.
17.【答案】＜
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：找出的中点E，连接AE、BE，
∵的中点E，
∴AE=EB=CD，
∵AE+EB＞AB，
∴AB＜2CD，
故答案为：＜．
【分析】首先找出的中点E，连接AE、BE，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得AE=EB=CD，再根据三角形的三边关系可得AE+EB＞AB，进而可得AB＜2CD．
18.【答案】2或﹣3
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=（k+2）xk2+k-4是关于x的二次函数，
∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，
且k+2≠0，k≠﹣2．
故k=2或﹣3．
【分析】根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
19.【答案】30°
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵∠COD=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD，
∴
∴∠BAD=∠DAC=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据圆周角定理得到∠DAC的度数，根据垂径定理得到答案．
20.【答案】3或 43
【考点】正方形的性质，切线的性质
【解析】【解答】解：①如图1，当⊙P与边CD相切时，切点为C，
∴PM=PC=R，
∵M是AB的中点，正方形ABCD的边长为8，
∴BM=4,BP=8-R，
在Rt△PBM中，
∴PM2=PB2+BM2,
即R2=（8-R）2+42 ，
解得：R=5，
∴BP=8-R=8-5=3.
②如图2，当当⊙P与边AD相切时，设切点为K，连结PK，
∴PK⊥AD,
∴四边形ABPK为矩形，
∴PK=PM=8，
∵M是AB的中点，正方形ABCD的边长为8，
∴BM=4,
在Rt△PBM中，
∴PM2=PB2+BM2,
即82=PB2+42 ，
解得：PB=4 3 ，
综上所述：PB的长度为3或4 3 .
故答案为：3或4 3 .
【分析】①如图1，当⊙P与边CD相切时，切点为C，根据切线和正方形的性质得PM=PC=R，BM=4,BP=8-R，在Rt△PBM中，根据勾股定理即可得
R2=（8-R）2+42 ， 解之即可得R，从而求得BP；
②如图2，当当⊙P与边AD相切时，设切点为K，连结PK，根据切线的性质得PK⊥AD,由矩形判定和性质得PK=PM=8，在Rt△PBM中，根据勾股定理即可得82=PB2+42 ， 解之即可得PB长.
三、解答题
21.【答案】解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BD= 12 BC=6
在Rt△ABD中，AD= AB2-BD2 = 100-36 =8．
设圆的半径是R．
则OD=8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2
解得：R= 254 ．
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
22.【答案】（1）解：总体：建造的长100千米，宽0.5千米的防护林中每块长1km、宽0.5km的树的棵树；
个体：一块（每块长1km、宽0.5km）防护林的树的棵树；
样本：抽查的10块防护林的树的棵树
（2）解：采用抽查的方式较好，因为数量较大，不容易调查
【考点】全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量
【解析】【分析】（1）总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量，根据总体、个体和样本的定义即可解答；
（2）一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据抽样调查和普查的定义及特征进行选择即可.
23.【答案】解：（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠GCF+∠EBF=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC=OB2+OC2=10，
∵S△BOC=12•OB•OC=12•BC•OF，
∴6×8=10×OF，
∴0F=4.8，
∴⊙O的半径为4.8，
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC，
∴MNOB=MN6，
即MN6=8+4.88，
∴MN=9.6．
【考点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．
24.【答案】解：（1）由图1知：4+8+10+18+10=50名，
答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人
1850×100%=36%
∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．
（3）1﹣（30%+26%+24%）=20%，
200÷20%=1000人，
850×100%×1000=160人．
答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；
（2）根据表中的数据计算可得答案；
（3）用样本估计总体，按比例计算可得．
25.【答案】解：（1）如图，∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0．
又∵对称轴x=﹣b2a＜0，
∴a、b同号，即b＞0．
∵抛物线与y轴交与负半轴，
∴c＜0．
综上所述，a＞0，b＞0，c＜0．
（2）如图，∵OC=OA=13OB，BC=4，
∴点A的坐标为（0，﹣1），
点B的坐标为（﹣3，0），
点C的坐标为（1，0），
把A，B，C三点分别代入二次函数y=ax2+bx+c中可得：
-1=c0=9a-3b+c0=a+b+c，
解得，a=13b=23c=-1，
∴该二次函数的解析式是：y=13x2+23x﹣1．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线开口方向、对称轴方程以及抛物线与y轴交点的位置确定a，b，c的符号；
（2）首先由函数图象可确定A，B，C三点的坐标，然后分别代入二次函数y=ax2+bx+c中即可解得系数，进而即得解析式．
26.【答案】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：-b2a=-32a+b-2=0，
解得：a=12b=32；
（2）解方程组y=x+1y=12x2+32-2，
解得：x=1y=0或x=-6y=7．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．
【考点】抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】（1）首先把A的坐标代入一次函数解析式即可求得k的值，根据对称轴即可得到一个关于a和b的式子，然后把A代入二次函数解析式，解所得到的两个式子组成的方程组即可求得a和b的值；
（2）解一次函数解析式和二次函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后根据图象求解．
27.【答案】证明：(1)∵OD⊥AC OD为半径，
∴弧CD＝弧AD，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
解：(2)∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝12AB，∵OD＝12AB，
∴BC＝OD.
【考点】垂径定理，圆周角定理
【解析】【分析】考查垂径定理，圆周角定理。
28.【答案】解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：
-9-3b+c=0c=3， 解得：b=-2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）如图1，
设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=-1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m-3）-12×2×（-1-m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得：m1=-3-212，m2=-3+212（舍去），
当m=-3-212时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=-3-212，∴点F的坐标为（-3-212，-3-212）；
（3）设P点坐标为（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2 ，
即（
0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2 ，
化简整理得6n=16，解得n=83，
∴P点坐标为（-1，83），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-83=43，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=43；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2 ，
即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，
化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2 ，
即10+
（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2 ，
化简整理得6n=-4，解得n=-23，
∴P点坐标为（-1，-23），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4+23=143，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=143；
综上可知，当t为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．
【考点】二次函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2 ， 据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
微信/支付宝扫码支付